中考数学二轮复习冲刺第04讲 一次方程及方程组（23个考点）（知识精讲）（2份打包，原卷版+解析版）

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1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；
2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.
【知识导图】
【考点梳理】
一、一元一次方程
1.等式性质
（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式.
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式.
2.方程的概念
（1）含有未知数的等式叫做方程.
（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根).
（3）求方程的解的过程，叫做解方程.
3.一元一次方程
（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程.
（2）一元一次方程的一般形式:.
（3）解一元一次方程的一般步骤：
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来).
要点诠释：
解一元一次方程的一般步骤
说明：
（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；
（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；
（3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解.
二、二元一次方程组
1. 二元一次方程组的定义
两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
要点诠释：
判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．
2.二元一次方程组的一般形式
要点诠释：
a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0.
3. 二元一次方程组的解法
(1) 代入消元法；
(2) 加减消元法.
要点诠释：
（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．
（2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系：
当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.
三、一次方程（组）的应用
列方程(组)解应用题的一般步骤：
1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系；
2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整；
3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)；
4.解:解所列的方程(组)；
5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)；
6.答:注意单位和语言完整.
要点诠释：
列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.
【典型例题】
一．方程的定义（共1小题）
1．（2022•南京模拟）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A．3+2＝5B．x＝1C．2x﹣1＜0D．a+b
【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式是方程）解决此题．
【解答】解：A．根据方程的定义，3+2＝5中不含有未知数，那么3+2＝5不是方程，故A不符合题意．
B．根据方程的定义，x＝1是含有未知数的等式，那么x＝1是方程，故B符合题意．
C．根据方程的定义，2x﹣1＜0不是等式，那么2x﹣1＜0不是方程，故C不符合题意．
D．根据方程的定义，a+b不是等式，那么D不是方程，那么D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查方程，熟练掌握方程的定义是解决本题的关键．
二．方程的解（共2小题）
2．（2022•江阴市模拟）已知x＝1是方程x+2a＝﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值．
【解答】解：把x＝1代入方程，得：1+2a＝﹣1，
解得：a＝﹣1．
故选：A．
【点评】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．
3．（2022•香洲区校级一模）关于x的方程x2+bx+2a＝0（a、b为实数且a≠0），a恰好是该方程的根，则a+b的值为 ﹣2 ．
【分析】根据方程的解的概念，将x＝a代入原方程，然后利用等式的性质求解．
【解答】解：由题意可得x＝a（a≠0），
把x＝a代入原方程可得：a2+ab+2a＝0，
等式左右两边同时除以a，可得：a+b+2＝0，
即a+b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键．
三．等式的性质（共2小题）
4．（2022•宜兴市校级二模）若x+y＝5，2x﹣3y＝10，则x﹣4y的值为（ ）
A．15B．﹣5C．5D．3
【分析】利用等式的性质进行变形就可得到结果．
【解答】解：x+y＝5①，2x﹣3y＝10②，
②﹣①得x﹣4y＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了等式的性质，做题关键是掌握等式的性质．
5．（2022•景县校级模拟）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则在■，●，▲中，质量最小的是（ ）
A．■B．●C．▲D．无法确定
【分析】设■，●，▲的质量分别为a，b，c，由天平可知①2a＞a+c，②3b＜2c，根据①求出2a＞2c，求出2a＞2c＞3b，求出a＞c＞b，再得出选项即可．
【解答】解：设■，●，▲的质量分别为a，b，c，
由天平可知：①2a＞a+c，②3b＜2c，
由①，得a＞c，
所以2a＞2c，
∴2a＞2c＞3b，
即a＞c＞b，
质量最小的是“●”，
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质和等式的性质，能根据图形得出2a＞a+c和3b＜2c是解此题的关键．
四．一元一次方程的定义（共2小题）
6．（2022•定远县模拟）方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，那么a的值是（ ）
A．0B．7C．8D．10
【分析】根据一元一次方程的定义得出7﹣a＝0且a≠0，再求出a即可．
【解答】解：∵方程（7﹣a）x2+ax﹣8＝0是关于x的一元一次方程，
∴7﹣a＝0且a≠0，
解得：a＝7，
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．
