2023年湖南省邵阳市邵东市中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省邵阳市邵东市中考数学模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各数中最小的是( )
A. |−2024|B. −12024C. 12024D. 0
2.下列各式计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. (a−b)2=a2−b2
C. (−a)2⋅a3=a5D. 3a+2a=5a2
3.观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4.2023年中秋、国庆假期，我国铁路发送旅客累计达1.41亿人次，数据1.41亿用科学记数法可表示为( )
A. 141×106B. 1.41×109C. 0.141×109D. 1.41×108
5.如图，已知∠1=∠2，添加选项仍不能证明△ACB≌△BDA．( )
A. AD=BC
B. AC=BD
C. ∠D=∠C
D. ∠DAB=∠CBA
6.某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中错误的是( )
A. 该班共有40名学生B. 该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分
C. 该班学生这次考试成绩的众数为30分D. 该班学生这次考试成绩的中位数为28分
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=k2x(x>0)的图象如图所示，则当y1>y2时，自变量x的取值范围为( )
A. x<1
B. x>3
C. 0D. 18.如图，点F时平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是( )
A. EDEA=DFAB
B. DEBC=EFFB
C. BCDE=BFBE
D. BFBE=BCAE
9.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以tan15°=ACCD=12+ 3=2− 3(2+ 3)(2− 3)=2− 3.类比这种方法，计算tan22.5°的值为( )
A. 2+1B. 2−1C. 2D. 12
10.某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c图象时，列出了下面的表格：
由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是( )
A. −11B. −2C. 1D. −5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.分解因式：5x2−20=______．
12.如图，把一块三角板的60°角的顶点放在直尺的一边上，若∠1=70°，则∠2的度数是______．
13.若关于x的不等式组x>a2x−1<5有且只有3个整数解，则a取值范围是______．
14.已知x1，x2是一元二次方程2x2+3x−1=0的两个根，那么x12+x22的值是______．
15.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于点H，则DH=______．
16.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c<0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为−1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的结论有______(填上序号即可)
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度，研究表明：如图2，当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角(即望向屏幕中心P的视线EP与水平线EA的夹角)时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD=30°，∠APE=90°，液晶显示屏的宽AB为34cm．
(1)求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；(结果精确到1cm)
(2)求显示屏项端A与底座C的距离AC.(结果精确到1cm)
(参考数据：sin18°≈0.3，cs18°≈0.95， 2≈1.4， 3≈1.7)
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：(π−2024)0sin60°tan60°−(−2−1)÷(−12)−1．
19.(本小题6分)
平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为线段BO、DO的两点，BE=DF；求证：AF/​/CE．
20.(本小题6分)
先化简，再求值x2x−2−1x+1⋅xx−1，其中x的值是不等式−3x>5−x的最大整数解．
21.(本小题8分)
“勤劳孝亲”是中华民族的传统美德，学校倡导同学们利用假期在家里帮助父母做力所能及的家务．明德同学在本学期开学初随机对自已所在学校的部分同学整个寒假在家做家务的时间情况进行了抽样调查(时间取整数小时)，并绘制了如下不完整的统计图，请根据统计图解决下列问题：
(1)抽样调查抽取的样本容量是______；
(2)通过计算补全频数分布直方图；
(3)如果该学校共有学生2800人，那么大约有多少名学生在整个寒假做家务的时间在30.5～50.5小时之间？
