中考数学二轮复习冲刺第13讲 多边形与平行四边形（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（2份打包，原卷版+解析版）

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1. 多边形
了解多边形及正多边形的概念；了解多边形的内角和与外角和公式；
知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面；
了解四边形的不稳定性；了解特殊四边形之间的关系．
会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题；
能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计；
能依据条件分解与拼接简单图形．
2.平行四边形
会识别平行四边形．
掌握平行四边形的概念、判定和性质，会用平行四边形的性质和判定解决简单问题．
会运用平行四边形的知识解决有关问题．
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、多边形
多边形：
在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．
多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
2.多边形的对角线：
从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n－2)个三角形．
3．多边形的角：
n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.
考点二、平面图形的镶嵌
1．镶嵌的定义
用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．
2．平面图形的镶嵌
(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；
(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；
(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.
考点三、三角形中位线定理
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.
考点四、平行四边形的定义、性质与判定
1．定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2．性质：
(1)平行四边形的对边平行且相等；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．
3．判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．
考点五：平行线间的距离
1．两条平行线间的距离：
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.
2．平行四边形的面积：
平行四边形的面积=底×高(等底等高的平行四边形面积相等).
【典型例题】
题型一、多边形与平面图形的镶嵌
例1.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=_________.
【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA′E的内角和，由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，又∠A=70°，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2．
【答案与解析】∵四边形ADA′E的内角和为（4-2）•180°=360°，
而由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′，
∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE=360°-∠A-∠A′=360°-2×70°=220°，
∴∠1+∠2=180°×2-（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）=140°．
【总结升华】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公
式进行正确运算、变形和数据处理．
【变式】一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
A.10 B.11 C.12 D.以上都有可能
【答案】D.
例2．已知在四边形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．
（1）∠ABC+∠ADC= （用含x、y的代数式表示）；
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE 与 BF 的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
【思路点拨】（1）利用四边形内角和定理得出答案即可；
（2）利用角平分线的性质结合三角形外角的性质得出即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB=y﹣x=30°，进而得出x，y的值；
②当x=y时，DC∥BF，即∠DFB=0，进而得出答案．
【答案与解析】解：（1）∠ABC+∠ADC=360°﹣x﹣y；
故答案为：360°﹣x﹣y；
（2）如图1，延长DE交BF于G
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，
又∵∠CBM=180°﹣∠ABC=180°﹣（180°﹣∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；
（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF=（x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°﹣y，
得∠FBD+∠FDB=180°﹣y+（x+y）=180°﹣y+x，
∴∠DFB=y﹣x=30°，
解方程组：，
解得：；
②当x=y时，DC∥BF，此时∠DFB=0，故x、y满足x=y时，∠DFB不存在．
【总结升华】此题主要考查了多边形的内角和角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，正确应用角平分线的性质是解题关键．
题型二、平行四边形及其他知识的综合运用
例3．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8
【思路点拨】根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．
【答案与解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DC=DF，
∴AE=DF，
∴AE-EF=DE-EF，
即AF=DE，
当EF= AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，
∴AF=DE=（AD-EF）=1.5x，
∴AE=AB=AF+EF=2.5x，
∴AB：BC=2.5：4=5：8．
故选D．
【总结升华】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．
例4.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F．
（1）当点P为AB的中点时，如图1，连接AF、BE．证明：四边形AEBF是平行四边形；
（2）当点P不是AB的中点，如图2，Q是AB的中点．证明：△QEF为等腰三角形．
【思路点拨】（1）首先证明△BFQ≌△AEQ可得QE=QF，再由AQ=BQ可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形AEBF是平行四边形；
（2）首先证明△FBQ≌△DAQ可得QF=QD，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得QE=QF=QD，进而可得结论．
【答案与解析】
证明：（1）如图1，∵Q为AB中点，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ，
在△BFQ和△AEQ中：
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，
∴四边形AEBF是平行四边形；
（2）QE=QF，
如图2，延长FQ交AE于D，
∵AE∥BF，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，
∴QE=QF=QD，即QE=QF，
∴△QEF是等腰三角形．
【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例5．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【思路点拨】（1）根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，ED∥CF，求证△ABD≌△CAF，进而求证四边形EDCF是平行四边形即可；
（2）在（1）的条件下可直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=DC．
【答案与解析】
证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠BAD=∠BAC=30°，
∵△AED是等边三角形，
∴AD=AE，∠ADE=60°，
∴∠EDB=90°-∠ADE=90°-60°=30°，
∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°，
∵∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB-∠FCB=30°，
∴∠ACF=∠BAD=30°，
在△ABD和△CAF中，∠BAD=∠ACF ，AB=CA，∠FAC=∠B，
∴△ABD≌△CAF（ASA），∴AD=CF，
∵AD=ED，∴ED=CF，
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为：1：4；
（3）成立．
理由如下：∵ED∥FC，∴∠EDB=∠FCB，
∵∠AFC=∠B+∠BCF=60°+∠BCF，∠BDA=∠ADE+∠EDB=60°+∠EDB
∴∠AFC=∠BDA，
在△ABD和△CAF中，∠BDA=∠AFC，∠B=∠FAC，AB=CA
∴△ABD≌△CAF（AAS），∴AD=FC，
∵AD=ED，∴ED=CF，
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=DC．
【总结升华】此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理解和掌握．此题涉及到的知识点较多，综合性较强，难度较大．
例6 .在口ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F
（1）在图1中证明CE=CF；
（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．
【思路点拨】
根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可．
（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得．
（3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形．由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案.