7．（2022•宛城区一模）例如44x+64＝328，等，像这样的方程叫做一元一次方程．请写出一元一次方程的共同特点： 只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1 ．
【分析】利用一元一次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵只含有一个未知数，并且未知数的最高次为1的整式方程是一元一次方程，
∴一元一次方程的共同特点有：只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，
故答案为：只含有一个未知数，含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
五．一元一次方程的解（共2小题）
8．（2022•石家庄二模）x＝1是下列哪个方程的解（ ）
A．6＝5﹣xB．2x+2＝3x+3
C．D．x2＝x
【分析】把x＝1分别代入各个方程判断即可．
【解答】解：A、把x＝1代入方程得：左边＝6，右边＝4，
∵左边≠右边，
∴x＝1不是方程的解；
B、把x＝1代入方程得：左边＝2+2＝4，右边＝3+3＝6，
∵左边≠右边，
∴x＝1不是方程的解；
C、把x＝1代入方程，分母为0，
∴x＝1不是方程的解；
D、把x＝1代入方程得：左边＝1，右边＝1，
∵左边＝右边，
∴x＝1是方程的解．
故选：D．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
9．（2022•青县一模）已知关于x的方程的解为x＝﹣10，则a的值为 2 ；嘉琪在解该方程去分母时等式右边的﹣1忘记乘6，则嘉琪解得方程的解为x＝ ﹣5 ．
【分析】把x＝﹣10代入方程即可得出a的值；根据题意结合解一元一次方程的步骤即可得出嘉琪解得方程的解．
【解答】解：把x＝﹣10代入关于x的方程，得：
，
解得a＝2；
故原方程为，
嘉琪的解题过程为：
2（2x﹣1）＝3（x﹣2）﹣1，
4x﹣2＝3x﹣6﹣1，
4x﹣3x＝2﹣6﹣1，
x＝﹣5．
故答案为：2；﹣5．
【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
六．解一元一次方程（共3小题）
10．（2022•钟山县模拟）解方程：＝1．
【分析】方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可．
【解答】解：去分母，得3x+2（x﹣1）＝6，
去括号，得3x+2x﹣2＝6，
移项，得3x+2x＝6+2，
合并同类项，得5x＝8，
系数化为1，得x＝．
【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．
11．（2022•西安模拟）解方程：3（x﹣1）＝2﹣2x．
【分析】方程去括号，移项，合并，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去括号得：3x﹣3＝2﹣2x，
移项得：3x+2x＝2+3，
合并得：5x＝5，
系数化为1得：x＝1．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解本题的关键．
12．（2022•昭化区模拟）解方程：．
【分析】方程去分母，去括号，移项，合并把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母，得：3（3x﹣1）﹣24＝8（5x﹣7），
去括号，得：9x﹣3﹣24＝40x﹣56，
移项，得：9x﹣40x＝﹣56+3+24，
合并同类项，得：﹣31x＝﹣29，
系数化为1，得：x＝．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．
七．含绝对值符号的一元一次方程（共2小题）
13．（2021•江阴市校级模拟）方程|1﹣|x+1||+k＝kx有三个实数根，则k＝ ．
【分析】先将方程化为|1﹣|x+1||＝kx﹣k，方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点，画图分析即可求解．
【解答】解：将方程化为|1﹣|x+1||＝kx﹣k，
∴方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点，
∵化简绝对值可得函数y＝，且函数y＝kx﹣k的图象过定点（1，0），
∴函数图象如下：
由图可知，只有当y＝kx﹣k过点（﹣1，1）时，才有三个交点，
∴﹣k﹣k＝1，
∴k＝．
故答案为：．
【点评】本题将方程的解转化为函数图象的交点来做，涉及到绝对值的化简，画出分段函数的图象，最后利用函数图象的交点分析即可解决．
14．（2012•凤阳县校级模拟）阅读下列材料：
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|，也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离；
这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离；
在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义：
例1：解方程|x|＝2．容易得出，在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2，即该方程的x＝±2；
例2：解不等式|x﹣1|＞2．如图，在数轴上找出|x﹣1|＝2的解，即到1的距离为2的点对应的数为﹣1，3，则|x﹣1|＞2的解为x＜﹣1或x＞3；
例3：解方程|x﹣1|+|x+2|＝5．由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和﹣2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，1和﹣2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或﹣2的左边．若x对应点在1的右边，如图可以看出x＝2；同理，若x对应点在﹣2的左边，可得x＝﹣3．故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程|x+3|＝4的解为 1或﹣7 ；
（2）解不等式|x﹣3|+|x+4|≥9；
（3）若|x﹣3|﹣|x+4|≤a对任意的x都成立，求a的取值范围．
【分析】仔细阅读材料，根据绝对值的意义，画出图形，来解答．
【解答】解：（1）根据绝对值得意义，方程|x+3|＝4表示求在数轴上与﹣3的距离为4的点对应的x的值为1或﹣7．
（2）∵3和﹣4的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与﹣4的两侧．
当x在3的右边时，如图，
易知x≥4．
当x在﹣4的左边时，如图，
易知x≤﹣5．
∴原不等式的解为x≥4或x≤﹣5
（3）原问题转化为：a大于或等于|x﹣3|﹣|x+4|最大值．
∵当x≥3时，|x﹣3|﹣|x+4|应该恒等于﹣7，
当﹣4＜x＜3，|x﹣3|﹣|x+4|＝﹣2x﹣1随x的增大而减小，
∴﹣7＜|x﹣3|﹣|x+4|＜7，
∵当x≤﹣4时，|x﹣3|﹣|x+4|＝7，
∴|x﹣3|﹣|x+4|的最大值为7．
故a≥7．
【点评】本题是一道材料分析题，通过阅读材料，同学们应当深刻理解绝对值得几何意义，结合数轴，通过数形结合对材料进行分析来解答题目．由于信息量较大，同学们不要产生畏惧心理．
八．同解方程（共3小题）
