2024年浙江省“海山联盟”中考数学一模试卷（2月份）（含答案）

这是一份2024年浙江省“海山联盟”中考数学一模试卷（2月份）（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）根据计划，我国将在2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等，数据384400用科学记数法表示为（ ）
A．0.3844×106B．38.44×104
C．3.844×105D．3.844×106
2．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（a3）2＝a5C．a5÷a2＝a3D．
3．（3分）下面四个古典园林中的花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）若一件礼物的外包装，其主视图是正方形，则该礼物的外包装不可能是（ ）
A．三棱锥B．圆柱C．正方体D．长方体
5．（3分）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
A．8，9B．8，8.5C．16，8.5D．16，14
6．（3分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去（ ）
A．39B．44C．49D．54
7．（3分）如图，AB切圆O于点B，连接OA交圆O于点C，连接CD，若∠A＝34°（ ）
A．68°B．56°C．34°D．28°
8．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（ ）
A．＝B．＝﹣12
C．240（x﹣12）＝150xD．240x＝150（x+12）
9．（3分）小函研究二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a为整数）时，发现下列说法中只有一个是错误的，你认为错误的是（ ）
A．函数与x轴的一个交点为（﹣1，0）
B．对称轴为直线x＝1
C．a＞0时，函数的最小值为3
D．点（2，8）在函数图象上
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH，AF于点M，O，N，若M，O，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a2+4a＝ ．
12．（3分）直角坐标系中，点（3，﹣4）关于坐标原点O成中心对称的点的坐标是 ．
13．（3分）一个不透明的袋子里装有1个黑球，2个白球，3个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为 ．
14．（3分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸选镜MN所成的虚像，已知蜡烛的高AB为4.8cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF cm．
15．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象分别与x轴，B，以线段AB为边向第一象限内作等边三角形ABC，反比例函数y＝（k≠0），与AC边交于点E．若△ODE的面积为，则k的值为 ．
16．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AD边上一个动点，连接BE（如图1），EF所在的直线与BC交于点H．
（1）当点E与点D重合时（如图2），则CH的长为 ；
（2）当CH取最大值时，EF的长为 ．
三、解答题（本题共有8小题，第17～18小题每小题6分，第19～20小题每小题6分，第21～22小题每小题6分，第23～24小题每小题6分，共72分.请务必写出解答过程）
17．（6分）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式＝6＝﹣12+18＝6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确
18．（6分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图（1，3），B（3，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个等腰三角形ABC，使得点C的横、纵坐标之和为偶数；
（2）在图2中画一个Rt△ABP，使得点P在坐标轴上．
19．（8分）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其示意图，已知两条侧翼AB，夹角为100°，AD平分∠BAD，C两点间的距离．（参考数据：sin50°≈0.64，cs50°≈0.77，tan50°≈0.87）
20．（8分）青少年体重指数（BMI）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数BMI计算公式：BMI＝（kg/m2），其中G表示体重（kg），h表示身高（m）（BMI）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据：
【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）若一位男生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则他的体重指数（BMI） 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”）