【答案与解析】（1）证明：如图1，
∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．∴CE=CF．
（2）解：连接GC、BG，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，
∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，
∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，
∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，
∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，
∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°
在△BEG与△DCG中，∵EG=CG，∠BEG=∠DCG，BE=DC，
∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，
∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，
又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGE+∠DGE=90°，
∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG=45°，
（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°
∴△DAF为等腰三角形∴AD=DF∴平行四边形AHFD为菱形
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH
∴BH=GF
在△BHD与△GFD中，
∵DH=DF
∠BHD=∠GFD
BH=GF，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°
【总结升华】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
【变式】如图，有八个全等的直角三角形拼成一个大四边形ABCD和中间一个小四边形MNPQ，连接EF、GH得到四边形EFGH，设S四边形ABCD=S1，S四边形EFGH=S2，S四边形MNPQ=S3，若S1+S2+S3=，则S2=__________．
【答案】.
【中考过关真题练】
一．选择题（共8小题）
1．（2022•湘西州）一个正六边形的内角和的度数为（ ）
A．1080°B．720°C．540°D．360°
【分析】利用多边形的内角和定理解答即可．
【解答】解：一个正六边形的内角和的度数为：（6﹣2）×180°＝720°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和，利用多边形的内角和定理解答是解题的关键．
2．（2022•烟台）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（ ）
A．正方形B．正六边形C．正八边形D．正十边形
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【解答】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180，
解得：x＝45，
360°÷45°＝8（边），
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
3．（2022•益阳）如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF．
【解答】解：在▱ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．（2022•朝阳）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝50°，则∠EGC的度数为（ ）
A．100°B．80°C．70°D．60°
【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行线的性质，即可得到∠EGC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠AEG＝∠EGC，
∵∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，
∴∠GEF＝30°，
∴∠GEA＝80°，
∴∠EGC＝80°．
故选：B．
【点评】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
5．（2022•赤峰）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形ABCD周长不变B．AD＝CD
C．四边形ABCD面积不变D．AD＝BC
【分析】由条件可知AB∥CD，AD∥BC，可证明四边形ABCD为平行四边形，可得到AD＝BC．
【解答】解：由题意可知：AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC，
故选：D．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
6．（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mmB．2mmC．2mmD．4mm
【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
7．（2022•达州）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，BC边的中点，点F在DE的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B＝∠FB．DE＝EFC．AC＝CFD．AD＝CF
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
A、当∠B＝∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B、∵DE＝EF，
∴DE＝DF，
∴AC＝DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C、根据AC＝CF，不能判定AC＝DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AD＝CF，AD＝BD，
∴BD＝CF，
由BD＝CF，∠BED＝∠CEF，BE＝CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
8．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点，点E是对角线AC上一动点（不包含端点），过点E作EF∥BC，交AB于F，点P在线段EF上．若OA＝4，OC＝2，∠AOC＝45°，EP＝3PF，P点的横坐标为m，则m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜3+B．3﹣＜m＜4C．2﹣＜m＜3D．4＜m＜4+
【分析】先求得点A，C，B三个点坐标，然后求得AB和AC的解析式，再表示出EF的长，进而表示出点P的横坐标，根据不等式的性质求得结果．
