2022-2023学年浙江省杭州市西湖区文理中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年浙江省杭州市西湖区文理中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若代数式 x+3有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−3B. x<−3C. x≠−3D. x≥−3
2.用配方法解方程x2−x−1=0时，配方正确的是( )
A. (x−14)2=34B. (x−14)2=54C. (x−12)2=34D. (x−12)2=54
3.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.下列计算正确的是( )
A. 8− 2= 2B. (2− 5)(2+ 5)=1
C. 27− 123= 9− 4=1D. 6− 2 2=3 2
5.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB=CD，AD=BCB. ∠ABC=∠ADC，AB/​/CD
C. OA=OC，OB=ODD. AB/​/CD，AD=BC
6.用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个钝角三角形中( )
A. 有一个内角小于45°B. 每一个内角都小于45°
C. 有一个内角大于或等于45°D. 每一个内角都大于或等于45°
7.某口罩生产厂2020年1月份平均日产20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂立即决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个，则口罩日产量的月平均增长率是( )
A. 20%B. 30%C. 40%D. 50%
8.如图，点E是▱ABCD的边AD的中点，CD、BE的延长线交于点F，DF=4，DE=3，则▱ABCD的周长为( )
A. 6B. 8C. 20D. 24
9.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为边DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为( )
A. 1
B. 2
C. 52
D. 3
10.已知关于x的一元二次方程(x−x1)(x−x2)=0与一元一次方程2x−4=0有一个公共解x=x1，若一元二次方程(x−x1)(x−x2)+(2x−4)=0有两个相等的实根，则x2=( )
A. −2B. −4C. 2D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在平面直角坐标系中，点P(3,−5)关于原点对称的点的坐标是__________．
12.如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=______．
13.有一列数2，3，4，4，6，若增加一个实数a后，中位数仍不变，则a的值可以是______(写出一个即可)．
14.已知a是一元二次方程4x2−6x+5=0的一个解，求代数式6a2−9a+1的值为______．
15.已知 m−2(m−3)≤0.若整数a满足m+a=5 2，则a=______．
16.如图，在矩形ABCD中，AD= 2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE，垂足为H，连结BH并延长交DC于点F，连结DE交BF于点O下列结论其中正确的是：______．
①AD=AE ②∠DEA=∠DEC③H是BF的中点④BC−CF=2CE
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1) 40÷ 2− 5；
(2)( 6−2)( 6+2)− 3(2 3−2)．
18.(本小题8分)
(1)解方程：x2−4x−1=0
(2)2(x−3)2=x2−9．
19.(本小题8分)
某学校从八年级同学中任意选取40人，平均分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图(成绩均为整数，满分为10分)．
甲组成绩统计表
(1)甲组成绩的众数为______分；
(2)m= ______；乙组的中位数是______分；
(3)已知甲组成绩的方差S？=0.81，求出乙组成绩的方差，并判断哪个小组的成绩更稳定．
20.(本小题10分)
已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+(m−4)x−3=0(m为实数，m≠1)
(1)若方程一个根是2，求m的值及方程的另一个根？
(2)求证：此方程总有两个实数根；
21.(本小题10分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OB，OD的中点，连接AE，AF，CE，CF．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)若AB⊥AC，AB=3，BC=5，求AE的长．
22.(本小题12分)
某商店销售一款电风扇，平均每天可售出24台，每台利润60元.为了增加利润，商店准备适当降价，若每台电风扇每降价5元，平均每天将多售出4台．
(1)当每台电风扇降价10元，则每台的利润______元，平均每天多售出______台.
