2023-2024学年浙江省杭州十三中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州十三中九年级（下）开学数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若2m=n5，则mn=( )
A. 10B. 7C. 52D. 25
2.由4个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，DE/​/BC，AD：DB=1：2，EC=6，则AE的长是( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 10
4.在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=10，sinA=35，则AB的长是( )
A. 65B. 503C. 6D. 8
5.两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应中线之比是( )
A. 1：1B. 1：2C. 1：3D. 1：4
6.要在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形( )
A. 三边高线的交点B. 三个角的平分线的交点
C. 三边垂直平分线的交点D. 三边中线的交点
7.一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为18°，则该正多边形的边数是( )
A. 14B. 18C. 16D. 20
8.如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆.若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是( )
A. 414π−20
B. 412π−20
C. 20π
D. 20
9.已知B(3,3)、C(0,3).抛物线y=x2−2x+a+2与线段BC至少有一个交点，则a的取值范围是( )
A. −2≤a≤1B. −2≤a≤2C. 1≤a<2D. −2≤a<1
10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E为AC边上一点，连结BE，以AB为直径的圆分别交BC，BE于D，H两点，连结DH，设∠ABE=α，则DHDC=( )
A. 1−tanαB. csα−sinαC. tanα−sinαD. 1−csα
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：4sin30°= ______．
12.如图，在矩形ABCD中，BC=6，AB=3，⊙O是以BC为直径的圆，则直线AD与⊙O的位置关系是______．
13.△ABC的边AB=8，边AC，BC的长是一元二次方程m2−16m+60=0的两根，则△ABC的外接圆的半径是______．
14.如图，设AD、BE、CF为△ABC的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3，则线段BE的长为______．
15.已知实数x，y满足x2+5x+y−2=0，则x+y的最大值为______．
16.如图，已知AC，CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点G，H分别为线段AC，CE上的点，且有AG=kAC，CH=kCE，若B，G，H三点共线，则k= ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题9分)
如图，用一个圆心角为120°的扇形围成一个无底的圆锥，
(1)若圆锥的母线长为3cm，求圆锥的侧面积．
(2)若圆锥底面圆的半径为2cm，求扇形的半径．
18.(本小题9分)
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是13．
(1)求任意摸出一个球是黑球的概率；
(2)小明从盒子里取出m个白球(其他颜色球的数量没有改变)，使得从盒子里任意摸出一个球是红球的概率为14，请求出m的值．
19.(本小题9分)
在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当y≤4时，求自变量x的取值范围．
20.(本小题9分)
如图F为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，BF分别交CD，AC于G，E.(1)求证：EFEB=AECE；
(2)若EF=12，GE=4，求BE的长．
21.(本小题9分)
如图，AB是⊙O的直径，CD=CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF/​/BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若AB=5，BC=2，求AD的长．
22.(本小题9分)