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BC=4，D为AC延长线上一点，AC=3CD，∠CBD=∠A，过D作DH//AB，交BC的延长线于点H．
(1)试说明：△HCD∽△HDB．
(2)求DH的长．
23.(本小题9分)
牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式.甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元．
(1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元；
(2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送.若该种奶食品每千克的生产成本y1元(不含运费)，销售价y2元与生产量x千克之间的函数关系式为：y1=−2x+58(0①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？
②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC顶点A的坐标为(1, 3)．
(1)求过点B的反比例函数的解析式；
(2)点D在x轴上，当以B、D、O三点构成的三角形为等腰三角形时，求点D的坐标；
(3)反向延长OB，与反比例函数在交于点F，点Q在x轴上的一点，当以F、Q、B三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=23x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B(43,0)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求S1S2的最大值；
②是否存在点D，使∠DCA等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：|−2024|=2024，
∵−12024<0<12024<2024，
∴−12024<0<12024<|−2024|，
∴所给的各数中最小的是−12024．
故选：B．
首先求出|−2024|的值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：(1)正数都大于0；(2)负数都小于0；(3)正数大于一切负数；(4)两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】C
【解析】解：A、 2与 3不能合并，故此选项不符合题意；
B、(a−b)2=a2−2ab+b2，故此选项不符合题意；
C、(−a)2⋅a3=a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
D、3a+2a=5a，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据二次根式的加减、完全平方公式、同底数幂的乘法、合并同类项分别计算判断即可．
本题考查了二次根式的加减、完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：第一个图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
第二，第三个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
4.【答案】D
【解析】解：1.41亿=141000000=1.41×108．
故选：D．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、∵∠1=∠2，AB为公共边，若AD=BC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ACB≌△BDA，符合题意；
B、∵∠1=∠2，AB为公共边，若AC=BD，则△ACB≌△BDA(SAS)，不符合题意；
C、∵∠1=∠2，AB为公共边，若∠D=∠C，则△ACB≌△BDA(AAS)，不符合题意；
D、∵∠1=∠2，AB为公共边，若∠DAB=∠CBA，则△ACB≌△BDA(ASA)，不符合题意；
故选：A．
利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.【答案】D
【解析】解：A、32+4+2+1+1=40，该班共有40名学生，故本选项不符合题意；
B、(30×32+29×4+28×2+26×1+18×1)÷40=29.4，故本选项不符合题意；
C、30分出现的次数最多，众数为30，故本选项不符合题意；
D、第20和21两个数的平均数为30，故中位数为30，故本选项符合题意；
故选：D．
根据平均数、众数、中位数的定义进行计算即可．
本题考查了众数、中位数以平均数，掌握它们的计算方法是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象得到两个交点的横坐标，再观察一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，即可得到x的取值范围．
【解答】
解：由图象可得，
当y1>y2时，自变量x的取值范围为1故选D．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AB/​/CD，
∴△EDF∽△EAB，△EDF∽△BCF，
∴EDEA=DFAB=EFBE，DEBC=EFFB，故A、B不符合题意，C符合题意；
∴EF=ED⋅BEEA，
∴DEBC=ED⋅BEFB⋅EA，即BFBE=BCAE，故D不符合题意；
故选：C．