(2)若要使每天销售利润达到1540元，则每台需要降价多少元？
(3)请问该电风扇每天销售利润能否达到2000元吗？请说明理由．
23.(本小题12分)
如图，平行四边形ABCD，AD=AC，AD⊥AC．
(1)如图1，点E在AD延长线上，CE/​/BD，求证：点D为AE中点；
(2)如图2，点E在AB中点，F是AC延长线上一点，且ED⊥EF，求证：ED=EF；
(3)在(2)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(先补全图形再解答)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，
解得x≥−3．
故选：D．
二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
此题考查了二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵x2−x+14=1+14，
∴(x−12)2=54
故选：D．
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
3.【答案】A
【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4.【答案】A
【解析】解：A、原式=2 2− 2= 2，正确；
B、原式=4−5=−1，故本选项错误；
C、原式=3 3−2 33= 33，故本选项错误；
D、原式=6 2−22=3 2−1，故本选项错误．
故选：A．
二次根式的加减实质是合并同类二次根式；两个二次根式的乘除等于它们的被开方数相乘除，两个二次根式相除的时候，要熟练进行分母有理化．
此题考查了二次根式的加减乘除运算，能够熟练进行合并同类二次根式、分母有理化等．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、∵AB/​/CD，
∴∠BAD+∠ADC=∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠ABC=∠ADC，
∴∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵AB/​/CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形或平行四边形，故选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角小于45°”时，首先应该假设这个钝角三角形中每一个内角都大于等于45°，
故选：D．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可．
本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
7.【答案】D
【解析】解：设口罩日产量的月平均增长率是x，
依题意得：20(1+x)2=45，
解得：x1=0.5，x2=−2.5(不合题意，舍去)．
故选：D．
设口罩日产量的月平均增长率是x，根据该口罩厂1月份及3月份的平均日产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD//BC，
∴∠ABE=∠F，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE=3，AD=2DE=6，
在△BAE和△FDE中，
∠ABE=∠F∠AEB=∠DEFAE=DE，
∴△BAE≌△FDE(AAS)，
∴AB=DF=4，
∴平行四边形ABCD的周长=2(AB+AD)=2×(4+6)=20．
故选：C．
由平行四边形的性质得出AB=CD，AD=BC，AD//BC，证出∠ABE=∠F，由AAS证明△BAE≌△FDE，得出BA=DF=4，即可求出平行四边形ABCD的周长．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，
∴AB=CD，
又∵点F在线段AB的垂直平分线MN上，
∴AN=DM=4，
由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，
在Rt△ANF中，
NF= AF2−AN2=3，
∴FM=5−3=2，
设DE=EF=x，则ME=4−x，
在Rt△ANF中，ME2+MF2=EF2，
即(4−x)2+22=x2，
∴x=52，
即DE的长为52．
故选：C．
根据四边形ABCD为矩形，AD=5，AB=8，推出AB=CD，又因为点F在线段AB的垂直平分线MN上，则AN=DM=4，由折叠性质得：AF=AD=5，DE=FE，利用勾股定理求出NF，则FM可求，设DE=EF=x，则ME=4−x，列出方程即(4−x)2+22=x2，求解x即可．
本题考查翻折变换，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】D
【解析】解：∵解方程2x−4=0得x=2，
∴x1=2，
∵一元二次方程(x−x1)(x−x2)+(2x−4)=0变形为(x−2)(x−x2)+2x−4=0，
整理得x2−x2x+2x2−4=0，
∴△=(−x2)2−4(2x2−4)=0，解得x2=4．
故选：D．
先解方程2x−4=0得x1=2，则一元二次方程(x−x1)(x−x2)+(2x−4)=0变形为(x−2)(x−x2)+2x−4=0，整理得x2−x2x+2x2−4=0，利用判别式的意义得到△=(−x2)2−4(2x2−4)=0，然后解关于x2的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
11.【答案】(−3,5)
【解析】解：点P(3,−5)关于原点对称的点的坐标是(−3,5)，
故答案为：(−3,5)．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12.【答案】8
【解析】解：由题意得：180(n−2)=360×3，
解得：n=8，
故答案为：8．
根据多边形内角和公式180°(n−2)和外角和为360°可得方程180(n−2)=360×3，再解方程即可．