【解答】解：可得C（，），A（4，0），B（4+，），
∴直线AB的解析式为：y＝x﹣4，
∴x＝y+4，
直线AC的解析式为：y＝﹣，
∴x＝4+y﹣2y，
∴点F的横坐标为：y+4，点E的横坐标为：4+y﹣2y，
∴EF＝（y+4）﹣（4+y﹣2y）＝2，
∵EP＝3PF，
∴PF＝EF＝y，
∴点P的横坐标为：y+4﹣y，
∵0＜y＜，
∴4＜y+4﹣y＜3+，
故答案为：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，求一次函数的解析式，不等式性质等知识，解决问题的关键是表示出点P的横坐标．
二．填空题（共7小题）
9．（2022•菏泽）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则n＝ 5 ．
【分析】设外角为2x，则其内角为3x，根据其内外角互补可以列出方程求得外角的度数，然后利用外角和定理求得边数即可．
【解答】解：设外角为2x，则其内角为3x，
则2x+3x＝180°，
解得：x＝36°，
∴外角为2x＝72°，
∵正n边形外角和为360°，
∴n＝360°÷72°＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，熟练掌握正多边形的内角和和外角和定理是解决此类题目的关键．
10．（2022•徐州）正十二边形的一个内角的度数为 150° ．
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是关键．
11．（2022•眉山）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 11 ．
【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意可得：，
解得：n＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．
12．（2022•毕节市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为 ．
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，证明△CAB∽△CP′O，利用相似三角形的性质得出，求出OP'，即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴AC＝＝＝4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO＝2，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′＝，
∴则PQ的最小值为2OP′＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
13．（2022•荆州）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是 BE＝DF（答案不唯一） ．（只需写一种情况）
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，根据全等三角形的判定可得出结论．
【解答】解：添加BE＝DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A＝∠C，AB＝CD，
∴∠E＝∠F，
∵BE＝DF，
∴BE+AB＝CD+DF，
即AE＝CF，
在△AEG和△CFH中，
，
∴△AEG≌△CFH（ASA）．
故答案为：BE＝DF（答案不唯一）．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
14．（2022•遂宁）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 4 ．
【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可以求得AF的长．
【解答】解：设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF＝120°，
∴∠HAF＝60°，
∵∠AHF＝90°，
∴∠AFH＝30°，
∴AF＝2AH，
∴x＝2（6﹣x），
解得x＝4，
∴AB＝4，
即正六边形ABCDEF的边长为4，
故答案为：4．
【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（2022•常德）如图，已知F是△ABC内的一点，FD∥BC，FE∥AB，若▱BDFE的面积为2，BD＝BA，BE＝BC，则△ABC的面积是 12 ．
【分析】连接DE，CD，由平行四边形的性质可求S△BDE＝1，结合BE＝BC可求解S△BDC＝4，再利用BD＝BA可求解△ABC的面积．
【解答】解：连接DE，CD，
∵四边形BEFD为平行四边形，▱BDFE的面积为2，
∴S△BDE＝S▱BDFE＝1，
∵BE＝BC，
∴S△BDC＝4S△BDE＝4，
∵BD＝BA，
∴S△ABC＝3S△BDC＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查三角形的面积，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
16．（2022•攀枝花）同学们在探索“多边形的内角和”时，利用了“三角形的内角和”．请你在不直接运用结论“n边形的内角和为（n﹣2）•180°”计算的条件下，利用“一个三角形的内角和等于180°”，结合图形说明：五边形ABCDE的内角和为540°．
【分析】连接AD，AC，把五边形ABCDE的内角和转化为三角形的内角和即可．
【解答】解：连接AD，AC，
∴五边形ABCDE的内角和等于△AED，△ADC，△ABC的内角和，
∴五边形ABCDE的内角和＝180°×3＝540°．
【点评】本题考查多边形的内角和的求法，关键是把多边形转化为三角形．
17．（2022•株洲）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE．
（1）求证：△AEF≌△DEC；
（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【分析】（1）利用SAS定理证明△AEF≌△DEC；
（2）根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠DCE，得到AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论．
【解答】证明：（1）在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（SAS）；
（2）∵△AEF≌△DEC，
∴∠AFE＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
【点评】本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
18．（2022•长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．