（2）求本次调查的总人数，并补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中表示体重指数（BMI）“A”等级的扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？
21．（10分）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）（千米）有如图关系．
（1）已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为60×1.2×0.6＝43.2（元）
（2）当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程（千米），当电池剩余电量为10%时，会提示充电
（3）金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）
22．（10分）已知点A（m，p），B（3，q），C（m+2，p）都在二次函数y＝2x2+bx+4的图象上．
（1）若m＝1，求该二次函数的表达式；
（2）求p+q的最大值；
（3）若p＜q＜4，求m的取值范围．
23．（12分）定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1，∠AMB＝∠CMD＝90°，MA＝MB，则四边形ABCD为蝴蝶四边形．
（1）【概念理解】如图2，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O．求证：正方形ABCD为蝴蝶四边形；
（2）【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°．求证：AC＝BD；
（3）【拓展应用】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°，MC＝MD＝1．当△ACD是等腰三角形时，求此时以BD为边的正方形的面积．
24．（12分）如图，点C在AB为直径的圆O上，连接AC，∠ACB的角平分线交AB于点E，交圆O于点P．G是BP上一点，连接AG并延长交CB的延长线于点F，连接EG．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若BC＝3，AC＝4，
①求AG的长度；
②求△AEG的面积．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）根据计划，我国将在2030年前实现中国人首次登陆月球，开展月球科学考察及相关技术试验等，数据384400用科学记数法表示为（ ）
A．0.3844×106B．38.44×104
C．3.844×105D．3.844×106
【解答】解：384400＝3.844×105．
故选：C．
2．（3分）下列运算，结果正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（a3）2＝a5C．a5÷a2＝a3D．
【解答】解：A、a3+a3＝7a3，故选项A不符合题意；
B、（a3）2＝a6，故选项B不符合题意；
C、a5÷a3＝a3，故选项C符合题意；
D、＝|a|；
故选：C．
3．（3分）下面四个古典园林中的花窗图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，故B不符合题意；
C．是轴对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
4．（3分）若一件礼物的外包装，其主视图是正方形，则该礼物的外包装不可能是（ ）
A．三棱锥B．圆柱C．正方体D．长方体
【解答】解：根据主视图可知，该礼物的外包装不可能是三棱锥．
故选：A．
5．（3分）为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如图，这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是（ ）
A．8，9B．8，8.5C．16，8.5D．16，14
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中8小时是出现次数最多的；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数的是第20，则这组数据的中位数是．
故选：A．
6．（3分）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去（ ）
A．39B．44C．49D．54
【解答】解：由图可知：第1个图案用了4+2＝9根木棍，
第2个图案用了6+5×2＝14根木棍，
第8个图案用了4+5×4＝19根木棍，
第4个图案用了4+4×4＝24根木棍，
⋯
∴第n个图案用的木棍根数是4+4n；
当n＝10时，4+5×10＝54，
故选：D．
7．（3分）如图，AB切圆O于点B，连接OA交圆O于点C，连接CD，若∠A＝34°（ ）
A．68°B．56°C．34°D．28°
【解答】解：如图，连接OB，则OB＝OD＝OC，
∵AB切圆O于点B，
∴AB⊥OB，
∴∠OBA＝∠OBE＝90°，
∵BD∥OA，
∴∠DBE＝∠A＝34°，
∴∠ODB＝∠OBD＝∠OBE﹣∠OBD＝90°﹣34°＝56°，
∴∠COB＝∠OBD＝56°，∠DOB＝180°﹣∠ODB﹣∠OBD＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
∴∠COD＝∠COB+∠DOB＝56°+68°＝124°，
∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝，
故选：D．
8．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（ ）
A．＝B．＝﹣12
C．240（x﹣12）＝150xD．240x＝150（x+12）