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
13.【答案】4
【解析】解：将这组数据从小到大排列为：2，3，4，4，6，则中位数为4，
∵增加一个数a后，这列数的中位数仍不变，
则这组数据从小到大排列为：2，3，4，a，4，6或2，3，4，4，a，6
∴4+a2=4或a≥4，
∴a≥4．
故答案为：≥4．
根据中位数的意义求解即可．
本题考查中位数，理解中位数的意义是正确解答的前提，将一组数据从小到大排序找出中间位置的一个数或两个数的平均数是解决问题的关键．
14.【答案】−6.5
【解析】解：把x=a代入方程4x2−6x+5=0得：4a2−6a+5=0，
即2a2−3a=−2.5，
所以6a2−9a+1=3(2a2−3a)+1=−7.5+1=−6.5．
故答案为：−6.5．
把x=a代入方程4x2−6x+5=0得出4a2−6a+5=0，求出2a2−3a=−2.5，变形后代入，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的解，能求出2a2−3a=−2.5是解此题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：∵ m−2(m−3)≤0，
∴m−2≥0m−3≤0，
∴2≤m≤3，
∵整数a满足m+a=5 2，
∴m=5 2−a，
∴2≤5 2−a≤3，
∴5 2−3≤a≤5 2−2，
∵7<5 2<8，
∴4∴a是整数，
∴a=5，
故答案为：5．
先根据 m−2(m−3)≤0.可知 m−2≥0，m−3≤0，被开方数是非负数列不等式组可得m的取值，又根据m+a=35 2，表示m的值代入不等式的解集中可得结论．
本题考查了二次根式的性质和估算、不等式组的解法，有难度，能正确表示m的值是本题的关键．
16.【答案】①②③④
【解析】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE= 2AB，
∵AD= 2AB，
∴AE=AD，故①正确，
在△ABE和△AHD中，
∠BAE=∠DAE∠ABE=∠AHD=90°AE=AD，
∴△ABE≌△AHD(AAS)，
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=12(180°−45°)=67.5°，
∴∠CED=180°−45°−67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故②正确；
∵∠AHB=12(180°−45°)=67.5°，∠OHE=∠AHB(对顶角相等)，
∴∠OHE=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°−67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°−45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∵∠EBH=90°−67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
又∵BE=DH，∠AEB=∠HDF=45°，
在△BEH和△HDF中，
∠EBH=∠OHDBE=DH∠AEB=∠HDF，
∴△BEH≌△HDF(ASA)，
∴BH=HF，HE=DF，
∴点H是BF的中点，故③正确；
∵AE=AD=BC，AB=AH=BE=CD，
∴CE=EH，
∴BC−CF=(CD+CE)−(CD−CE)=2CE，所以④正确；
故答案为：①②③④．
由“AAS”可证△ABE≌△AHD，由“ASA”可证△BEH≌△HDF，由全等三角形的性质和矩形的性质依次判断可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
17.【答案】解：(1) 40÷ 2− 5
= 20− 5
=2 5− 5
= 5；
(2)( 6−2)( 6+2)− 3(2 3−2)
=6−4−6+2 3
=−4+2 3．
【解析】(1)先算除法，再算减法即可；
(2)根据平方差公式和乘法分配律将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算、平方差公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)x2−4x−1=0，
x2−4x=1，
x2−4x+4=1+4，
(x−2)2=5，
x−2=± 5，
x−2= 5或x−2=− 5，
∴x1=2+ 5，x2=2− 5；
(2)2(x−3)2=x2−9，
2(x−3)2=(x+3)(x−3)，
2(x−3)2−(x+3)(x−3)=0，
(x−3)[2(x−3)−(x+3)]=0，
(x−3)(x−9)=0，
x−3=0或x−9=0，
∴x1=3，x2=9．
【解析】(1)方程利用配方法求解即可；
(2)方程利用因式分解法求解即可．
本题了解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法是解答本题的关键．
19.【答案】8 3 8
【解析】解：(1)甲组成绩出现次数最多的是8，
所以甲组成绩的众数是8，
故答案为：8；
(2)m=20−2−9−6=3(人)，
乙组成绩的中位数是第10、11个数的平均数，
则中位数是：8+82=8，
故答案为：3，8；
(3)乙组平均成绩是：x−=120×(2×7+9×8+6×9+3×10)=8.5(分)，
乙组的方差是：S乙2=120×[2×(7−8.5)2+9×(8−8.5)2+6×(9−8.5)2+3×(10−8.5)2]=0.75；
∵S乙2∴乙组的成绩更加稳定．
(1)用总人数减去其他成绩的人数，即可求出m；
(2)再根据中位数和众数的定义即可求出甲组成绩的众数和乙组成绩的中位数；
(3)先求出乙组的平均数，再根据方差公式求出乙组的方差，然后进行比较，即可得出答案．
此题考查了平均数、众数和方差的有关内容，解题的关键是正确理解统计图．