小驰同学热爱数学热爱羽毛球，经常运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上.若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系C1：y=a(x−1)2+3.2；若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系C2：y=−0.4x+b，且当羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m；
(1)求a，b的值；
(2)①小驰同学经过分析发现，若选择扣球的方式，刚好能使球过网，求球网AB的高度为多少米？并通过计算判断此时选择吊球的方式能否使球过网；
②要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
23.(本小题9分)
知抛物线y=ax2−2ax(a≠0)
(1)直接写出抛物线的顶点坐标(用含a的式子表示)；
(2)抛物线是否过定点？若过，请求出定点坐标，若不过，请说明理由；
(3)若A(m−1,y1)，B(m,y2)，C(m+3,y3)都在抛物线上，是否存在实数m，使得y124.(本小题9分)
在△ABC中，已知∠BAC=α，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
(1)如图1，当α=30°时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出∠EBD=∠FCD=60°，利用三角形相似求出AD的长，请你帮助他证明：△ABE∽△CAF；
(2)当α=45°时．
①如图2，求AD的长．
②如图3，M，N为直线BC上两点(M在B点左侧，N在C点右侧)，在Rt△AMN中，∠MAN=90°，AN=3，AM=4，设BM=x，CN=y，请求出x，y之间的关系式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵2m=n5，
∴mn=10，
故选：A．
根据比例的基本性质可得出mn的值．
此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例式的两个内项之积等两个外项之积是解决问题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：从正面看，会看到，
故选：D．
找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3.【答案】A
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴ADDB=AEEC，即AE6=12，
∴AE=3．
故选：A．
利用平行线分线段成比例定理得到ADDB=AEEC，然后利用比例的性质可计算出AE的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4.【答案】D
【解析】解：∵∠ABC=90°，
∴sinA=BCAC=35，
∵AC=10，
∴BC=6，
∴AB= AC2−BC2=8．
故选：D．
由锐角的正弦定义得到sinA=BCAC=35，而AC=10，求出BC=6，由勾股定理即可求出AB= AC2−BC2=8．
本题考查解直角三角形，勾股定理，关键是由锐角的正弦定义汽车BC的长，由勾股定理即可求出AB的长．
5.【答案】B
【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的对应中线之比是1：2，
故选：B．
根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应中线的比等于相似比是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆，
∴在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心应在三角形三个角的平分线的交点，
故选：B．
因为三角形中面积最大的圆为三角形的内切圆，所以在一个三角形铁皮上截下一个面积最大的圆，此圆圆心为该三角形的内心，即该三角形三个角的平分线的交点，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的内切圆的定义，正确理解“三角形的内心为该三角形三条角平分线的交点”是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为18°，
∴该正多边形的边数为：n=36018=20，故D正确．
故选：D．
根据正多边形的中心角为360°n计算即可．
本题主要考查正多边形的有关知识，掌握正多边形的定义是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，连接BD，则BD过点O，
在Rt△ABD中，AB=4，BC=5，
∴BD2=AB2+AD2=41，
S阴影部分=S以AB为直径的圆+S以AD为直径的圆+S矩形ABCD−S以BD为直径的圆
=π×(42)2+π×(52)2+4×5−π×(BD2)2
=41π4+20−41π4
=20，
故选：D．
根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分=S以AB为直径的圆+S以AD为直径的圆+S矩形ABCD−S以BD为直径的圆进行计算即可．