15．（2022•南山区模拟）若关于y的方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，则a的值为（ ）
A．﹣3B．3C．﹣4D．4
【分析】先求方程y+4＝2的解，再将所求的解代入方程ay﹣2＝6+y，求出a的值即可．
【解答】解：∵y+4＝2，
∴y＝﹣2，
∵方程ay﹣2＝6+y与方程y+4＝2的解相同，
∴y＝﹣2方程ay﹣2＝6+y的解，
∴﹣2a﹣2＝6﹣2，
∴a＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法，理解同解方程的定义是解题的关键．
16．（2020•邯山区校级二模）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝ 7 ；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[﹣1]＝ 2 ．
【分析】先解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，求出a的值，代入a的值进而可得结果．
【解答】解：解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，
将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，
得a＝7，
所以．
故答案为：7；2．
【点评】本题考查了同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
17．（2021•邵阳模拟）已知方程x+3＝0与关于x的方程6x﹣3（x+k）＝x﹣12的解相同
（1）求k的值；
（2）若|m+5|+（n﹣1）k＝0求m+n的值．
【分析】（1）解方程x+3＝0，得x的值，把x的值代入方程6x﹣3（x+k）＝x﹣12，求出k的值；
（2）把k的值代入，根据非负数的和为0，先求出m、n的值，再求m+n．
【解答】解：（1）由x+3＝0，得x＝﹣3，
把x＝﹣3代入6x﹣3（x+k）＝x﹣12，
得6×（﹣3）﹣3（﹣3+k）＝﹣3﹣12，
整理，得3k＝6，
解得k＝2．
（2）∵k＝2，
∴|m+5|+（n﹣1）2＝0
∵|m+5|≥0，（n﹣1）2≥0
∴m+5＝0，n﹣1＝0．
∴m＝﹣5，n＝1．
m+n＝﹣5+1＝﹣4．
【点评】本题考查了一元一次方程及解法，非负数的和为0等知识点．求出k的值是解决本题的关键．
九．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）
18．（2022•萧山区校级二模）在车间原计划用15小时生产一批零件，实际每小时多生产了10件，用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件，设原计划每小时生产x个零件，那么下列方程正确的是（ ）
A．x＝（x+10）+80B．＝x+80
C．15x＝13（x+10）+80D．13（x+10）＝15x+80
【分析】根据题意可得等量关系用了13小时不但完成了任务，而且还多生产了80件列出方程解答即可．
【解答】解：设原计划每小时生产x个零件，可得：
13（x+10）＝15x+80，
故选：D．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后再列出方程．
19．（2022•政和县模拟）中国一本著名数学文献《九章算术》，书中出现了一个“共买鸡问题”，原文是：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数、物价各几何？其题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x，则下面符合题意的方程是（ ）
A．9x+11＝6x﹣16B．9x+6x＝16+11
C．9x+11＝6x+16D．9x﹣11＝6x+16
【分析】设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，根据鸡的价格不变可得9x﹣11＝6x+16，此题得解．
【解答】解：若设买鸡的人数为x，则鸡的价钱是（9x﹣11）文钱或（6x+16）文钱，
根据题意得：9x﹣11＝6x+16，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
一十．一元一次方程的应用（共7小题）
20．（2022•沂水县一模）如图，用一块长7.5cm、宽3cm的长方形纸板，和一块长6cm、宽1.5cm的长方形纸板，与一块小正方形纸板以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则小正方形的边长是 4.5 cm，拼成的大正方形的面积是 81 cm2．
【分析】设小正方形的边长为xcm，然后表示出大正方形的边长，利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长，然后求得大正方形的边长，即可求得拼成的大正方形的面积．
【解答】解：设小正方形的边长为xcm，则大正方形的边长为[6+（7.5﹣x）]cm或（x+1.5+3）cm，
根据题意得：6+（7.5﹣x）＝x+1.5+3，
解得：x＝4.5，
∴6+（7.5﹣x）＝9，
9×9＝81（cm2）．
答：小正方形的边长是4.5cm，拼成的大正方形的面积是81cm2．
故答案为：4.5，81．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长．
21．（2022•温州校级模拟）在端午节来临之际，某超市李老板花1600元购进了A、B、C三种类型的粽子，其中A粽子40盒，B粽子35盒，C粽子10盒，A粽子每盒的进价比B粽子低5元，C粽子进价30元/盒．
（1）求A粽子和B粽子每盒的进价；
（2）第一批粽子全部售出后，李老板又去采购，这次采购A粽子的数量和B粽子相同，但是A粽子的进价每盒降低了m%，B粽子的进价每盒提高了m%，当A粽子花费960元进货时，B粽子需要花费1920元进货，
①求m的值；
②进价调整后，李老板采购这三种粽子用了3000元，且A、B、C三种类型的粽子的售价分别为20元/盒，30元/盒，40元/盒，设出售完第二批粽子所得利润为W元，求W的最大值．
【分析】（1）设A粽子的进价为x元/盒，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）①根据采购A粽子的数量和B粽子相同列出方程，解方程即可；②设A粽子的数量为a盒，C粽子的数量为c盒，则B粽子的数量为a盒，根据采购这三种粽子用了3000元求出c＝100﹣a，然后根据总利润＝三种粽子利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求出函数的最值．
【解答】（1）解：设A粽子的进价为x元/盒，
根据题意得：40x+35（x+5）+30×10＝1600，
解得：x＝15，
∴x+5＝20，
∴A粽子的进价为15元/盒，B粽子的进价为20元/盒；
（2）①由题意得：＝，
解得m＝20，
经检验m＝20是原方程的解，
∴m的值为20；
②设A粽子的数量为a盒，C粽子的数量为c盒，则B粽子的数量为a盒，
A进价为 15（1﹣20%）＝12（元），B进价为20（1+20%）＝24，
根据题意得：12a+24a+30c＝3000，
∴c＝100﹣a，
W＝（20﹣12）a+（30﹣24）a+（40﹣30）c＝14a+10（100﹣a）＝2a+1000，
∵c＞0，
∴100﹣a＞0，
解得a＜，
∵a，c都是整数，