【分析】（1）由菱形的判定得▱ABCD是菱形，再由菱形的性质即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得OD＝2EF＝3，再由菱形的性质得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，然后由勾股定理得AD＝，即可求出菱形ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD＝2EF＝3，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
19．（2022•桂林）如图，在▱ABCD中，点E和点F是对角线BD上的两点，且BF＝DE．
（1）求证：BE＝DF；
（2）求证：△ABE≌△CDF．
【分析】（1）根据BF﹣EF＝DE﹣EF证得结论；
（2）利用全等三角形的判定定理SAS证得结论．
【解答】证明：（1）∵BF＝DE，BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，且AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
【点评】本题综合考查全等三角形的判定和平行四边形的有关知识．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
20．（2022•扬州）如图，在▱ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、G．
（1）求证：BE∥DG，BE＝DG；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分线的定义及三角形外角的性质可得∠DGE＝∠BEG，进而可证明BE∥DG；利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE＝DG；
（2）过E点作EH⊥BC于H，由角平分线的性质可求解EH＝EF＝6，根据平行四边形的性质可求解AB+BC＝28，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，
∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，
∴∠ADG＝∠CBE，
∵∠DGE＝∠DAC+∠ADG，∠BEG＝∠BCA+∠CBE，
∴∠DGE＝∠BEG，
∴BE∥DG；
在△ADG和△CBE中，
，
∴△ADG≌△CBE（ASA），
∴BE＝DG；
（2）解：过E点作EH⊥BC于H，
∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EH＝EF＝6，
∵▱ABCD的周长为56，
∴AB+BC＝28，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝84．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
21．（2022•鞍山）如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠ABD＝∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则其对应边相等：AB＝CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论．
【解答】证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD．
∴∠BAE＝∠DCF．
在△ABE与△CDF中，
．
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AB＝CD．
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
22．（2022•内蒙古）如图，在平行四边形ABCD中，点O是AD的中点，连接BO并延长交CD的延长线于点E，连接BD，AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若BD＝CD，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．
【分析】（1）证△ABO≌△DEO（AAS），得OB＝OE，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，再证AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABO＝∠DEO，
∵点O是边AD的中点，
∴AO＝DO，
在△ABO和△DEO中，
，
∴△ABO≌△DEO（AAS），
∴OB＝OE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：四边形ABDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵BD＝CD，
∴AB＝BD，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴平行四边形ABDE是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23．（2022•温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．
（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．
【分析】（1）由三角形中位线定理得EF∥BC，则∠EFO＝∠GDO，再证△OEF≌△OGD（ASA），得EF＝GD，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝AC＝CE，则∠C＝∠EDC，再由锐角三角函数定义得CD＝2，然后由勾股定理得AC＝，则DE＝AC＝，进而由平行四边形的性质即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠EFO＝∠GDO，
∵O是DF的中点，
∴OF＝OD，
在△OEF和△OGD中，
，
∴△OEF≌△OGD（ASA），
∴EF＝GD，
∴四边形DEFG是平行四边形．
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴DE＝AC＝CE，
∴∠C＝∠EDC，
∴tanC＝＝tan∠EDC＝，
即＝，
∴CD＝2，
∴AC＝＝＝，
∴DE＝AC＝，
由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，
∴FG＝DE＝．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
24．（2022•大庆）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．
【分析】（1）根据等式的性质可得BC＝EF，从而利用SSS证明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性质可得∠ABC＝∠DFE，从而可得AB∥DF，即可解答；
（2）连接AD交BF于点O，利用平行四边形的性质可得OB＝OF，从而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性质可得AO⊥EC，然后证明四边形ABDF是菱形，即可解答．
【解答】证明：（1）∵EB＝CF，
∴EB+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB＝DF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）连接AD交BF于点O，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴OB＝OF，
∵BE＝CF，
∴OB﹣BE＝OF﹣CF，
∴OE＝OC，
∵AE＝AC，
∴AO⊥EC，
∴四边形ABDF是菱形，
∴AB＝BD．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
25．（2022•毕节市）如图1，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CAD．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）如图2，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC＝15，AC＝16，求△EFG的周长．
【分析】（1）根据已知可得AD∥BC，然后再利用ASA证明△AOD≌△COB，从而利用全等三角形的性质可得AD＝BC，最后利用平行四边形的判定方法即可解答；
（2）连接DF，利用平行四边形的性质可得AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，从而可得AB＝DO＝DC，再利用等腰三角形的性质可得DF⊥OC，从而在Rt△AFD中，利用勾股定理求出DF的长，然后利用直角三角形斜边上的中线可求出FG的长，再根据三角形的中位线定理可得EF＝BC＝7.5，EF∥BC，从而可得四边形GEFD是平行四边形，进而可得EG＝DF＝9，最后进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵∠BCA＝∠CAD，
∴AD∥BC，
在△AOD与△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：连接DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝15，AB＝CD，AD∥BC，BD＝2OD，OA＝OC＝AC＝8，
∵BD＝2AB，
∴AB＝OD，
∴DO＝DC，
∵点F是OC的中点，
∴OF＝OC＝4，DF⊥OC，
∴AF＝OA+OF＝12，
在Rt△AFD中，DF＝＝＝9，
∴点G是AD的中点，∠AFD＝90°，
∴DG＝FG＝AD＝7.5，
∵点E，点F分别是OB，OC的中点，
∴EF是△OBC的中位线，
∴EF＝BC＝7.5，EF∥BC，
∴EF＝DG，EF∥AD，
∴四边形GEFD是平行四边形，
∴GE＝DF＝9，
∴△EFG的周长＝GE+GF+EF＝9+7.5+7.5＝24，
∴△EFG的周长为24．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共5小题）
1．（2023•西城区校级模拟）五边形的内角和是（ ）
A．360°B．540°C．720°D．1080°
【分析】根据n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数），求出五边形的内角和是多少度即可．
【解答】解：五边形的内角和是：
（5﹣2）×180°
＝3×180°
＝540°．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的内角和定理，掌握确n边形的内角和为：（n﹣2）•180°（n≥3，且n为整数）是关键．
2．（2023•海棠区一模）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝（ ）
A．4B．4C．4D．8
【分析】根据四边形ABCD是矩形，∠BOC＝120°，可得△AOB是等边三角形，再根据勾股定理即可求出AD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，
∴AC＝2OA＝8，
∴AD＝＝＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等
3．（2023•定远县校级一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AD＝2AB，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S平行四边形ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD：⑤OE＝AD．其中成立的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】结合平行四边形的性质可证明△ABE为等边三角形，由BC＝AD＝2AB，可判断①，证明∠BAC＝90°，可判断②；由平行四边形的面积公式可判断③；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④，由三角形中位线定理可求AB＝2OE，即可判断⑤，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ADC＝60°，
∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，OB＝OD，AO＝CO，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB
∴△ABE为等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AB＝BE＝AE，
∵BC＝AD＝2AB，
∴EC＝AE＝BE，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠CAD＝30°，故①正确；
∵∠BAD＝120°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴BO＞AB，
∴OD＞AB，故②错误；
∴S▱ABCD＝AB•AC＝AC•CD，故③正确；
∵∠BAC＝90°，BC＝2AB，
∴E是BC的中点，
∴S△BEO：S△BCD＝1：4，
∴S四边形OECD：S△BCD＝3：4，
∴S四边形OECD：S▱ABCD＝3：8，
∵S△AOD：S▱ABCD＝1：4，
∴S四边形OECD＝S△AOD，故④正确．
∵AO＝OC，BE＝EC，
∴AB＝2OE，
∵AD＝2AB，
∴OE＝AD，故⑤正确，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
4．（2023•孟村县校级一模）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mmB．2mmC．2mmD．4mm
【分析】根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF的边长．
【解答】解：连接BE，CF，BE、CF交于点O，如右图所示，
∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm，
∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm，
∴AF约为4mm，
故选：D．
【点评】本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．
5．（2023•吉阳区一模）如图，在△ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，分别联结DE、EF、DF、AE，点O是AE与DF的交点，下列结论中，正确的个数是（ ）
①△DEF的周长是△ABC周长的一半；