【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，
∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．
根据题意得：240x＝150（x+12）．
故选：D．
9．（3分）小函研究二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a为整数）时，发现下列说法中只有一个是错误的，你认为错误的是（ ）
A．函数与x轴的一个交点为（﹣1，0）
B．对称轴为直线x＝1
C．a＞0时，函数的最小值为3
D．点（2，8）在函数图象上
【解答】解：∵A选项中的函数值为0，C选项中的函数最小值为3，
∴选项A和C中有一个是错误的．
①选项A、B、D均正确．
∵函数与x轴的一个交点为（﹣7，0），
∴函数与x轴另一个交点为（3，8）．
∴该函数解析式可表示为：y＝a（x+1）（x﹣3）．
∵经过点（5，8），
∴3×（﹣2）a＝8，
解得：a＝﹣．
∵a为整数，
∴选项A是错误的，符合题意；
②选项B、C、D均正确．
∵对称轴为直线x＝1，函数的最小值为3，
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+3．
∵经过点（5，8），
∴8＝a（5﹣1）2+2．
解得：a＝5，符合a为整数的条件．
∴选项B、C、D均正确．
故选：A．
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH，AF于点M，O，N，若M，O，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接DM，BN
∵M，O，N是BD的四等分点
∴点D，M，O，N，D在同一条直线上，
∴DM＝MO＝ON＝NB，
设DH＝k，
依题意得：AE＝DH＝k，DE＝CH，
∵∠DHC＝∠DEA＝90°，
∴HC∥AF，
∴△DHM∽△DEN，
∴DH：DE＝DM：DN＝1：3，
∴DE＝2DH＝3k，
∴CH＝DE＝3k，
在Rt△ADE中，AE＝k，
由勾股定理得：AD＝＝，
在Rt△ABD中，AD＝AB＝，
由勾股定理得：BD＝＝，
∴DM＝BD＝，
在Rt△DHM中，DH＝k，
由勾股定理得：HM＝＝，
∴CM＝CH﹣HM＝4k﹣k＝，
∴＝．
故选：B．
二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：a2+4a＝ a（a+4） ．
【解答】解：a2+4a＝a（a+7）．
故答案为：a（a+4）．
12．（3分）直角坐标系中，点（3，﹣4）关于坐标原点O成中心对称的点的坐标是 （﹣3，4） ．
【解答】解：直角坐标系中，点（3，4）．
故答案为：（﹣6，4）．
13．（3分）一个不透明的袋子里装有1个黑球，2个白球，3个红球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为 ．
【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有1个黑球，2个白球，3个绿球，
∴从袋中任意摸出一个球是绿球的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图是凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸选镜MN所成的虚像，已知蜡烛的高AB为4.8cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE∥OF 12 cm．
【解答】解：由题意得：AB∥CD，AE＝OB＝6cm，
∵AE∥OF，
∴∠CAE＝∠COF，∠CEA＝∠CFO，
∴△CAE∽△COF，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴＝，
∴＝，
解得：CD＝12，
∴像CD的高为12cm，
故答案为：12．
15．（3分）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象分别与x轴，B，以线段AB为边向第一象限内作等边三角形ABC，反比例函数y＝（k≠0），与AC边交于点E．若△ODE的面积为，则k的值为 ．
【解答】解：∵一次函数解析式为y＝﹣x+b，
∴B（4，b）b，0），
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°，
∴AC∥y轴，
在Rt△OAB中，∠BAO＝30°，
∴AB＝BC＝AC＝3b，
∴C（b，2b），
∵点D是线段BC的中点，
∴D（，）．
过点D作，DH⊥x轴，交OE于点G，
根据反比例函数k值的几何意义，S△ODH＝S△OAE，
∴S△OGD＝S四边形AEGH，
∴S△ODE＝S△ODG+S△DEG＝S梯形AEDH＝（DH+AE）×AH＝（•＝，
∵xE•yE＝xD•yD＝，
∴yE＝，
E（b，），
∴（+）•＝，
∴b2＝，
又∵k＝xD•yD＝＝．
故答案为：．
16．（3分）已知四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AD边上一个动点，连接BE（如图1），EF所在的直线与BC交于点H．
（1）当点E与点D重合时（如图2），则CH的长为 ；
（2）当CH取最大值时，EF的长为 ．
【解答】解：（1）如图2所示，过D作DG⊥BC，
设CH＝x，则BH＝6﹣x，
由折叠可得∠ADB＝∠FDB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠FDB＝∠CBD，
∴DH＝BH＝4﹣x，
∵∠ABC＝60°，CD∥AB，
∴∠DCG＝60°，
又∵DG⊥CG，
∴CG＝CD＝5CD＝，
∴HG＝2+x，
