2022-2023学年山西省朔州市右玉三中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省朔州市右玉三中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. 10B. 8C. 6D. 2
2.下列根式中，化简后能与 3进行合并的是( )
A. 8B. 18C. 32D. 12
3.如图，平面直角坐标系中，△OAB的边OB落在x轴上，顶点A落在第一象限．若OA=AB=5，OB=8，则点A的坐标是( )
A. (8,5)
B. (4,5)
C. (4,3)
D. (3,4)
4.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，AE平分∠BAD交BC边于点E，且CE=3，AD的长为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
5.如图，一架长2.5m的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7m，如果梯子的顶端B下滑0.4m至B′，那么梯子底端将滑动( )
A. 0.6m
B. 0.7m
C. 0.8m
D. 0.9m
6.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为( )
A. 5B. 37C. 7D. 38
7.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简 a2−4ab+4b2+|a+b|的结果为( )
A. 2a−bB. −3bC. b−2aD. 3b
8.古希腊几何学家海伦在他的著作《度量》中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若一个三角形三边长分别为a、b、c，记p=a+b+c2，三角形的面积为s= p(p−a)(p−b)(p−c)，如图，请你利用海伦公式计算△ABC的面积为( )
A. 152 7B. 5 7C. 154 7D. 3 7
9.下列说法中，正确的是( )
A. 有一个角是直角的平行四边形是正方形
B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
10.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 2 2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若二次根式 12x−3有意义，则x的取值范围是______．
12.命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是______．
13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=6，S3=15，则S2=______．
14.《算法统宗》记载古人丈量田地的诗：“昨日丈量地回，记得长步整三十．广斜相并五十步，不知几亩及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，记得长方形田的长为30步，宽和对角线之和为50步．不知该田有几亩？请我帮他算一算，该田有______亩(1亩=240平方步)．
15.如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=7，BC=10，则EF的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.计算：
(1) 18+|1− 2|−4 12+6 8÷2 2；
(2)(3 2+ 3)(3 2− 3)−(1− 5)2．
四、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
先化简，再求值：x( 6−x)+(x+ 5)(x− 5)，其中x= 6− 2．
18.(本小题8分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
(1)在图(1)中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；
(2)在图(2)中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2， 5， 13；这个三角形的面积为______．
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，BD⊥AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF=∠BAD，且AF⊥AC.求证：四边形ABDF是菱形．
20.(本小题10分)
如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点C与点B关于原点对称，若A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a=− 2．
(1)则b=______，c=______，bc+6=______；
(2)化简： (a−1)2+ (b−1)2+ (c−1)2．
21.(本小题8分)
看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m.请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．
22.(本小题10分)
细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
OA22=( 1)2+1=2，S1= 12；
OA32=12+( 2)2=3，S2= 22；
OA42=12+( 3)2=4，S3= 32…
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变规律：
OAn2=______，Sn=______．
(2)求出OA10的长．
(3)若一个三角形的面积是 5，计算说明它是第几个三角形？
23.(本小题13分)
综合与探究
将矩形OABC如图放置在平面直角坐标系中，若OA=6，AB=10，点D为BC上一点，将矩形OABC沿OD折叠使得点C恰好落在AB边上的点E处．
(1)求点D的坐标；
(2)将线段ED沿射线EO平移，使得点E恰好与点O重合，若此时点D的对应点为F，则四边形OEDF是什么四边形？请证明，并求出点F的坐标．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为 8= 2×22=2 2，因此 8不是最简二次根式．
故选：B．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件(被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式)是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】D