②AE与DF互相平分；
③如果∠BAC＝90°，那么点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等；
④如果AB＝AC，那么点O到四边形ADEF四条边的距离相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据三角形中位线定理即可解决问题；
②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题；
③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题；
④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．
【解答】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴EF＝AB，DF＝，DE＝AC，
∴EF+DF+DE＝（AB+BC+AC），
∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；
②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，
∴DE∥AC，DF∥∥BC，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AE与DF互相平分，故②正确；
③∵∠BAC＝90°，四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AE＝DF，OA＝OE＝OD＝OF，
∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；
④∵AB＝AC，
∴AD＝AF，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，
∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．
综上所述：正确的是①②③④，共4个，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．
二．填空题（共6小题）
6．（2023•雁塔区校级一模）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，则n等于 15 ．
【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．
【解答】解：正六边形的一个内角为：，
∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的5倍，
∴正n边形一个外角为：120°÷5＝24°，
∴n＝360°÷24°＝15．
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数，以及正多边形的边数之间的关系，是解题关键．
7．（2023•海棠区一模）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠CBG＝ 12° ．
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠ABC＝120°，∠ABG＝108°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣108°＝12°．
故答案为：12°．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
8．（2023•吉阳区一模）如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于 72 度．
【分析】先分别求出正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，再根据圆周角是360度求解即可．
【解答】解：正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，
所以∠α＝360°﹣108°﹣90°﹣90°＝72°．
【点评】主要考查了多边形的内角和．多边形内角和公式：（n﹣2）•180°．
9．（2023•鼓楼区校级一模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于F点，则CF＝ 2 ．
【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再根据两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠3，∠1＝∠F，然后求出∠1＝∠3，∠4＝∠F，再根据等角对等边的性质可得AD＝DE，CE＝CF，根据平行四边形对边相等代入数据计算即可得解．
【解答】解：如图，∵AE平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，
平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠2＝∠3，∠1＝∠F，
又∵∠3＝∠4（对顶角相等），
∴∠1＝∠3，∠4＝∠F，
∴AD＝DE，CE＝CF，
∵AB＝5，AD＝3，
∴CE＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
∴CF＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形对边相等，对边平行的性质，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
10．（2023•雁塔区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4cm，则四边形DECF的周长是 8cm ．
【分析】求出BC，求出BF＝DF，CE＝AE，代入得出四边形DECF的周长等于BC+AC，代入求出即可
【解答】解：∵∠A＝∠B，
∴BC＝AC＝4cm，
∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠A＝∠B，
∴∠B＝∠BDF，
∴DF＝BF，
同理AE＝DE，
∴四边形DECF的周长为：CF+DF+DE+CE＝CF+BF+AE+CE＝BC+AC＝4cm+4cm＝8cm，
故答案为：8cm．
【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，关键是求出BF＝DF，DE＝AE．
11．（2023•雁塔区校级一模）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．
【分析】设出C点的坐标，根据C点的坐标得出B点的坐标，然后计算出k值即可．
【解答】解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的图象经过点B，
∴k＝3a•＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
三．解答题（共4小题）
12．（2023•槐荫区模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE＝CF．