∴a＝80时，W有最大值，
W＝2×80+1000＝1160，
∴当a＝80时，最大利润是1160元．
【点评】本题考查一次函数和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
22．（2022•埇桥区校级模拟）寒假期间，小亮同学想跟着父母一起从合肥乘坐高铁去宣城，已知普通快车从合肥站到宣城站全程的平均速度为70km/h，刚开通的高铁从合肥站到宣城站全程的平均速度为140km/h，行完全程高铁比普通快车节省了90min．求合肥站到宣城站的距离为多少千米？
【分析】设合肥站到宣城站的距离为x千米，利用时间＝路程÷速度，结合行完全程高铁比普通快车节省了90min，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设合肥站到宣城站的距离为x千米，
依题意得：﹣＝，
解得：x＝210．
答：合肥站到宣城站的距离为210千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
23．（2022•马鞍山二模）某奶茶店的一款主打奶茶分为线上和线下两种销售模式，消费者从线上下单，每次可使用“满30减28”消费券一张（线下下单没有该消费券），同规格的一杯奶茶，线上价格比线下高20%，外卖配送费为4元/次，订单显示用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，求该款奶茶线下销售价格．
【分析】设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，根据用券后线上一次性购买6杯实际支付金额和线下购买6杯支付金额一样多，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设该款奶茶线下销售价格为x元/杯，则线上销售价格为（1+20%）x元/杯，
依题意得：6×（1+20%）x﹣28+4＝6x，
解得：x＝20．
答：该款奶茶线下销售价格为20元/杯．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．（2022•新城区模拟）为引导广大青少年树立正确的世界观、人生观、价值观，传承红色基因，某校组织学生去红色革命圣地﹣延安开展研学旅行，若单独租用30座客车若干辆，则恰好坐满：若单独租用40座客车，则可少租一辆．且余20个座位，求参加此次研学旅行的总人数．
【分析】设租用30座客车x辆，根据等量关系可列出方程30x＝40（x﹣1）﹣20，解方程即可求解．
【解答】解：设租用30座客车x辆，则：
30x＝40（x﹣1）﹣20，
解得：x＝6，
∴30×6＝180（人），
答：参加此次研学旅行的总人数为180人．
【点评】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键是找准等量关系，列出方程．
25．（2022•运城一模）在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，政府为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后乙工程队加入，两工程队联合施工4天后，还剩70米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工5米，求甲，乙工程队每天各施工多少米？
【分析】设乙工程队每天施工x米，则甲工程队每天施工（x+5）米，利用工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出乙工程队每天施工的长度，再将其代入（x+5）中即可求出甲工程队每天施工长度．
【解答】解：设乙工程队每天施工x米，则甲工程队每天施工（x+5）米，
依题意得：（2+4）（x+5）+4x＝400﹣70，
解得：x＝30，
∴x+5＝30+5＝35．
答：甲工程队每天施工35米，乙工程队每天施工30米．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
26．（2022•石家庄一模）某社区打算购买一批垃圾分类提示牌和垃圾箱，计划提示牌比垃圾箱多购买6个，且提示牌与垃圾箱的个数之和恰好为100个．
（1）求计划购买提示牌多少个？
（2）为提升居民垃圾分类意识，实际购买时增加了提示牌的购买数量，且提示牌与垃圾箱的购买数量之和不变．已知提示牌的单价为每个60元，垃圾箱的单价为每个150元，若预算费用不超过9800元，请求出实际购买提示牌的数量至少增加了多少个？
【分析】（1）设计划购买提示牌x个，则计划购买垃圾箱（x﹣6）个，根据计划购买提示牌与垃圾箱的个数之和恰好为100个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设实际购买提示牌的数量增加了m个，则实际购买垃圾箱的数量减少了m个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过9800元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【解答】解：（1）设计划购买提示牌x个，则计划购买垃圾箱（x﹣6）个，
依题意得：x+（x﹣6）＝100，
解得：x＝53．
答：计划购买提示牌53个．
（2）设实际购买提示牌的数量增加了m个，则实际购买垃圾箱的数量减少了m个，
依题意得：60（53+m）+150（53﹣6﹣m）≤9800，
解得：m≥．
又∵m为正整数，
∴m的最小值为5．
答：实际购买提示牌的数量至少增加了5个．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
一十一．二元一次方程的定义（共2小题）
27．（2022•麒麟区模拟）若方程x2a﹣b﹣3ya+b＝2是关于x、y的二元一次方程，则ab的值为（ ）
A．B．2C．D．1
【分析】根据二元一次方程的定义可得答案．
【解答】解：∵方程x2a﹣b﹣3ya+b＝2是关于x、y的二元一次方程，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
28．（2021•饶平县校级模拟）若关于x，y的方程2x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，则m+n＝ 2或4 ．
【分析】根据二元一次方程的定义得到|n|＝1，m﹣2＝1，然后解不等式和方程得到满足条件的m、n的值，然后把m、n的值代入m+n中计算即可．
【解答】解：根据题意得：|n|＝1，m﹣2＝1，
解得：n＝±1，m＝3，
∴m+n＝3+1＝4，m+n＝3﹣1＝2，
∴m+n的值是2或4，
故答案为：2或4．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
一十二．二元一次方程的解（共3小题）
29．（2022•上城区一模）二元一次方程4x﹣y＝2的解可以是（ ）
A．B．C．D．
【分析】把各选项代入方程，验证可得结论．
【解答】解：当时，﹣8﹣10＝﹣12≠2，故A选项不是二元一次方程的解；
当时，﹣4﹣2＝﹣6≠2，故B选项不是二元一次方程的解；
当时，4﹣2＝2，故C选项是二元一次方程的解；
当时，8+6＝14≠2，故D选项不是二元一次方程的解；
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解．掌握二元一次方程解的验证办法是解决本题的关键．