【解析】解：A、 8=2 2，与 3不能进行合并，故本选项错误；
B、 18=3 2，与 3不能进行合并，故本选项错误；
C、 32= 62，与 3不能进行合并，故本选项错误；
D、 12=2 3，与 3能进行合并，故本选项正确；
故选：D．
先根据二次根式的性质把每个根式化成最简二次根式，再判断是否与 3是同类二次根式即可．
本题考查了二次根式的性质和二次根式的定义的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
3.【答案】C
【解析】解：如图，过点A作AD⊥OB于点D，
∵OA=AB=5，OB=8，
∴OD=12OB=4．
在直角△OAD中，由勾股定理得：AD= OA2−OD2= 52−42=3．
故点A的坐标是(4,3)．
故选：C．
过点A作AD⊥OB于点D，利用等腰三角形的性质求得点A的横坐标，结合勾股定理求得AD的长度，易得点A的纵坐标．
本题主要考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠AEB，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠AEB=∠BAE，
∴AB=BE，
∵AD=2AB，
∴BC=2BE，即点E是BC中点，
∵CE=3，
∴AD=BC=6，
故选：C．
由平行四边形的性质知AD=BC，AD//BC，据此得∠DAE=∠AEB，结合角平分线知∠AEB=∠BAE，得AB=BE，由AD=2AB知点E是BC中点，利用CE=3可得答案．
本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和角平分线的性质．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB=，
∴BO= AB2−AO2= 2．52−0．72=2.4(m)，
∵B′O=BO−BB′=2.4−0.4=2(m)．
∴A′O= 2．52−22=1.5(m)，
A′A=A′O−AO=1.5−0.7=0.8(m)．
故梯足将滑动的距离是0.8m．
故选：C．
利用勾股定理计算出BO长，进而可得B′O的长，然后再利用勾股定理计算出A′O的长，进而可得答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
6.【答案】A
【解析】【分析】
可设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7−x，由面积为6作为相等关系列方程求得x的值，进而求得斜边的长．
可根据直角三角形的面积公式列出关于直角边的方程，解得直角边的长再根据勾股定理求斜边的长．熟练运用勾股定理和一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：设直角三角形一直角边为x，则另一直角边为7−x，
根据题意得12x(7−x)=6，
解得x=3或x=4，
所以斜边长为 32+42=5．
故选：A．
7.【答案】B
【解析】解：根据数轴可知b|a|，所以a−2b>0，a+b<0，
∴ a2−4ab+4b2+|a+b|
= (a−2b)2−(a+b)
=a−2b−a−b
=−3b．
故选：B．
根据数轴上点的坐标特点，判断出b|a|，所以a−2b>0，a+b<0，再把二次根式化简即可．
本题主要考查了二次根式的化简、绝对值的意义，解题关键是先判断所求的代数式的正负性．
8.【答案】C
【解析】解：p=4+5+62=7.5，
△ABC的面积为： 7.5×3.5×2.5×1.5=154 7，
故选：C．
根据题中的公式，代入计算求值．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的计算是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，掌握相关判定方法是解题的关键．
利用正方形的判定，矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定依次判断可求解．
【解答】
解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项A不合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意，
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO=∠NCO=45°，OD=OC，∠DOC=90°，
∴∠DON+∠CON=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠DON+∠DOM=90°，
∴∠DOM=∠CON，
在△DOM和△CON中，
∠DOM=∠CONOD=OC∠MDO=∠NCO，
∴△DOM≌△CON(ASA)，
∵S四边形MOND=S△DOM+S△DON，S△DOC=S△DON+S△CON，
∴S△DOC=S四边形MOND=1
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2=4，
∴AB=2，AB=−2(舍去)
故选：C．
根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．
11.【答案】x>32
【解析】解：∵二次根式 12x−3有意义，
∴12x−3≥0，
∴2x−3>0，
解得：x>32，
故答案为：x>32．
根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
本题考查了二次根式有意义的条件和解不等式等知识点，能得出关于x的不等式2x−3>0是解此题的关键．
12.【答案】直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°
【解析】解：因为原命题的题设是“在直角三角形中，一个锐角等于30度”，结论是“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，
所以“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是“直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°”．
故答案为：直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
本题考查逆命题的定义，属于基础题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
13.【答案】9
【解析】解：∵△ABC为直角三角形，
∴AB2=AC2+BC2，
∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=6，S3=15，
∴S3=S1+S2，
则S2=S3−S1=15−6=9，
故答案为：9