【分析】利用SAS证明△ABE≌△CDF后利用全等三角形对应边相等即可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，OD＝OB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝ED，OF＝BF，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
【点评】考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
13．（2023•市南区校级一模）如图，在▱ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，延长边CD到点F，使DF＝DC，过点F作EF∥AC，连接OF、EC．
（1）求证△ODC≌△EDF．
（2）连接AF，已知 ② ．（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形OCEF的形状，并证明你的结论．
条件①：AF＝FC且AC＝2DC；
条件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．
【分析】（1）由DF＝DC，EF∥AC，可以证明△ODC≌△EDF；
（2）由△ODC≌△EDF推出四边形OCEF是平行四边形，再由OD＝DC证明四边形OCEF是矩形，最后由∠BEC＝45°即可证明四边形OCEF是正方形．
【解答】（1）证明：∵EF∥AC，
∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，
∵DF＝DC，
∴△ODC≌△EDF（AAS）；
（2）选择②，四边形OCEF是正方形，
证明：∵△ODC≌△EDF（AAS），
∴OD＝DE，CD＝DF，
∴四边形OCEF是平行四边形，
∵OD＝DC，
∴OD＝DE＝CD＝DF，
∴四边形OCEF是矩形，
∵∠BEC＝45°，
∴∠EOC＝45°，
∴∠OEC＝∠EOC，
∴OC＝CE，
∴四边形OCEF是正方形，
【点评】本题考查三角形全等的判定，正方形的判定，关键是掌握正方形的判定：判定四边形即是矩形，又是菱形．
14．（2023•阎良区一模）如图，在▱ABCD中，∠BAD，∠ADC的平分线AF，DE分别与线段BC交于点F，E，AF与DE交于点G．
（1）求证：AF⊥DE，BF＝CE．
（2）若AD＝10，AB＝6，AF＝8，求DE的长度．
【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°；然后根据角平分线的性质推知∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°，即∠AGD＝90°．证得∠BAF＝∠AFB，由等腰三角形的判定可得出AB＝BF，同理可得CD＝CE，则可得出结论；
（2）过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，证明四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，得出AF＝CK＝8，由勾股定理求出DI，则可得出答案．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，
∴∠BAD+∠ADC＝180°．
∵AE，DF分别是∠BAD，∠ADC的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ADF＝∠CDF＝∠ADC．
∴∠DAE+∠ADF＝∠BAD+∠ADC＝90°．
∴∠AGD＝90°．
∴AE⊥DF．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAF＝∠AFB，
又∵∠DAF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠AFB，
∴AB＝BF，
同理可得CD＝CE，
∴BF＝CE；
（2）解：过点C作CK∥AF交AD于K，交DE于点I，
∵AK∥FC，AF∥CK，
∴四边形AFCK是平行四边形，∠AGD＝∠KID＝90°，
∴AF＝CK＝8，
∵∠KDI+∠DKI＝90°，∠DIC+∠DCI＝90°，∠IDK＝∠IDC，
∴∠DKI＝∠DCI，
∴DK＝DC＝6，
∴KI＝CI＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠CDE，
∴CE＝CD，
∵CI⊥DE，
∴EI＝DI，
∵DI＝＝＝2，
∴DE＝2DI＝4．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
15．（2023•西城区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（1）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，，求BE的长．
【分析】（1）证△EOA≌△DOC（ASA），得OD＝OE，再由AO＝CO，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得OB⊥AC，求出AO＝4，再由勾股定理求出OD＝3，则OE＝3，然后由锐角三角函数定义得出OB＝6，即可得出答案．
【解答】（1）证明：在△EOA和△DOC中，
，
∴△EOA≌△DOC（ASA），
∴OD＝OE，
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）解：∵AB＝BC，AO＝CO，
∴OB⊥AC，
∴∠COD＝∠AOB＝90°，
由（1）得：OD＝OE，
∵AC＝8，
∴AO＝CO＝AC＝4，
在Rt△DOC中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴OE＝OD＝3，
∵tan∠ABD＝＝＝，
∴OB＝6，
∴BE＝OB﹣OE＝6﹣3＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
【名校自招练】
一．选择题（共2小题）
1．（2021•浦东新区校级自主招生）小明每走5米，顺时针转20°，则（ ）
A．小明不会回到原点
B．小明会回到原点，路程小于80m
C．小明会回到原点，路程恰为90m
D．小明会回到原点，路程大于120m
【分析】先根据已知和多边形的外角和求出组成的多边形的边数，再逐个求出即可．
【解答】解：根据题意可知：组成的多边形的边数360°÷20°＝18，
小明走的路程总和是18×5m＝90（m），
所以小明会回到原点，路程恰为90m．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和和外角和定理，能熟记多边形的外角和等于360°是解此题的关键．
2．（2022•南陵县自主招生）如图所示，在正六边形ABCDEF内，以AB为边作正五边形ABGHI，则∠FAI＝（ ）
A．10°B．12°C．14°D．15°
【分析】分别求出正六边形，正五边形的内角可得结论．
【解答】解：在正六边形ABCDEF内，正五边形ABGHI中，∠FAB＝120°，∠IAB＝108°，
∴∠FAI＝∠FAB﹣∠IAB＝120°﹣108°＝12°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，解题的关键是求出正多边形的内角，属于中考常考题型．
二．填空题（共3小题）
3．（2021•大渡口区自主招生）已知一个多边形每个外角都等于45°，则它的边数是 8 ．
【分析】根据多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为45°，由此即可求出答案．
【解答】解：∵多边形的外角和是360°，每个外角都等于45°，