30．（2022•铁西区二模）已知是方程mx﹣y＝3的解，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．﹣7D．7
【分析】把代入方程mx﹣y＝3得出﹣m﹣4＝3，再求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程mx﹣y＝3得：﹣m﹣4＝3，
解得：m＝﹣7，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，能熟记二元一次方程的解的定义是解此题的关键．
31．（2022•易县三模）我们称使方程成立的一对数x，y为“相伴数对”，记为（x，y）．
（1）若（6，y）是“相伴数对”，则y的值为 ；
（2）若（a，b）是“相伴数对”，请用含a的代数式表示b＝ a ．
【分析】（1）根据相伴数对的定义求解．
（2）先建立关于a，b的方程，然后求解．
【解答】解：（1）∵（6，y）是“相伴数对”，
∴，
解得：；
故答案为：；
（2）∵（a，b）是“相伴数对”，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点评】本题考查用新定义解决数学问题，理解新定义，建立相关方程是求解本题的关键．
一十三．解二元一次方程（共3小题）
32．（2022•长春二模）将方程7x﹣y＝5变形成用含x的代数式表示y，则y＝ 7x﹣5 ．
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【解答】解：7x﹣y＝5，
7x﹣5＝y，
即y＝7x﹣5．
故答案为：7x﹣5．
【点评】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握“解方程的步骤”是解本题的关键．
33．（2022•惠城区一模）在二元一次方程5x﹣3y＝16中，若x、y互为相反数，求x与y值．
【分析】根据x，y互为相反数，得到x+y＝0，与已知等式联立求出x与y的值即可．
【解答】解：根据题意得：，
①+②×3得：8x＝16，即x＝2，
把x＝2代入②得：y＝﹣2．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
34．（2022•河源一模）方程3x+4y＝9，如果2y＝6，求x的值．
【分析】利用代入消元法解方程组可得到x的值．
【解答】解：，
解②得y＝3，
把y＝3代入①得3x+4×3＝9，
解得x＝﹣1，
所以方程组的解为，
即x的值为﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把二元一次方程组转化为一元一次方程求解．
一十四．由实际问题抽象出二元一次方程（共2小题）
35．（2022•萧山区二模）为了迎接杭州亚运会的召开，某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛．竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分．设杭杭同学答对了x道题，答错了y道题，则有（ ）
A．x﹣y＝10B．5x﹣3y＝60C．3x﹣y＝40D．x+y＝20
【分析】根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分”列出方程．
【解答】解：依题意得：5x﹣3y+（20﹣x﹣y）＝60，即x﹣y＝10．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量＝20，避免列错方程．
36．（2022•上虞区模拟）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡x只，兔y只，则由头数可列出方程x+y＝35，那么由足数可列出的方程为 2x+4y＝94 ．
【分析】根据“鸡的数量+兔的数量＝35，鸡的脚的数量+兔子的脚的数量＝94”可列方程组．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，则由头数可列出方程x+y＝35，那么由足数可列出的方程为2x+4y＝94．
故答案是：2x+4y＝94．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
一十五．二元一次方程的应用（共3小题）
37．（2022•前进区三模）为了加大“精准扶贫”力度，某市准备将10名干部分成2人一组或3人一组，到村屯带领贫困户脱贫，在所有干部都参加且每人只能参加一个小组的前提下，分组方案有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
【分析】设可以分成2人组x组，3人组y组，根据各组的总人数为10人，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为自然数，即可得出共有2种分组方案．
【解答】解：设可以分成2人组x组，3人组y组，
依题意得：2x+3y＝10，
∴x＝5﹣y，
又∵x，y均为自然数，
∴或，
∴共有2种分组方案．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
38．（2022•乐陵市模拟）为落实好乐陵市“1115”高效课堂，李老师把班级里50名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有 4 种．
【分析】设可以分成x组4人组，y组6人组，根据全班共有50名学生，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有4种分组方案．
【解答】解：设可以分成x组4人组，y组6人组，
依题意得：4x+6y＝50，
∴x＝．
又∵x，y均为自然数，
∴或或或，
∴共有4种分组方案．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
39．（2022•诸暨市模拟）我国的《洛书》中记载着世界最古老的一个幻方：将九个数字填入3×3的方格中，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，根据如图的幻方，则代数式x﹣3y＝ 2 ．
【分析】根据三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后即可得出x﹣3y的值．
【解答】解：∵三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，
∴x﹣2+0＝0+y+2y，
∴x﹣3y＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
一十六．二元一次方程组的定义（共1小题）
40．（2022•长春二模）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【解答】解：A、原方程组为三元一次方程组，故A不符合题意；
B、原方程组为分式方程组，故B不符合题意；
C、原方程组为二元一次方程组，故C符合题意；
D、原方程组为二元二次方程组，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键．
一十七．二元一次方程组的解（共1小题）
41．（2022•淮阴区模拟）已知是方程组的解，则3a﹣b的值是（ ）
A．1B．3C．4D．5
【分析】将代入后再将方程组中的两个方程相加即可求解．
【解答】解：∵是方程组的解，
∴，
①+②得，3a﹣b＝5，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键．