根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB/​/CD，进而证明△EDF∽△EAB，△EDF∽△BCF，根据相似三角形的性质即可得到答案．
本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明△EDF∽△EAB，△EDF∽△BCF是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，
设AC=BC=1，则AB=BD= 2，
∴tan22.5°=ACCD=11+ 2= 2−1，
故选：B．
在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD= 2，根据tan22.5°=ACCD计算即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．
10.【答案】D
【解析】解：由题意可知得(−1,−2)，(0,1)，(1,−2)在函数图象上，
把三点的坐标代入函数解析式y=ax2+bx+c中，
a−b+c=−2c=1a+b+c=−2，
解得a=−3b=0c=1，
所以函数的解析式是y=−3x2+1，
x=2时y=−11，
故选：D．
首先根据抛物线关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，得到满足条件的三点(−1,−2)，(0,1)，(1,−2)，然后再将点的坐标代入函数关系式得到三元一次方程组，求出a、b、c的值，最后求出当x=2时的正确值即可．
本题主要考查了二次函数图象的知识，熟练掌握二次函数图象的对称性是解决本题的关键．
11.【答案】5(x+2)(x−2)
【解析】【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式5，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：5x2−20，
=5(x2−4)，
=5(x+2)(x−2)．
故答案为5(x+2)(x−2)．
12.【答案】50°
【解析】解：∵AB/​/CD，
∴∠3=∠2，
∵∠1=70°，
∴70°+60°+∠3=180°，
∴∠3=50°，
∴∠2=50°，
故答案为：50°．
先根据两直线平行的性质，得到∠3=∠2，再根据平角的定义，即可得出∠2的度数．
本题主要考查了平行的性质，解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
13.【答案】−1≤a<0
【解析】解：关于x的不等式组x>a2x−1<5有解，其解集为a∵关于x的不等式组只有3个整数解，
∴−1≤a<0，
故答案为：−1≤a<0．
根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于a的不等式组，再求出解集即可．
本题考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法，理解一元一次不等式组的整数解的意义是正确解答的前提．
14.【答案】134
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=−32，x1x2=−12，
所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−32)2−2×(−12)=134．
故答案为：134．
先利用根与系数的关系得x1+x2=−32，x1x2=−12，再根据完全平方公式变形得到x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．
15.【答案】245
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
先根据菱形的性质得OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，再利用勾股定理计算出AB=5，然后根据菱形的面积公式得到12⋅AC⋅BD=DH⋅AB，再解关于DH的方程即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=4，OB=OD=3，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，AB= 32+42=5，
∵S菱形ABCD=12⋅AC⋅BD，
S菱形ABCD=DH⋅AB，
∴DH⋅5=12×6×8，
∴DH=245．
故答案为245．
16.【答案】①②
【解析】解：∵抛物线的顶点坐标为(−1,4)，∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y<0，∴4a+2b+c<0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为−2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤−2，④错误，
故答案为：①②．
①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；
②根据x=2时，y<0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键．
17.【答案】解：(1)由已知得AP=BP=12AB=17cm，
在Rt△APE中，
∵sin∠AEP=APAE，
∴AE=AP sin∠AEP=17sin18∘≈170.3≈57(cm)，
答：眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE约为57cm；
(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠EAB+∠BAF=90°，∠EAB+∠AEP=90°，
