中考数学二轮复习冲刺第18讲 图形的变换（知识精讲+真题练+模拟练+自招练）（2份打包，原卷版+解析版）

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1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；
3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.
4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；
5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.
【知识导图】
【考点梳理】
考点一、平移变换
1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．
【要点诠释】
（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；
（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；
（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．
2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．
【要点诠释】
（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．
考点二、轴对称变换
1．轴对称与轴对称图形
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点.
轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．轴对称变换的性质
①关于直线对称的两个图形是全等图形.
②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.
③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
3．轴对称作图步骤
①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．
②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.
４．翻折变换：图形翻折问题是近年来中考的一个热点，其实质是轴对称问题，折叠重合部分必全等，折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴，互相重合的两点（对称点）连线必被折痕垂直平分.
【要点诠释】翻折的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等，折叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.
考点三、旋转变换
1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
２．旋转变换的性质
图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.
３．旋转作图步骤
①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.
②分析所作图形，找出构成图形的关键点.
③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.
④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点.
【要点诠释】
１．图形变换与图案设计的基本步骤
①确定图案的设计主题及要求；
②分析设计图案所给定的基本图案；
③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；
④对图案进行修饰，完成图案.
2．平移、旋转和轴对称之间的联系
一个图形沿两条平行直线翻折（轴对称）两次相当于一次平移，沿不平行的两条直线翻折两次相当于一次旋转，其旋转角等于两直线交角的2倍.
【典型例题】
题型一、平移变换
例1．操作与探究：
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是-3，则点A′表示的数是________；若点B′表示的数是2，则点B表示的数是_____；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是__________．

（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，求点F的坐标．

【变式】如图，若将边长为的两个互相重合的正方形纸片沿对角线翻折成等腰直角三角形后，再抽出一个等腰直角三角形沿移动，若重叠部分的面积是，则移动的距离等于 .
题型二、轴对称变换
例2.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．
（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′= ；
（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；
（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．
【变式】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．
（1）求MP的长；
（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于.

例3.已知：矩形纸片中，AB=26厘米，厘米，点E在AD上，且厘米，点P是AB边上一动点，按如下操作：
步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕（如图（1）所示）；
步骤二，过点P作交所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；
（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ QE（填“＞”、“=”、“＜”号 ）
（2）如图（3）所示，将矩形纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：
①当点P在A点时，与交于点点的坐标是（ ， ）；
②当厘米时，与交于点，点的坐标是（ ， ）；
③当厘米时，在图（3）中画出，（不要求写画法）并求出与的交点的坐标；
（3）点P在在运动过程中，与形成一系列的交点，…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.
（A）
B
C
D
E
N
O
6
12
18
24
6
12
18
A
B
C
D
P
E
M
N
B
C
（P）

（1） （2）（3）
题型三、旋转变换
例4.已知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，点P是射线CB上一点（点P不与点B、C重合），线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接QB交射线AC于点M.
（1）如图①，当AC=BC，点P在线段CB上时，线段PB、CM的数量关系是 ；
（2）如图②，当AC=BC，点P在线段CB的延长线时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图③，若，点P在线段CB的延长线上，CM=2，AP=13，求△ABP的面积．
例5 . 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上，OA边与直线l1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°，此时点O运动到了点O1处，点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°，此时点A运动到了点A1处，点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中，顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即和
，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于
扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上，OA边与直线l2重合，
然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动
到了点C1处，点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，
按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路程，并求顶点O在此运
动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转，求顶
点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点O经过的路程是_______________?
请你解答上述两个问题．