本题考查勾股定理，矩形的性质以及圆形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及圆形面积的计算方法是正确解答的前提．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意可知，当x=3时，y≥3，
即9−6+a+2≥3，解得a≥−2，
当y=3时，x≤3，
即3=x2−2x+a+2，
x2−2x+a−1=0，
(x−1)2=2−a(a≤2)，
2−a≥0，
∴a≤2，
综上分析，抛物线y=x2−2x+a+2与线段BC至少有一个交点，则a的取值范围是−2≤a≤2．
故选：B．
根据抛物线y=x2−2x+a+2与线段BC至少有一个交点可知x=3时，y≥3，当y=3时，x≤3，从而可求a的取值范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接AD，如图，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BD=CD，∠BAD=∠C=45°，
∵∠BHD=∠BAD，
∴∠BHD=∠C，
∵∠HBD=∠CBE，
∴△BHD∽△BCE，
∴DHEC=BDBE，
∴DHBD=ECBE，
∴DHDC=AC−AEBE=AB−AEBE=ABBE−AEBE，
在Rt△ABE中，∵csα=ABBE，sinα=AEBE，
∴DHDC=csα−sinα．
故选：B．
连接AD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则利用等腰三角形的性质得到BD=CD，∠BAD=∠C=45°，再证明△BHD∽△BCE得到DHEC=BDBE，接着利用等线段代换得到DHDC=ABBE−AEBE，然后根据正弦和余弦的定义得到csα=ABBE，sinα=AEBE，从而得到DHDC=csα−sinα．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形．
11.【答案】2
【解析】解：4sin30°=4×12=2．
故答案为：2．
直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
12.【答案】相切
【解析】解：如图所示：作OE⊥AD于E．
则OE=AB=3，
∵BC=6，
∴OB=12BC=3，
∴OE=OB，即圆心到直线的距离=半径，
∴直线AD与⊙O相切．
故答案为：相切．
作OE⊥AD于E，则OE=AB=3，由题意得出半径=3，由d=r，即可得出结论．
此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若dr，则直线与圆相离．
13.【答案】5
【解析】解：∵m2−16m+60=0，
(m−10)(m−6)=0，
解得：m1=10，m2=6，
∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形，且斜边长为10，
∵直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点，
∴△ABC的外接圆半径为102=5，
故答案为：5．
根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得△ABC是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握其性质是解决此题的关键．
14.【答案】245
【解析】解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆，
∴△AEF∽△ABC，
∴AFAC=EFBC=35，
即cs∠BAC=35，
∴sin∠BAC=45，
∴在Rt△ABE中，BE=ABsin∠BAC=6⋅45=245．
故答案为：245．
此题考查了直角三角形的性质和锐角三角函数的性质．
本题是一道根据直角三角形的性质结合角的三角函数求解的综合题，要注意圆的性质应用；要注意数形结合思想的应用．
15.【答案】6
【解析】解：由题知，
y=−x2−5x+2，
则x+y=−x2−4x+2
=−x2−4x−4+6
=−(x+2)2+6．
则当x=−2时，
x+y有最大值为：6．
故答案为：6．
用x表示y，将y转化为x的二次代数式即可解决问题．
本题考查二次函数的最值，能将x+y转化为x的二次代数式是解题的关键．
16.【答案】 33
【解析】解：设正六边形中心为O，连接BE交AC于N，连接OA、OF，由正六边形的性质可知，直线BE为正六边形的对称轴，
∴BE⊥AN，AN=NC=12AC，∠AOB=∠AOF=∠EOF=60°，OA=OB=OF=OE，
∴△AOB是等边三角形，
设正六边形边长为a，
∴OB=OA=AB=a，BE=2a，
在△AON中，ON=12OB=12a，
∴NE=62a，BN=12a，
∴AN= OA2−ON2= 32a，
∴AC=2AN= 3a，
∵AG=kAC，
∴AG= 3ka，
∴NG=( 3k− 32)a，
∴CG=AC−AG=(1−k)AC，
作HM⊥AC于点M，
∵BE⊥AC，
∴MH//EN，
∴△CMH∽△CNE，
∴MHNE=CHCE=CMCN=k，
∴NH=32ka，CM= 32ka，
∴MG=CG−CM=(1−k)AC− 32ka=(1−32k) 3a，
∵BN//HM，
∴△BNG∽△HMG，
∴BNMH=NGMG，
∴12a32ka=( 3k− 32)a(1−32k) 3a，
解得k=± 33(负值舍去)，
∴k= 33．