Rt△DHG中，DG8+HG2＝DH2，
即（6）2+（3+x）2＝（6﹣x）6，
解得x＝，
∴CH＝．
故答案为：．
（2）如图所示，由折叠可得∠AEB＝∠FEB，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴EH＝BH，
∴CH＝CB﹣BH＝CB﹣EH＝6﹣EH，
∴当EH最短时，CH最大，
∴当EH⊥BC时，CH有最大值，
由（1）可得AD与BC之间的距离为2，
∴当EH⊥BC时，EH＝2，
设EF＝x，则FH＝，
由折叠可得BF＝BA＝4，
Rt△BHF中，BH2+HF2＝BF2，
即（5）2+（4﹣x）2＝32，
解得x1＝﹣2，x5＝+8（舍去），
∴EF＝﹣2．
故答案为：﹣8．
三、解答题（本题共有8小题，第17～18小题每小题6分，第19～20小题每小题6分，第21～22小题每小题6分，第23～24小题每小题6分，共72分.请务必写出解答过程）
17．（6分）计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式＝6＝﹣12+18＝6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确
【解答】解：方方的计算过程不正确，
正确的计算过程是：
原式＝6÷（﹣+）
＝7÷（﹣）
＝4×（﹣6）
＝﹣36．
18．（6分）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图（1，3），B（3，4），请在所给网格区域（含边界）上按要求画整点三角形．
（1）在图1中画一个等腰三角形ABC，使得点C的横、纵坐标之和为偶数；
（2）在图2中画一个Rt△ABP，使得点P在坐标轴上．
【解答】解：（1）如图1，△ABC1，△ABC4，△ABC3，△ABC4均满足题意．
（2）如图8，Rt△ABP1，Rt△ABP2均满足题意．
19．（8分）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其示意图，已知两条侧翼AB，夹角为100°，AD平分∠BAD，C两点间的距离．（参考数据：sin50°≈0.64，cs50°≈0.77，tan50°≈0.87）
【解答】解：∵两条侧翼AB，AC的长为60cm，AD平分∠BAD，
∴AB＝AC＝60cm，∠AEB＝90°，∠BAD＝．
在Rt△ABE中，
∵sin∠BAE＝，
∴BE＝sin50°×AB
≈0.64×60
＝38.2（cm）．
∴BC＝2BE＝76.8（cm）．
答：B，C两点间的距离为76.3cm．
20．（8分）青少年体重指数（BMI）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数BMI计算公式：BMI＝（kg/m2），其中G表示体重（kg），h表示身高（m）（BMI）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况
【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据：
【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
（1）若一位男生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则他的体重指数（BMI） B 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”）
（2）求本次调查的总人数，并补全条形统计图；
（3）求扇形统计图中表示体重指数（BMI）“A”等级的扇形的圆心角的度数；
（4）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？
【解答】解：（1）∵BMI＝51.2÷1.82＝20，15.7＜20≤22.3，
∴他的体重指数（BMI）属于B等级；
故答案为：B；
（2）本次调查的样本容量是：（8+5）÷13%＝100，
B等级的女生人数为：100×71%﹣32＝39（人），
补全条形统计图如下：
（3）360°×＝36°，
答：“A”等级的扇形的圆心角的度数为36°；
（4）2000×＝120（人），
答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为120人．
21．（10分）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）（千米）有如图关系．
（1）已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为60×1.2×0.6＝43.2（元）
（2）当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程（千米），当电池剩余电量为10%时，会提示充电
（3）金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）
【解答】解：（1）60×1.2×8.8＝129.6（元），
∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元．
（2）当x＞300时，设y＝kx+b（k，且k≠0）．
将坐标（300，30）和（400，
得，解得，
∴y＝﹣x+90，
∵﹣x+90≥0，
∴x≤450，
又∵x＞300，
∴300＜x≤450，
∴y与x的函数表达式为y＝﹣x+90（300＜x≤450）．
当y＝60×10%＝6时，得﹣，解得x＝420，
450﹣420＝30（千米），
∴此时理论上还能继续行驶30千米．
（3）根据图象可知，当电池剩余电量不低于30千瓦就开始充电时（千瓦时）．
设累计行驶里程为m千米，则耗电量为．
当充电千瓦时：
若选择私家安装充电桩充电，需要费用为2700+；