∴∠BAF=∠AEP=18°，
在Rt△ABF中，
AF=AB⋅cs∠BAF=34×cs18°≈34×0.95≈32.3(cm)，
BF=AB⋅sin∠BAF=34×sin18°≈34×0.3≈10.2(cm)，
∵BF/​/CD，
∴∠CBF=∠BCD=30°，
∴CF=BF⋅tan∠CBF=10.2×tan30°=10.2× 33≈5.78(cm)，
∴AC=AF+CF=32.3+5.78≈38(cm)．
答：显示屏顶端A与底座C的距离AC约为38cm．
【解析】(1)由已知得AP=BP=12AB=17cm，根据锐角三角函数即可求出眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；
(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F，根据锐角三角函数求出AF和BF的长，进而求出显示屏顶端A与底座C的距离AC．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
18.【答案】解：(π−2024)0sin60°tan60°−(−2−1)÷(−12)−1
=1× 32× 3−(−3)÷(−2)
=1.5−1.5
=0．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和小括号里面的减法，然后计算乘法、除法，最后计算减法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OD=OB，OA=OC，
∵BE=DF，
∴OD−DF=OB−BE，
∴OF=OE，
在△AOF和△COE中，
OF=OE∠AOF=∠COEOF=OE，
∴△AOF≌△COE(SAS)，
∴∠AFO=∠CEO，
∴AF/​/CE．
【解析】由平行四边形的性质得OD=OB，OA=OC，而BE=DF，可推导出OF=OE，即可根据“SAS”证明△AOF≌△COE，得∠AFO=∠CEO，则AF/​/CE．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，证明△AOF≌△COE是解题的关键．
20.【答案】解：x2x−2−1x+1⋅xx−1
=x2(x−1)−x(x+1)(x−1)
=x(x+1)2(x+1)(x−1)−2x2(x+1)(x−1)
=x2+x−2x2(x+1)(x−1)
=x(x−1)2(x+1)(x−1)
=x2(x+1)，
解不等式−3x>5−x得，x<−2.5，
∵x的值是不等式−3x>5−x的最大整数解，
∴x=−3，
当x=−3时，原式=−32(−3+1)=34．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值，代入原式进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】100
【解析】解：(1)抽样调查抽取的样本容量是25÷25%=100，
故答案为：100；
(2)20.5～30.5的频数为：100−(20+25+15+10)=30，
补全图形如下：
(3)在整个寒假做家务的时间在30.5～50.5小时之间的人数为2800×15+10100=700人．
(1)由10.5～20.5的人数及其所占百分比可得样本容量；
(2)根据频数之和等于总人数可得；
(3)总人数乘以样本中30.5～50.5的人数所占比例．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】解：(1)∵DH//AB，
∴∠A=∠HDC，
∵∠CBD=∠A，
∴∠HDC=∠CBD，
又∵∠H=∠H，
∴△HCD∽△HDB；
(2)∵DH//AB，
∴CDAC=CHBC，
∵AC=3CD，
∴13=CH4，
∴CH=43，
∴BH=BC+CH=4+43=163，
由(1)知△HCD∽△HDB，
∴DHBH=CHDH，
∴DH163=43DH
∴DH=649=83，
∴DH=83(负值舍去)．
答：DH的长度为83．
【解析】(1)根据两个角对应相等即可证明△HCD∽△HDB；
(2)根据DH//AB，AC=3CD，对应线段成比例可得CH=1，再结合(1)△HCD∽△HDB，对应边成比例即可求出DH的长度．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
23.【答案】解：(1)设甲快递公司每千克的运费各是x元，乙快递公司每千克的运费是y元，
根据题意得，2x+3y=425x+4y=70，
解得：x=6y=10，
答：甲快递公司每千克的运费是6元，乙快递公司每千克的运费是10元；
(2)①由题意得：x[(−6x+120)−(−2x+58)]−6x=180，
解得x1=5，x2=9，
∵x<8，
∴x=5，
即当日生产5千克时，盈利为180元；
②设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0∴当x=7时，W的值最大，最大值为196；
当8≤x<13时，W=x(−6x+120−42)−6x=−6(x−6)2+216，(不合题意，舍去)，
当x=8时，W的值最大，最大值为192；
∴每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元．
【解析】(1)设甲快递公司每千克的运费各是x元，乙快递公司每千克的运费是y元，
根据题意列方程组即可得到结论；
(2)①依据每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润达到180元，列式解答即可；
②设产量为xkg时，获得的利润为W元，①当0本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．