故答案为： 33．
设正六边形中心为O，连接BE交AC于N，连接OA、OF，由正六边形的性质可知，直线BE为正六边形的对称轴，由正多边形性质可得△AOB是等边三角形，设正六边形边长为a，由正多边形的性质及勾股定理得∴CG=AC−AG=(1−k)AC，作HM⊥AC于点M，然后由相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是正多边形与圆、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．
17.【答案】解：(1)∵圆锥的母线长为3cm，
∴扇形的半径为3cm，
∴扇形面积为：120π×32360=3π(cm2)，
∴圆锥的侧面积为3πcm2；
(2)设扇形的半径为r cm，
∵圆锥底面圆的半径为2cm，
∴圆锥底面圆的周长为4πcm，
∴扇形弧长为4πcm，
则120πr180=4π，
解得：r=6，
答：扇形的半径为6cm．
【解析】(1)根据扇形面积公式计算；
(2)根据弧长公式计算．
本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图、扇形面积公式、弧长公式是解题的关键．
18.【答案】解：(1)∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是13，
∴盒子中球的总数为：5÷13=15(个)，
故盒子中黑球的个数为：15−3−5=7(个)；
∴任意摸出一个球是黑球的概率为：715；
(2)∵任意摸出一个球是红球的概率为14，
∴盒子中球的总量为：3÷14=12，
∴可以将盒子中的白球拿出3个，
∴m=3．
【解析】(1)直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数；
(2)直接利用概率公式的意义分析得出答案；
(3)利用概率公式计算得出符合题意的方法．
本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．
19.【答案】解：(1)根据表中可知：点(−1,−2)和点(0,−2)关于对称轴对称，
即对称轴是直线x=−12，
设二次函数的表达式是y=a(x+12)2+k，
把点(−2,0)和点(0,−2)代入得：a(−2+12)2+k=0a(0+12)2+k=−2，
解得：a=1，k=−94，
y=(x+12)2−94=x2+x−2，
所以该二次函数的表达式是y=x2+x−2；
(2)当y=4时，y=x2+x−2=4，
解得：x=−3或2，
∵a=1>0，
∴抛物算开口向上，
∵对称轴是直线x=−12，
∴当y≤4时，自变量x的取值范围是−3≤x≤2．
【解析】(1)根据表中点的坐标得出函数的对称轴，设二次函数的表达式是y=a(x+12)2+k，把点的坐标代入求出即可；
(2)求出y=4时对应的x的值，再根据二次函数的性质得出即可．
本题考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵AF/​/BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴EFEB=AECE．
(2)解：∵AB/​/CD，
∴△ABE∽△CGE，
∴EBGE=AECE，
由(1)知EFEB=AECE，
∴EBGE=EFEB，
∴EB2=EF×GE，
∵EF=12，GE=4，
∴EB2=12×4，
∴EB=4 3或EB=−4 3(舍)，
∴EB=4 3．
【解析】(1)根据三角形相似即可得证；
(2)由AB/​/CD得△ABE∽△CGE，进而可知EBGE=AECE，由(1)知EFEB=AECE，从而得出EBGE=EFEB，代入即可求得．
本题主要考查相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质，掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：连接OC交BD于点G，
∵CD=CB，
∴CD=CB，
∴OC垂直平分BD，
∵CF/​/BD，
∴∠OCF=∠OGB=90°，
∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，
∴CF是⊙O的切线．
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，BC=2，
∴OC=OB=OA=12AB=12×5=52，
∵∠BGC=90°，∠CBG=∠BAC，
∴CGBC=sin∠CBG=sin∠BAC=BCAB=25，
∴CG=25BC=25×2=45，
∴OG=OC−CG=52−45=1710，
∵OB=OA，GB=GD，
∴AD=2OG=2×1710=175，
∴AD的长是175．
【解析】(1)连接OC交BD于点G，由CD=CB，得CD=CB，则OC垂直平分BD，因为CF/​/BD，所以∠OCF=∠OGB=90°，即可证明CF是⊙O的切线；
(2)由AB=5，求得OC=OB=OA=52，因为∠BGC=∠ACB=90°，∠CBG=∠BAC，所以CGBC=sin∠CBG=sin∠BAC=BCAB=25，则CG=25BC=45，求得OG=OC−CG=1710，由OB=OA，GB=GD，根据三角形的中位线定理得AD=2OG=175．