【变式】 如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．
(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；
(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．
【中考过关真题练】
一．选择题（共8小题）
1．（2022•台湾）如图1为一张正三角形纸片ABC，其中D点在AB上，E点在BC上．今以DE为折线将B点往右折后，BD、BE分别与AC相交于F点、G点，如图2所示．若AD＝10，AF＝16，DF＝14，BF＝8，则CG的长度为多少？（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2022•丹东）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，对角线AC与BD交于点O，点E是AD的中点，连接OE，△ABD的周长为12cm，则下列结论错误的是（ ）
A．OE∥AB
B．四边形ABCD是中心对称图形
C．△EOD的周长等于3cm
D．若∠ABC＝90°，则四边形ABCD是轴对称图形
3．（2022•资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022•黔西南州）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B＝α，则∠EAC等于（ ）
A．αB．90°﹣αC．αD．90°﹣2α
5．（2022•牡丹江）下列图形是黄金矩形的折叠过程：
第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；
第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．
则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（ ）
A．①②B．①③C．②④D．②③
6．（2022•呼和浩特）如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+αB．90°﹣αC．180°﹣αD．α
7．（2022•绥化）如图，线段OA在平面直角坐标系内，A点坐标为（2，5），线段OA绕原点O逆时针旋转90°，得到线段OA'，则点A'的坐标为（ ）
A．（﹣5，2）B．（5，2）C．（2，﹣5）D．（5，﹣2）
8．（2022•营口）如图，在矩形ABCD中，点M在AB边上，把△BCM沿直线CM折叠，使点B落在AD边上的点E处，连接EC，过点B作BF⊥EC，垂足为F，若CD＝1，CF＝2，则线段AE的长为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．D．
二．填空题（共5小题）
9．（2022•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（1，2），将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
10．（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的对应点B'的坐标是 ．
11．（2022•辽宁）在平面直角坐标系中，线段AB的端点A（3，2），B（5，2），将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标是（﹣1，2），则点B的对应点D的坐标是 ．
12．（2022•淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
13．（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1（1，1）；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2（﹣1，3）；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3（﹣4，0）；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4（0，﹣4），…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为 ．
三．解答题（共5小题）
14．（2022•宁夏）如图，是边长为1的小正方形组成的8×8方格，线段AB的端点在格点上．建立平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（2，1）和（﹣1，3）．
（1）画出该平面直角坐标系xOy；
（2）画出线段AB关于原点O成中心对称的线段A1B1；
（3）画出以点A、B、O为其中三个顶点的平行四边形．（画出一个即可）
15．（2022•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4，连接DH，请直接写出线段DH的长．
16．（2022•黑龙江）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣1），B（2，﹣5），C（5，﹣4）．
（1）将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
17．（2022•锦州）如图，在△ABC中，，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．
18．（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在直线AC上，连接BD，将DB绕点D逆时针旋转120°，得到线段DE，连接BE，CE．
（1）求证：BC＝AB；
（2）当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求的值；
（3）过点A作AN∥DE交BD于点N，若AD＝2CD，请直接写出的值．
【中考挑战满分模拟练】
一．选择题（共5小题）
1．（2023•偃师市一模）课外活动课上，小明用矩形ABCD玩折纸游戏，如图，第一步，把矩形ABCD沿EF对折，折出折痕EF，并展开；第二步，将纸片折叠，使点A落在EF上A'点，若AB＝2，则折痕BG的长等于（ ）﹣
A．B．C．2D．4
2．（2023•琼山区一模）如图，在矩形ABCD中，AD＝1，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（ ）
A．2﹣1B．C．﹣D．﹣1
3．（2023•深圳模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（ ）
A．B．C．1D．
4．（2023•青岛模拟）如图，将△ABC先向下平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转一定角度，得到△A1B1C1，顶点A落到了点A1（5，3）处，则点B的对应点B1的坐标是（ ）
A．（3，0）B．（3，2）C．（2，2）D．（1，2）
5．（2023•青岛模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠得到△DEF，点F落在EG边上，连接CF．现有如下5个结论：①AG+EC＝GE；②BF⊥CF；③S△BEF＝；④GB＝2AG．在以上4个结论中正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
二．填空题（共5小题）
6．（2023•雁塔区校级一模）如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点G．若BF•AD＝12，则AF的长度为 ．
7．（2023•延安一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E为线段CD的中点，动点F从点C出发，沿C→B→A的方向在CB和BA上运动，将矩形沿EF折叠，点C的对应点为C'，当点C'恰好落在矩形的对角线上时，点F运动的距离为 ．
8．（2023•武汉模拟）如图，D是△ABC内一点，∠BDC＝90°，BD＝CD，AB＝20，AC＝21，AD＝，则BC的长是 ．
9．（2023•澄迈县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，1），（3，0），（2，﹣1）．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是 ．
10．（2023•碑林区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠A＝120°，点F、点N分别为CD、AB的中点，点E在边AD上运动，将△EDF沿EF折叠，使得点D落在D'处，连接BD′，点M为BD'中点，则MN的最小值是 ．
三．解答题（共6小题）
11．（2023•西安一模）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，请画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，其中A'、B'、C'分别是A、B、C的对应点，并写出点A'、B'、C'的坐标．