一十八．解二元一次方程组（共4小题）
42．（2022•仓山区校级模拟）解方程组：．
【分析】利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：，
①×2得：2x+4y＝6③，
③﹣②得：7y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①得：x+4＝3，
解得x＝﹣1，
故原方程组的解是：．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
43．（2022•红花岗区三模）解方程组：．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：方程组整理得：，
①﹣②得：5y＝0，
解得：y＝0，
把y＝0代入①得：x＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
44．（2022•义安区模拟）解二元一次方程组：．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①×5+②×4得：22x＝77，
解得：x＝，
把x＝代入①得：7+4y＝9，
解得：y＝，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
45．（2022•青秀区校级三模）阅读下列材料，并回答问题：
【情境1】：小红在研究学习无理数时发现：
①任意一个有理数与无理数的和为无理数；
②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；
③零与无理数的积为零．
【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现：
若ax+b＝0，其中a，b为有理数，x为无理数，则a＝0且b＝0．
例如：若，其中a，b为有理数，则a＝0，b＝0．
【情境3】：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他的一道题：，其中a，b为有理数．分析：通过变形，得：．
又a，b为有理数，∴解得：．
运用上述知识解决下列问题：
（1）已知，其中a，b为有理数，则a＝ 2 ，b＝ ﹣1 ；
（2）已知，其中a，b为有理数，求ab+2的值．
【分析】（1）根据阅读材料中的方法求出a与b的值即可；
（2）已知等式整理后，利用阅读材料中的方法求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）•+b+1＝0，
∴a﹣2＝0，b+1＝0，
解得：a＝2，b＝﹣1；
故答案为：2，﹣1；
（2）已知等式整理得：（a+b）+2a﹣b﹣9＝0，
∴a+b＝0，2a﹣b＝9，
解得：a＝3，b＝﹣3，
则原式＝3﹣3+2＝3﹣1＝．
【点评】此题考查了二元一次方程组，以及实数的运算，弄清阅读材料中的方法是解本题的关键．
一十九．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
46．（2022•兴庆区校级三模）某商店促销活动，同时购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花费224元．已知一副羽毛球拍标价比一副乒乓球拍标价的2倍多20元，若一副乒乓球拍的标价是x元，一副羽毛球拍的标价为y元，根据题意，可列方程组（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“一副羽毛球拍标价比一副乒乓球拍标价的2倍多20元；购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花费224元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵一副羽毛球拍标价比一副乒乓球拍标价的2倍多20元，
∴y﹣2x＝20；
∵购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍可以打七折，需要花费224元，
∴0.7（x+y）＝224．
∴列出的方程组为．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二十．二元一次方程组的应用（共4小题）
47．（2022•大名县三模）可以借助图1、图2的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图1方式放置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（ ）
A．（a﹣b）cmB．cmC．（+b）cmD． m
【分析】设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm，根据两图形给定的数据，得出关于x、h的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：设图中长方体木块的长边减短边的长为xcm，桌子的高度是hcm，
依题意得：，
解得：h＝，
答：cm．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
48．（2022•龙华区校级模拟）某商店需要购进甲、乙两种商品共180件，其进价和售价如表：（注：获利＝售价﹣进价）
若商店计划销售完这批商品后能获利1240元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件．
【分析】设购进甲种商品x件，乙种商品y件，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量（购进数量），结合购进甲、乙两种商品共180件且销售完这批商品后能获利1240元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设购进甲种商品x件，乙种商品y件，
依题意得：，
解得：．
答：购进甲种商品100件，乙种商品80件．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
49．（2022•翔安区模拟）某校计划采购凳子，商场有A、B两种型号的凳子出售，并规定：对于A型凳子，采购数量若超过250张，则超出部分可在原价基础上每张优惠a元；B型凳子的售价为40元/张．学校经测算，若购买300张A型凳子需要花费14250元；若购买500张A型凳子需要花费21250元．
（1）求a的值；
（2）学校要采购A、B两种型号凳子共900张，且购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍，请通过计算帮学校决策如何分配购买数量可以使得总采购费用最少？最少费用是多少元？
【分析】（1）设A型凳子的售价为x元/张，利用总价＝单价×数量，结合“购买300张A型凳子需要花费14250元；购买500张A型凳子需要花费21250元”，即可得出关于a，x的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购m张A型凳子，则采购（900﹣m）张B型凳子，根据“购买A型凳子不少于150张且不超过B型凳子数量的2倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可求出m的取值范围，设总采购费用为w元，分150≤m≤250及250＜m≤600两种情况，找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设A型凳子的售价为x元/张，