24.【答案】解：(1)过点A作AE⊥x轴于E，过B作BG⊥x轴于G，如图：

∵A(1, 3)，
∴OE=1，AE= 3，
在Rt△AOE中，AO2=OE2+AE2，
∴AO= OE2+AE2= 12+( 3)2=2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO=AB=OC=2，AB/​/x轴
∴EG=AB=2，
∴OG=OE+EG=1+2=3，
∴B(3, 3)，
∵过B点的反比例函数解析式为y=kx，把B点坐标代入得k=3 3，
∴反比例函数解析式为y=3 3x；
(2)∵B(3, 3)，
∴OB= 32+( 3)2=2 3，
①当O为顶点时，OD=OB=2 3，∴D(0,2 3)或(0,−2 3)；
②当D为顶点时，OD=DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC是OB的垂直平分线，
∴点D与C重合，
∴D(2,0)；
③当B为顶点时，BO=BD，则OG=DG=3，
∴OD=6，
∴D(6,0)；
综上所述：D的坐标为(0,2 3)或(0,−2 3)或(2,0)或(6,0)；
(3)如图：

∵B(3, 3)，反向延长OB，与反比例函数在第三象限交于点F，
∴F(−3,− 3)，
∴BF2=48，
设Q(t,0)，则BQ2=(t−3)2+3，FQ2=(t+3)2+3，
①以BF为斜边时，BQ2+FQ2=BF2，
∴(t−3)2+3+(t+3)2+3=48，
解得t=2 3或t=−2 3，
∴Q(2 3,0)或(−2 3,0)，
②以BQ为斜边时，BF2+FQ2=BQ2，
∴48+(t+3)2+3=(t−3)2+3，
解得t=−4，
∴Q(−4,0)，
③以FQ为斜边时，BF2+BQ2=FQ2，
∴48+(t−3)2+3=(t+3)2+3，
解得t=4，
∴Q(4,0)，
综上所述，Q的坐标为：(2 3,0)或(−2 3,0)或(−4,0)或(4,0)．
【解析】(1)过点A作AE⊥x轴于E，过B作BG⊥x轴于G，由A(1, 3)，可得AO= OE2+AE2=2，根据四边形OABC是菱形，即得B(3, 3)，故反比例函数解析式为y=3 3x；
(2)根据勾股定理得到OB= 32+( 3)2=2 3，①当O为顶点时，根据等腰三角形的性质得到OD=OB=2 3，②当D为顶点时，OD=DB，根据菱形的性质得到D(2,0)；③当B为顶点时，根据等腰三角形的性质得到结论；
(3)根据B(3,)，反向延长OB，与反比例函数在第三象限交于点F，得F(−3,− 3)，设Q(t,0)，则BQ2=(t−3)2+3，FQ2=(t+3)2+3，①以BF为斜边时，可得(t−3)2+3+(t+3)2+3=48，即可解得Q(2 3,0)或(−2 3,0)，②以BQ为斜边时，同理可得Q(−4,0)，③以FQ为斜边时，可得Q(4,0)．
本题考查反比例函数的综合应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
25.【答案】解：(1)由直线y=23x+2可得A(−3,0)，C(0,2)，
设抛物线解析式为y=a(x+3)(x−43)，
将点C(0,2)代入得a(0+3)(0−43)=2，
解得a=−12，
即y=−12(x+3)(x−43)，
∴抛物线解析式为y=−12y2−56x+2；
(2)①过点D作DH⊥x轴，交AC于点M，

设点D(m,−12m2−56m+2)，则点M(m,23m+2)，
则DM=(−12m2−56m+2)−(23m+2)=−12m2−32m，
过点B作BN⊥x轴交直线AC于点N，
将x=43代入y=23x+2中得y=269，
∴N(43,269)，
∴BN=269，
∵DH/​/BC，
∴△EDM∽△EBN，
∴DMBN=DEBE，
即DEBE=926(−12m2−32m)=−952(m+32)2+81208，
∴S1S2=DEBE=−952(m+32)2+81208，
∴S1S2的最大值为81208；
②设点D(a,−12a2−56a+2)，
过点D作DP//x轴，交y轴于点G，直线AC于点P，

则∠DPC=∠BAC，∠DCA=∠DPC+∠PDC，
当∠DCA=2∠BAC，则∠PDC=∠BAC，
∴tan∠PDC=tan∠BAC=OCOA=23，
又∵DG=−a，CG=(−12a2−56a+2)−2=−12a2−56a，
∴tan∠PDC=CGDG=−12a2−56a−a=23，
即−32a2−12a=0，
解得a1=−13，a2=0(舍去)，
∴点D(−13,259)．
【解析】(1)由直线由直线y=23x+2可得A(−3,0)，C(0,2)，再根据抛物线与x轴的交点为A(−3,0)，B(43,0)，把抛物线解析式设为交点式，再把C点坐标代入解析式求解即可；
(2)①过点D作DH⊥x轴，交AC于点M，设点D(m,−12m2−56m+2)，则点M(m,23m+2)，然后求出DM=−12m2−32m；过点B作BN⊥x轴交直线AC于点N，然后求出点N坐标，求出BN=269，再根据DH/​/BC得出△EDM∽△EBN，
再根据相似三角形的性质得出DEBE，由函数的性质求出最大值，然后根据三角形的面积比等于DEBE，从而得出结论；
②过点D作DP//x轴，交y轴于点G，直线AC于点P，则∠DPC=∠BAC，∠DCA=∠DPC+∠PDC，当∠DCA=2∠BAC，则∠PDC=∠BAC，从而得到tan∠PDC=tan∠BAC=OCOA=23，再设设点D(a,−12a2−56a+2)，根据tan∠PDC=CGDG=23，得出关于a的方程，解方程求出a即可．
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．成绩(分)
30
29
28
26
18
人数(人)
32
4
2
1
1
x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−11
−2
1
−2
−5
…