由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式得到S3=S1+S2，即可求出S2的值．
此题考查了勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14.【答案】2
【解析】解：设该矩形的宽为x步，则对角线为(50−x)步，
由勾股定理，得302+x2=(50−x)2，
解得x=16
故该矩形的面积=30×16=480(平方步)，
480平方步=2亩．
故答案是：2．
根据矩形的性质、勾股定理求得长方形的宽，然后由矩形的面积公式解答．
考查了勾股定理的应用，此题利用方程思想求得矩形的宽．
15.【答案】1.5
【解析】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE=12BC=5，
在Rt△AFB中，D是AB的中点，
∴DF=12AB=3.5，
∴EF=DE−DF=1.5，
故答案为：1.5．
根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3 2+ 2−1−4× 22+3 4
=3 2+ 2−1−2 2+6
=2 2+5；
(2)原式=(3 2)2−( 3)2−(1−2 5+5)
=18−3−6+2 5
=9+2 5．
【解析】本题考查二次根式的混合运算，掌握完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的结构是解题关键．
(1)化简二次根式，绝对值，然后先算乘除，再算加减；
(2)利用完全平方公式和平方差公式先计算乘方和乘法，然后去括号，再算加减．
17.【答案】解：原式= 6x−x2+x2−5= 6x−5，
当x= 6− 2时，
原式= 6( 6− 2)−5=6−2 3−5=1−2 3．
【解析】先计算整式的乘法，再合并同类项，然后把x= 6− 2代入化简后的结果，即可求解．
本题主要考查了二次根式的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)面积为10的正方形的边长为 10，
∵ 32+12= 10，
∴如图1所示的四边形即为所求；
(2)∵ 22+12= 5，
22+32= 13，
∴如图2所示的三角形即为所求，
这个三角形的面积=12×2×2=2；
故答案为：2．
【解析】(1)见答案；
(2)见答案．
(1)根据正方形的面积为10可得正方形边长为 10，画一个边长为 10正方形即可；
(2)根据勾股定理和已知画出符合条件的三角形即可．
本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，运用勾股定理得出有关线段长是解决问题的关键．
19.【答案】证明：∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF/​/BD，
∵∠BAD=∠ADF，
∴AB/​/FD，
∴四边形ABDF是平行四边形．
∵DA平分∠BDF，
∴∠BDA=∠FDA，
∴∠BDA=∠BAD，
∴AB=BD，
∴四边形ABDF是菱形．
【解析】先证AF/​/BD，AB/​/FD，得四边形ABDF是平行四边形，然后再证AB=BD即可．
本题考查了菱形的判定，相关知识点有：角平分线的定义、平行线的判定、等腰三角形的判定等，熟记菱形的所有判定方法是解题关键．
20.【答案】− 2+2 2−2 4 2
【解析】解：(1)∵a=− 2，
∴b=− 2+2，
∵点C与点B关于原点对称，
∴c=−b= 2−2，
∴bc+6=(− 2+2)( 2−2)+6=4 2；
故答案为：− 2+2， 2−2，4 2；
(2)原式=|a−1|+|b−1|+|c−1|
=|− 2−1|+|− 2+2−1|+| 2−2−1|
= 2+1+ 2−1+3− 2
=3+ 2．
(1)利用数轴表示数的方法，把a加2得到b的值，再写出b的相反数得到c的值，然后计算bc+6的值；
(2)利用二次根式的性质得到原式=|a−1|+|b−1|+|c−1|=|− 2−1|+|− 2+2−1|+| 2−2−1|，然后去绝对值合并即可．
本题考查了二次根式的化简求值：利用二次根式的性质和绝对值的意义计算．也考查了数轴．
21.【答案】解：设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，
在Rt△ABC中，
AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2，
解得：x=17，
答：旗杆的高度为17m．
【解析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．
22.【答案】解：(1)n； n2；
(2)OA102=12+( 10−1)2=10，
故OA10= 10；
(3)设它是第m个三角形，
由题意得， m2= 5
解得，m=20
答：一个三角形的面积是 5，它是第20个三角形．
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
(1)根据题意计算求出OAn2和Sn；
(2)根据(1)中的规律计算即可；
(3)根据(1)的结论列出方程，解方程得到答案．
【解答】
解：(1)根据上述规律，OAn2=12+( n−1)2=n，
Sn= n2；
(2)见答案；
(3)见答案．
23.【答案】解：(1)设CD=x，则DE=x，BD=6−x，
∵OC=OE=10，AO=6，
∴Rt△AOE中，AE= OE2−AO2=8，
∴BE=10−8=2，
∵Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，
∴22+(6−x)2=x2，
解得：x=103，
∴CD=103，
又∵OC=10，
∴D(10,103)；
(2)四边形OEDF是矩形．证明如下：
由平移性质可知DE/​/OF，DE=OF，
∴四边形OEDF是平行四边形，
由折叠可得∠DEO=∠DCO=90°，
∴四边形OEDF是矩形，
如图所示，过F作FG⊥y轴于G，则∠B=∠OGF=90°，

∵∠DEO=∠OAE=∠EOF=∠FGO=90°，
∴∠DEB+∠AEO=∠AOE+∠AEO，∠AOE+∠GOF=∠OFG+∠GOF，
∴∠DEB=∠AOE=∠OFG，
在△EBD和△FGO中，
∠B=∠OGF∠DEB=∠OFGDE=OF，
∴△EBD≌△FGO(AAS)，
∴GF=BE=2，OG=DB=6−103=83，
∴F(2,−83)．
【解析】(1)设CD=x，则DE=x，BD=6−x，先在Rt△AOE中，根据勾股定理求出AE的长，再在Rt△BDE中，根据勾股定理列方程求解得出CD的长，即可求解；
(2)由平移性质和折叠性质即可证明四边形OEDF是矩形；过F作FG⊥y轴于G，根据两角互余得出∠DEB=∠AOE=∠OFG，从而可证△EBD≌△FGO，得出GF=BE，OG=DB，从而得到点F的坐标．
本题考查了矩形与平面直角坐标系的综合，熟练掌握矩形的性质与判定，折叠的性质，平移的性质，勾股定理和全等三角形的性质与判定是解题的关键．