依题意得：，
解得：．
答：a的值为15．
（2）设采购m张A型凳子，则采购（900﹣m）张B型凳子，
依题意得：，
解得：150≤m≤600．
设总采购费用为w元．
当150≤m≤250时，w＝50m+40（900﹣m）＝10m+36000，
∵10＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝150时，w取得最小值，最小值＝10×150+36000＝37500，此时900﹣m＝900﹣150＝750；
当250＜m≤600时，w＝50×250+（50﹣15）（m﹣250）+40（900﹣m）＝﹣5m+39750，
∵﹣5＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝600时，w取得最小值，最小值＝﹣5×600+39750＝36750，此时900﹣m＝900﹣600＝300．
∵37500＞36750，
∴采购600张A型凳子，300张B型凳子时，总采购费用最少，最少费用是36750元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
50．（2022•泉港区模拟）为做好疫情防控工作，某单位计划再购买甲、乙两种新型额温枪．若购买1支甲种额温枪和2支乙种额温枪共需700元，购买2支甲种额温枪和3支乙种额温枪共需1160元．试求出甲、乙两种额温枪的单价各多少元．
【分析】设甲种额温枪的单价为x元，乙种额温枪的单价为y元，根据“购买1支甲种额温枪和2支乙种额温枪共需700元，购买2支甲种额温枪和3支乙种额温枪共需1160元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲种额温枪的单价为x元，乙种额温枪的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种额温枪的单价为220元，乙种额温枪的单价为240元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二十一．同解方程组（共1小题）
51．（2022•济南二模）已知方程组和方程组有相同的解，则m的值是 5 ．
【分析】既然两方程组有相同的解，那么将有一组x、y值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出x、y后，代入x+y+m＝0中直接求解即可．
【解答】解：解方程组，
得，
代入x+y+m＝0得，m＝5．
【点评】当给出的未知数较多时，应选择只含有2个相同未知数的2个方程组成方程组求解．
二十二．解三元一次方程组（共4小题）
52．（2022•安徽模拟）实数x、y、z且x+y+z≠0，x＝，z＝，则下列等式成立的是（ ）
A．x2﹣y2＝z2B．xy＝zC．x2+y2＝z2D．x+y＝z
【分析】分别化简这两个等式，得到y＝x+z和y＝x﹣z，所以x+z＝x﹣z，所以z＝0，代入z＝中得x＝y，因为x+y+z≠0，所以x＝y≠0，然后分别判断各选项即可．
【解答】解：∵x＝，
∴2x＝x+y﹣z，
∴y＝x+z，
∵z＝，
∴2z＝x﹣y+z，
∴y＝x﹣z，
∴x+z＝x﹣z，
∴z＝0，
把z＝0代入z＝中得：x＝y，
∵x+y+z≠0，
∴x＝y≠0．
A．x2﹣y2＝x2﹣x2＝0＝z2，所以A选项正确，符合题意；
B．xy≠0，z＝0，所以B选项错误，不符合题意；
C．x2+y2≠0，z2＝0，所以C选项错误，不符合题意；
D．x+y≠0，z＝0，所以D选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，求出z＝0是解题的关键．
53．（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为：
请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组
（2）已知x、y、z，满足试求z的值．
【分析】（1）将②变形后代入方程解答即可；
（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．
【解答】解：（1）
将②变形得3（2x﹣3y）+4y＝11 ④
将①代入④得
3×7+4y＝11
y＝
把y＝代入①得，
∴方程组的解为
（2）
由①得3（x+4y）﹣2z＝47 ③
由②得2（x+4y）+z＝36 ④
③×2﹣④×3得z＝2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
54．（2021•饶平县校级模拟）已知方程组的解满足方程x+y＝10，求k．
【分析】根据题意，由x+y＝10和2x+y＝8，求出x、y的值，然后把x、y的值代入3kx+2y＝6k，即可求出k的值．
【解答】解：∵x+y＝10①，2x+y＝8②，
由①﹣②得：x＝﹣2，y＝12，
把x、y的值代入3kx+2y＝6k得：﹣6k+24＝6k，
解得k＝2．
【点评】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
55．（2021•下城区一模）已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．
【分析】原式化为，②﹣①得，x+y＝0，即可得出z＝0，由解得，即可求得原方程组的解为．
【解答】解：原式化为，
②﹣①得，x+y＝0，
∵x，y，z的值中仅有一个为0，
∴z＝0，
由解得，
∴原方程组的解为．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，加减消元法消去z联立关于x、y的方程组是解题的关键．
二十三．三元一次方程组的应用（共3小题）
56．（2022•渝北区校级模拟）一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“天生荔质”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装6盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装8盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“天生荔质”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出，第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓，也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春遇”、“春见”两款混合水果礼盒若干套，其中每套“春遇”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“春见”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“天生荔质”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春遇”和“春见”礼盒中所有水果的总盒数比“春遇”礼盒中荔枝的盒数多1352盒，则第一次销售的所有礼盒共有 360 套．