20.【答案】(1)解：把x=2代入一元二次方程(m−1)x2+(m−4)x−3=0得4(m−1)+2(m−4)−3=0，
解得m=−32，
此时一元二次方程为32x2−32x−3=0，
设方程的另一个根为t，
根据根与系数的关系得2+t=1，
解得t=1，
即方程的另一个根为1；
(2)证明：∵m≠1，Δ=(m−4)2−4(m−1)×(−3)=m2+4m+4=(m+2)2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
【解析】(1)先把把x=2代入一元二次方程可求得m=−32，则此时一元二次方程为32x2−32x−3=0，设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得2+t=1，然后据诶一次方程即可；
(2)计算根的判别式的值得到Δ=(m+2)2，利用非负数的性质得到Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.也考查了根的判别式．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形；
(2)解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴AC= BC2−AB2= 52−32=4，
∴OA=12AC=2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB= AB2+OA2= 32+22= 13，
∵∠BAO=90°，E是OB的中点，
∴AE=12OB= 132．
【解析】(1)由平行四边形的性质得OA=OC，OB=OD，再证OE=OF，即可得出结论；
(2)由勾股定理得AC=4，则OA=12AC=2，再由勾股定理求出OB= 13，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可求解．
本题考查了平行四边形的平与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由勾股定理求出OA、OB的长是解题的关键．
22.【答案】50 8
【解析】解：(1)根据题意得：当每台电风扇降价10元时，每台的利润为60−10=50(元)，
平均每天多售出105×4=8(台)．
故答案为：50，8；
(2)设每台需要降价x元，则每台的销售利润为(60−x)元，平均每天可售出(24+x5×4)台，
根据题意得：(60−x)(24+x5×4)=1540，
整理得：x2−30x+125=0，
解得：x1=5，x2=25．
答：每台需要降价5或25元；
(3)该电风扇每天销售利润不能达到2000元，理由如下：
假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价y元，则每台的销售利润为(60−y)元，平均每天可售出(24+y5×4)台，
根据题意得：(60−y)(24+y5×4)=2000，
整理得：y2−30y+700=0，
∵Δ=(−30)2−4×1×700=−1900<0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元．
(1)利用降价后每台电风扇的利润=降价前每台电风扇的利润−降低的价格，即可求出降价后每台电风扇的利润，利用平均每天可多出售电风扇的台数=每台电风扇降低的价格5×4，即可求出平均每天可多出售电风扇的台数；
(2)设每台需要降价x元，则每台的销售利润为(60−x)元，平均每天可售出(24+x5×4)台，利用总利润=每台的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
(3)假设该电风扇每天销售利润能达到2000元，设每台需要降价y元，则每台的销售利润为(60−y)元，平均每天可售出(24+y5×4)台，利用总利润=每台的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=−1900<0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该电风扇每天销售利润不能达到2000元．
本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(3)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AD//BC，DC=AB，
∴∠EDC=∠DAB，
CE/​/BD，
∴∠E=∠ADB，
∴△EDC≌△DAB(AAS)，
∴ED=DA；
即点D为AE中点；
(2)证明：在▱ABCD中，
∵AD=AC，AD⊥AC，
∴AC=BC，AC⊥BC，
连接CE，如图1所示：
∵E是AB的中点，
∴AE=EC，CE⊥AB，
∴∠CAE=∠BCE=45°，
∴∠ECF=∠EAD=135°，
∵ED⊥EF，
∴∠CEF=∠AED=90°−∠CED，
在△CEF和△AED中，
∠CEF=∠AEDEC=AE∠ECF=∠EAD，
∴△CEF≌△AED(ASA)，
∴ED=EF；
(3)解：四边形ACPE为平行四边形，如图2，
理由如下：
由(2)知△CEF≌△AED，
∴CF=AD，
∵AD=AC，
∴AC=CF，
∵DP/​/AB，
∴FP=PB，
∴CP=12AB=AE，
∴四边形ACPE为平行四边形．
【解析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)证明△EDC≌△DAB(AAS)，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质得到AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
(3)根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=12AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形．成绩(分)
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