∴360÷45＝8，
∴正多边形的边数为8．
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：多边形的外角和等于360°．
4．（2022•宁波自主招生）如图，点P是平行四边形ABCD内一点，△PAB的面积为5，△PAD的面积为3，则△PAC的面积为 2 ．
【分析】过点P作PE⊥AD于点E，延长EP交CB于点F，证出S△PAD+S△PBC＝S平行四边形ABCD，根据S△PAC＝S四边形PABC﹣S△ABC＝S△PAB+S△PBC﹣S△ABC可得出答案．
【解答】解：过点P作PE⊥AD于点E，延长EP交CB于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴PF⊥CB，
∴S△PAD+S△PBC＝AD•PE+CB•PF＝AD•（PE+PF）＝AD•EF＝S平行四边形ABCD，
∵S△ABC＝，S△PAB＝5，S△PAD＝3，
∴S△PAC＝S四边形PABC﹣S△ABC＝S△PAB+S△PBC﹣S△ABC，
即S△PAC＝5+（S平行四边形ABCD﹣3）﹣＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
5．（2022•温江区校级自主招生）如图，面积为4的平行四边形ABCD中，AB＝4，过点B作CD边的垂线，垂足为点E，点E正好是CD的中点，点M、点N分别是AB、AC．上的动点，MN的延长线交线段DE于点P，若点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，则线段BM长x的取值范围是 x＝2﹣2或＜x≤ ．
【分析】根据点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，可看成弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°，设△MBP外接圆的圆心为O，分三种情况画图，列出方程即可得结果．
【解答】解：∵平行四边形ABCD的面积为4，AB＝4，BE⊥CD，
∴BE＝1，
∵点P是唯一使得∠MPB＝45°的点，
则可看成弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°，
设△MBP外接圆的圆心为O，
则∠MOB＝90°，
∴，
∵CD与AB之间的距离为1，
当⊙O经过点D时，即点P在点D处时，
（x）2＝（2﹣x）2+（1﹣x）2
解得x＝；
当四边形PEBM是正方形时，圆与DE有两个交点，
此时BM＝BE＝1；
∴1＜x≤；
当△PMB的外接圆经过D时，算的x＝，只有当x＞时才成立，
要让有且只有一个点，D点应该在外接圆内．
∴＜x≤4；
当圆与DE相切时，如图，
x+x＝1，
解得x＝2﹣2．
综上所述：线段BM长x的取值范围是x＝2﹣2或＜x≤4．
但是由题意：“MN的延长线交线段DE于点P，若点P是唯一使得线段∠MPB＝45°的点”，
也就是说点P只能在线段DE上，如果x大于了，那么P点就在线段EC上了，与题意不符，
因此答案应该是：2倍根号2﹣2 或者 1＜x≤ （x＝时，P与D重合，P也在线段DE上）．
故答案为：x＝2﹣2或1＜x≤．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是将MB看成是弦MB所对的圆周角∠MPB＝45°．
三．解答题（共2小题）
6．（2021•黄州区校级自主招生）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝6，∠ABC＝60°，E为BC的中点，
（1）求∠CED；
（2）求DE的长．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝6，∠C＝120°，CD＝AB＝3，而CE＝3，所以CE＝CD，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和可计算出∠CED的度数；
（2）作CH⊥DE于H，如图，利用等腰三角形的性质得到EH＝DH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算出EH，从而得到DE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝6，∠C＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°，CD＝AB＝3，
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE＝3，
∴CE＝CD，
∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠C）＝（180°﹣120°）＝30°；
（2）作CH⊥DE于H，如图，
∵CE＝CD，
∴EH＝DH，
在Rt△CEH中，CH＝CE＝，
∴EH＝CH＝，
∴DE＝2EH＝3．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的性质．
7．（2021•渝中区校级自主招生）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠C＝30°，AB＝AD，求证：四边形ABCD是勾股四边形；
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠DAB＝60°，∠DCB＝60°，AB＝AD，且BC+DC＝8，连接AC，求AC的最小值．
【分析】（1）将△ABC绕顶点B按顺时针转60°得到△BDE，连接AC，BD，得△ABC≌△DBE，推边相等，判断等边三角形，得∠BCE＝60°，再由已知∠C＝30°，推90°的角，利用勾股定理得边的关系，再由等量代换推四边形ABCD是勾股四边形；
（2）以DC为边作等边三角形DCE，作EF⊥BC于点F，连接BD，BE，用（SAS）证明△ADC≌△BDE推AC＝BE，∠BCE＝120°，根据勾股定理得二次函数，通过函数的性质求它的最小值，等量代换求出AC的最小值．
【解答】证明：（1）如图①将△ABC绕顶点B按顺时针转60°得到△BDE，连接AC，BD．
由旋转可知△ABC≌△DBE，
∴AC＝DE，BC＝DE，
∵∠CBE＝60°，
∴△BCE为等边三角形．
∴EC＝BC，∠BCE＝60°．
∵∠C＝30°，
∴∠DCE＝90°．
在Rt△DCE中，根据勾股定理得，
DC2+CE2＝DE2．
∴DC2+BC2＝AC2，
∴四边形ABCD是勾股四边形
（2）以DC为边作等边三角形DCE，作EF⊥BC于点F，连接BD，BE，
∵AB＝AD，∠DAB＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AD＝BD，∠ADB＝60°，
∵△DEC为等边三角形，
∴∠EDC＝∠ECD＝60°，DE＝DC，
∴∠ADC＝∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴AC＝BE，
∵∠DCB＝60°，
∴∠BCE＝120°，
∴∠ECF＝60°，
设CD＝CE＝a，BC＝8﹣a，
在Rt△CEF中，cs∠ECF＝，
∴CF＝，EF＝a，
∴BF＝8﹣a，
∵∠EFB＝90°，
∴BE2＝EF2+BF2
＝+
＝+288，
∵1＞0，
∴a＝4时，BE2取最小值是288，
∴BE＝12，
∵AC＝AE，
∴AC的最小值12．
【点评】本题考查了全等三角形，等边三角形判定、勾股定理，二次函数的性质，掌握这几个性质定理的熟练应用，正确作出辅助线，等量代换的巧妙应用是解题关键．