【分析】设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是x套，“天生荔质”礼盒是y套，则“喜上莓梢”礼盒是（2x﹣30﹣y）套，设第二次销售的“春遇”礼盒是a套，“春见”礼盒是b套，根据第二次“天生荔质”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，得到2y﹣a﹣b＝0①，根据第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，得到16x﹣8y﹣5a﹣4b＝728②，根据“春遇”和“春见”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1352盒，得到9a+8b＝1352③，联立3个方程可求x，进一步求出第一次销售的所有礼盒数量．
【解答】解：设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是x套“天生荔质”礼盒是y套，则“喜上莓梢”礼盒是（2x﹣30﹣y）套，设第二次销售的“春遇”礼盒是a套，“春见”礼盒是b套，依题意有：
4y＝a+b+×4y，即2y﹣a﹣b＝0①，
8（2x﹣30﹣y）＝61×8+5a+4b，即16x﹣8y﹣5a﹣4b＝728②，
10a+8b＝a+1352，即9a+8b＝1352③，
②+③得16x﹣8y+4a+4b＝2080，即4x﹣2y+a+b＝520④，
①+④得4x＝520，
解得x＝130，
则x+y+（2x﹣30﹣y）
＝3x﹣30
＝390﹣30
＝360．
故第一次销售的所有礼盒共有360套．
故答案为：360．
【点评】本题考查了应用类问题，理解题意，能够通过所给的量之间的关系列出正确的方程是解题的关键．
57．（2022•文成县一模）“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地．小聪为当地甲、乙、两三种特色产品助销．已知每包甲的售价比每包乙的售价低40元，某顾客购买数量相同的甲产品和乙产品分别花了200元和1000元．
（1）求每包甲、乙产品的售价．
（2）已知甲产品的成本为8元/包，乙产品的成本为36元/包，小聪计划助销100包，总成本1500元．
①若只助销甲、乙两种产品，则可获利多少元？
②若助销三种产品，丙产品成本为6元/包，售价为9元/包，则最多可获利多少元？
【分析】（1）设每包甲的售价为x元，每包乙的售价为（x+40）元，根据购买数量相同的甲产品和乙产品分别花了200元和1000元列出方程，解方程即可；
（2）①设助销甲种产品m包，助销乙种产品n包．根据只助销甲、乙两种产品，计划助销100包，总成本1500元列出方程组，求出m、n，根据利润＝售价﹣成本列式计算即可；
②设助销甲种产品a包，助销乙种产品b包，助销丙种产品c包，获利w元，得出w关于b的一次函数解析式，根据助销三种产品求出b的取值范围，再根据一次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设每包甲的售价为x元，每包乙的售价为（x+40）元．
由题意，得＝，
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
则x+40＝50．
答：每包甲的售价为10元，每包乙的售价为50元；
（2）①设助销甲种产品m包，助销乙种产品n包．
由题意，得，
解得．
75×10+25×50﹣1500＝500（元）．
答：若只助销甲、乙两种产品，则可获利500元；
②设助销甲种产品a包，助销乙种产品b包，助销丙种产品c包．
由题意，得，
解得．
设获利w元，
则w＝（10﹣8）a+（50﹣36）b+（9﹣6）c
＝2（450﹣15b）+14b+3（14b﹣350）
＝26b﹣150，
∵助销三种产品，
∴，即，
解得25＜b＜30，
∵26＞0，
∴w随b的增大而增大，
∴当b＝29时，w有最大值，最大值为26×29﹣150＝604元．
答：若助销三种产品，则最多可获利604元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的综合应用，其中准确理解题意，并根据题意列出方程和不等式是解题的关键．
58．（2022•南宁二模）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，所求的不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】
（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝ 2 ，x+y＝ 6 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3本日记本共需48元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝12，4*7＝24，求1*1的值．
【分析】（1）利用①﹣②可求出x﹣y的值，利用（①+②）可求出x+y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据“买10支铅笔、4块橡皮、2本日记本共需28元，买19支铅笔、7块橡皮、3本日记本共需48元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，利用2×①﹣②即可求出结论；
（3）根据“3*5＝12，4*7＝24”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用3×①﹣2×②即可求出结论．
【解答】解：（1），
由①﹣②可得x﹣y＝2；
由（①+②）可得x+y＝6．
故答案为：2；6．
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
依题意得：，
由2×①﹣②可得m+n+p＝8．
答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需8元．
（3）依题意得：，
由3×①﹣2×②可得a+b+c＝﹣12，
即1*1＝a+b+c＝﹣12．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
步骤
名 称
方 法
依 据
注 意 事 项
1
去分母
在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）
等式性质2
1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来.
2
去括号
去括号法则（可先分配再去括号）
乘法分配律
注意正确的去掉括号前带负数的括号
3
移项
把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）
等式性质1
移项一定要改变符号
4
合并 同类项
分别将未知项的系数相加、常数项相加
1、整式的加减；
2、有理数的加法法则
单独的一个未知数的系数为“±1”
5
系数化为“1”
在方程两边同时除以未知数的系数（或方程两边同时乘以未知数系数的倒数）
等式性质2
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
*6
检根
x=a
方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果.
① 若 左边＝右边，则x=a是方程的解；
② 若 左边≠右边，则x=a不是方程的解.
注：当题目要求时，此步骤必须表达出来.
x
2y
﹣2
y
0
甲
乙
进价（元/件）
14
35
售价（元/件）
20
43