12．（2023•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中：
（1）将△ABC向上平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A1B1C1，画出点A的对应点A1的坐标 ；并在坐标系中画出平移后的△A1B1C1；
（2）求△ABC的面积．
13．（2023•定远县校级一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC和格点O（网格线的交点，叫做格点）．
（1）作△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）
（2）将△A1B1C1先向上平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2）
（3）连接OA，OC2，则∠AOC2＝ °．
14．（2023•石家庄模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的8×11的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB．
（1）以点A为中心，将AB逆时针旋转90°，得到线段AB1，画出线段AB1；
（2）连接BB1，以点B1为中心，将△ABB1缩小0.5倍得到△A2B2B1，画出△A2B2B1；
（3）若△ABB1的面积为S，则△A2B2B1的面积为 ．
15．（2023•庐江县模拟）（1）如图1，过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．
①求证：AP＝BQ；
②连接PB并延长交直线CQ于点D．若PD⊥CQ，AC＝，求PB的长；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝45°，将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，连接CD，若AC＝1，BC＝3，求CD长．
16．（2023•天涯区一模）已知D是等边三角形ABC中AB边上一点，将CB沿直线CD翻折得到CE，连接EA并延长交直线CD于点F．
（1）如图1，若∠BCD＝40°，直接写出∠CFE的度数；
（2）如图1，若CF＝10，AF＝4，求AE的长；
（3）如图2，连接BF，当点D在运动过程中，请探究线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
【名校自招练】
一．选择题（共10小题）
1．（2022•长寿区自主招生）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．笛卡尔心形线
C．赵爽弦图D．斐波那契螺旋线
2．（2022•温江区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点Q（﹣3，7）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣3，7）B．（3，7）C．（﹣3，﹣7）D．（3，﹣7）
3．（2022•南陵县自主招生）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，P为△ABC内一点，分别连接PA、PB、PC，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA时，，则BC的值为（ ）
A．1B．C．D．2
4．（2022•九龙坡区自主招生）下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022•瓯海区校级自主招生）如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且2EF＝AB；②∠BAF＝∠CAF；③S四边形ADEF＝AF•DE；④∠BDF+∠FEC＝2∠BAC，正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（2022•长寿区自主招生）如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为（ ）
A．B．C．D．1
7．（2022•九龙坡区自主招生）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ）
A．2B．4C．2D．4
8．（2022•工业园区校级自主招生）如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（6，4）B．（﹣6，4）C．（4，﹣6）D．（﹣4，6）
9．（2022•南岸区自主招生）如图，在矩形纸片ABCD中，E是BC边上的中点，连接AE，把矩形纸片沿AE对折，点B恰好落在矩形纸片ABCD的对角线BD上的点F处，连接CF．
①CF∥AE；
②AD＝AB；
③CF＝CD；
④∠ABD＝60°；
⑤S矩形ABCD＝4S△AEF•
以上五个结论，正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．（2022•九龙坡区自主招生）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（ ）
A．B．2C．2D．
二．填空题（共4小题）
11．（2022•渝中区校级自主招生）如图，正方形ABCD中，点E在AB边上且AE＝2BE．连接CE，取CE边上中点G，作GH⊥CG且CG＝GH连接CH．将△CGH绕着点C逆时针旋转得到△CG'H'．当H'恰好落在AH的延长线上时连接HG'．CG′与HH'交于F，若AH＝2，则FH＝ ．
12．（2022•相城区校级自主招生）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A点，D点的对称点为D'点．若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为8，△D'PH的面积为2，则矩形ABCD的面积等于 ．
13．（2022•温江区校级自主招生）如图，在矩形ABCD中，连接对角线BD，在线段BD上存在一动点Q，取线段DC中点M，连接MQ，并以MQ为对称轴作点D的对称点P，再以AB为对称轴作点P的对称点P′，连接AP'，BP′，在△ABP'内有一动点O，分别连接P′O，AO，BO，已知∠ADB＝30°，AB＝1，则在Q运动的过程中，P′O+AO+BO的最小值为 ．
14．（2022•宁波自主招生）如图，在▱ABCD中，AD＝6．将▱ABCD绕点A旋转至▱AEFG．使得点E落在对角线AC上，若此时B、E、D、F恰在同一条直线上，则C、G两点间的距离为 ．
三．解答题（共4小题）
15．（2022•徐汇区校级自主招生）有一矩形纸片ABCD，AB＝a，BC＝b，将矩形ABCD沿对角线AC对折后放于桌面上，探究其覆盖桌面的面积．
16．（2022•渝北区自主招生）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在AC上，连接BD，F为BD上一点．
（1）如图1，连接AF，将AF绕着点A逆时针旋转120°得AH，且点H恰好落在BD的延长线上，若BF＝1，求点C到直线BD的距离；
（2）将△BCD沿着BC所在的直线翻折得△BCE，点D的对应点为E．
①如图2，连接AE，点F为BD的中点，连接AF，EF，求证：EF⊥AF；
②如图3，点M为BE的中点，连接AM交BC于点N，若AB＝2，当△AMB周长最小时，直接写出的值．
17．（2022•荣昌区自主招生）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，点E为AC边上一点，连接ED并延长至F，使ED＝FD，以EF为底作等腰Rt△EGF．
（1）如图1，若∠ADE＝30°，AE＝2，求CE的长；
（2）如图2，连接BF，DG，点M为BF的中点，连接DM，过D作DH⊥AC，垂足为H，连接AG交DH于点N，求证：DM＝NG；
（3）如图3，点K为平面内不与点D重合的任意一点，连接KD，将KD绕点D顺时针旋转90°得到K'D，连接K'A，KB．直线K'A与直线KB交于点P，D'为直线BC上一动点，连接AD'并在AD'的右侧作C'D'⊥AD'且C'D'＝AD'，连接AC'，Q为BC边上一点，CD＝3CQ，AB＝6，请直接写出QC'+C'P的最小值．
18．（2022•渝中区校级自主招生）在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°．在△AEF中，∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，AE＝AB，连接CE，点G是CE的中点．将△AEF绕点A顺时针旋转α（0＜α＜360°）．
（1）如图1，若点F恰好落在线段CE上，连接BG．证明：2（GC﹣GB）＝AB．
（2）如图2，若点F恰好落在BA延长线上时，作CD⊥BC，DA⊥BA，M是线段BC上一点，4BM＝BC，P是平面内一点，满足∠MPC＝∠DCE，连接PF，已知AC＝4，直接写出PF的最小值．