若选择公共充电桩充电，需要费用为．
当选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算时，得8.216m＞0.072m+2700．
∴累计行驶里程超过18750千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算．
22．（10分）已知点A（m，p），B（3，q），C（m+2，p）都在二次函数y＝2x2+bx+4的图象上．
（1）若m＝1，求该二次函数的表达式；
（2）求p+q的最大值；
（3）若p＜q＜4，求m的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得，二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝，
当m＝1时，﹣＝2，
∴b＝﹣3，
∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣6x+4；
（2）∵﹣＝m+1，
∴b＝﹣4（m+5），
把A，B坐标分别代入y＝2x2+bx+4得，
p＝2m2﹣2（m+1）m+4＝﹣7m2﹣4m+5，
q＝18﹣4（m+1）×3+4＝﹣12m+10，
∴p+q＝﹣2m8﹣4m+4﹣12m+10＝﹣8m2﹣16m+14＝﹣2（m﹣3）2+46，
∵﹣2＜8，
∴m＝8时，p+q最大值为46；
（3）∵p＜q，
∴m＞3或m+6＜3，
∵q＜4，
∴﹣12m+10＜5，
解得m＞，
∴m的取值范围为＜m＜1或m＞4．
23．（12分）定义：在四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1，∠AMB＝∠CMD＝90°，MA＝MB，则四边形ABCD为蝴蝶四边形．
（1）【概念理解】如图2，正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于O．求证：正方形ABCD为蝴蝶四边形；
（2）【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°．求证：AC＝BD；
（3）【拓展应用】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB＝∠CMD＝90°，MC＝MD＝1．当△ACD是等腰三角形时，求此时以BD为边的正方形的面积．
【解答】（1）【概念理解】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，
∴△AOB和△COD都是等腰直角三角形，正方形ABCD的对边AB，
∴正方形ABCD为蝴蝶四边形；
（2）【性质探究】证明：∵四边形ABCD是蝴蝶四边形，∠AMB＝∠CMD＝90°，
∴△AMB和△CMD都是等腰直角三角形，AM＝BM，
∠AMB+∠CMB＝∠CMD+∠CMB，
∴∠AMC＝∠BMD，
∴△AMC≌BMD（SAS），
∴AC＝BD；
（3）【拓展应用】解：延长AM交CD于N，
∵△ACD是等腰三角形，
∴AC＝AD，
∵AM＝BM＝，CM＝DM＝1，
∵AM＝AM，
∴△AMC≌AMD（SSS），
∴∠CAM＝∠DAM，AC＝BD，
∵AC＝AD，
∴AN⊥CD，CN＝DN，
∴MN＝CN＝DN＝CD＝，
∴AN＝AM+MN＝，
∴AC＝，
∴BD＝AC＝，
∴以BD为边的正方形的面积为（）2＝6．
24．（12分）如图，点C在AB为直径的圆O上，连接AC，∠ACB的角平分线交AB于点E，交圆O于点P．G是BP上一点，连接AG并延长交CB的延长线于点F，连接EG．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若BC＝3，AC＝4，
①求AG的长度；
②求△AEG的面积．
【解答】证明：（1）∵PG＝BC，
则∠BAC＝∠GAP，
连接OP，
∵CP是∠ACB的角平分线，
则∠＝∠＝45°，∠AOP＝90°，
则∠OPA＝∠OAP＝45°＝∠BAG+∠GAB＝∠BAC+∠BAF＝∠CAF，
即∠CAF＝45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
则AC＝FC；
（2）解：①如图，在Rt△ABC中，AC＝4，
在等腰直角三角形ACF中，AC＝4，
则BF＝CF﹣BC＝4﹣3＝6，
过点E作EM⊥AC于点M，作EN⊥BC于点N，
则四边形EMCN为正方形，设EM＝EN＝CM＝CN＝x，
在Rt△AME中，tan∠MAE＝＝＝＝，
解得：x＝，
则sin∠MAE＝＝＝，
解得：AE＝，
∵△ACF为等腰直角三角形，CP是∠ACB的角平分线，
∴EP⊥AF，
连接BG，
则∠AGB＝90°，即AF⊥BG，
设AF交CP于点H，
则EH∥BG，
∵△ACF为等腰直角三角形，则∠F＝45°，
则△BGF为等腰直角三角形，则GB＝GF＝，
则AG＝＝＝；
②由①知，EH∥BG，
则△AEH∽△ABG，
∴，即，
解得：EH＝，
则△AEG的面积＝EH•AG＝×．
等级
偏瘦（A）
标准（B）
超重（C）
肥胖（D）
男
BMI≤15.7
15.7＜BMI≤22.5
22.5＜BMI≤25.4
BMI＞25.4
女
BMI≤15.4
15.4＜BMI≤22.2
22.2＜BMI≤24.8
BMI＞24.8
方案
安装费用
每千瓦时所需费用
方案一：私家安装充电桩
2700元
0.6元
方案二：公共充电桩充电
0
1.8元（含服务费）
等级
偏瘦（A）
标准（B）
超重（C）
肥胖（D）
男
BMI≤15.7
15.7＜BMI≤22.5
22.5＜BMI≤25.4
BMI＞25.4
女
BMI≤15.4
15.4＜BMI≤22.2
22.2＜BMI≤24.8
BMI＞24.8
方案
安装费用
每千瓦时所需费用
方案一：私家安装充电桩
2700元
0.6元
方案二：公共充电桩充电
0
1.8元（含服务费）