此题重点考查垂径定理、平行线的性质、切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的中位线定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
22.【答案】解：(1)羽毛球的水平距离为1m时，飞行高度为2.4m，则2.4=−0.4+b，
解得b=2.8，
那么一次函数关系C2：y=−0.4x+2.8，当x=0，y=2.8，则点P(0,2.8)，
2.8=a(0−1)2+3.2，
解得a=−0.4，
故a=−0.4，b=2.8；
(2)①选择扣球，一次函数C2：y=−0.4x+2.8，且OA=3，
则y=−0.4×3+2.8=1.6，
那么球网AB的高度为1.6m；
选择吊球，二次函数关系C1：y=−0.4×(3−1)2+3.2=1.6，
那么选择吊球的方式也刚好能使球过网；
②选择吊球．理由如下：
令y=0，−0.4×(x−1)2+3.2=0，
解得x1=2 2+1，x2=1−2 2(舍去)，
−0.4x+2.8=0，
解得x=7，
∵OA=3m，CA=2m，
∴OC=OA+AC=5，
∵7−5=2，|2 2+1−5|=4−2 2<2，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【解析】(1)根据一次函数解析式和过点(1,2.4)解得b，再求得点P，代入二次函数求得a；
(2)①选择扣球，利用一次函数求得网AB高；选择吊球，结合OA，利用二次函数求得值与网高进行判断即可；
②令y=0，分别解得对应函数的水平距离，再与OC做差比较大小即可知选择吊球，球的落地点到C点的距离更近．
本题主要考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式、实数大小比较和函数平移，解题的关键是熟悉二次函数的平移．
23.【答案】解：(1)抛物线y=ax2−2ax=a(x−1)2−a，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−a)；
(2)∵y=ax2−2ax=ax(x−2)，
∴抛物线过定点(0,0)，(2,0)；
(3)存在实数m，使得y1∵y1∴抛物线开口向下，
∴a<0，
如图，当B(m,y2)，C(m+3,y3)关于抛物线对称轴对称时，m+m+32=1，
解得m=−12，

∴m>−12时，y3当A(m−1,y1)，B(m,y2)关于抛物线对称轴对称时，m−1+m2=1，
解得m=32，
∴m<32时，y1当A(m−1,y1)，C(m+3,y3)关于抛物线对称轴对称时，m−1+m+32=1，
解得m=0，
∴m<0时，y1综上，存在实数m，使得y1【解析】(1)将抛物线y=ax2−2ax化为顶点式，即可求解；
(2)y=ax2−2ax=ax(x−2)可知，抛物线过定点(0,0)，(2,0)；
(3)由y1本题是二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
24.【答案】(1)证明：如图1，作∠EBD=∠FCD=60°，交AD于E，F，
∵AD⊥BC，∠EBD=∠FCD=60°，
∴∠BED=∠DFC=30°，
∴∠EAB+∠ABE=∠FAC+∠ACF=30°，
∵∠BAC=∠BAE+∠FAC=30°，
∴∠ACF=∠BAE，∠FAC=∠ABE，
∴△ABE∽△CAF；
(2)解：①如图2，作∠EBD=∠FCD=45°，交AD于E，F，

∵AD⊥BC，∠EBD=∠FCD=45°，
∴∠BED=∠DFC=∠EBD=∠FCD=45°，
∴DE=BD=2，DC=DF=3，
∴BE=2 2，CF=3 2，
∵∠BAC=∠BAE+∠FAC=45°，∠BED=∠EAB+∠ABE=45°，∠DFC=∠FAC+∠ACF=45°，
∴∠ACF=∠BAE，∠FAC=∠ABE，
∴△ABE∽△CAF，
∴CFAE=AFBE，
∴3 2AD−2=AD−32 2，
∴AD=6，AD=−1(舍去)，
即AD的长为6；
②在Rt△AMN中，∠MAN=90°，AN=3，AM=4，
∴MN= AM2+AN2= 9+16=5，
∵BM=x，CN=y，
∴BC=5−x−y，
如图，作△ABC关于AB对称的△ABE，在AM上截取AF=AN=3，连接EF，并延长交MN于H，

∴∠BAC=∠BAE=45°，BC=BE=5−x−y，AE=AC，
∵AF=3，AM=4，
∴MF=1，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAM+∠CAN=45°，
∴∠CAN=∠EAM，
又∵AF=AN，
∴△ACN≌△AEF(SAS)，
∴EF=CN=y，∠N=∠AFE，
∴∠N=∠AFE=∠MFH，
∵∠M+∠N=90°，
∴∠M+∠MFH=90°，
∴∠MHF=90°，
∴∠MHF=∠BAC，
又∵∠M=∠M，
∴△MFH∽△MNA，
∴MFMN=MHAM=FHAN，
∴15=MH4=FH3，
∴FH=35，MH=45，
∴HB=x−45，
∵EH2+BH2=BE2，
∴(y+35)2+(x−45)2=(5−x−y)2，
∴y=60−21x28−5x．
【解析】(1)由余角的性质可求∠BED=∠DFC=30°，由角的数量关系可证∠ACF=∠BAE，∠FAC=∠ABE，即可求解；
(2)①由等腰直角三角形的性质可求BE，CF的长，通过证明△ABE∽△CAF，可得CFAE=AFBE，即可求解；
②由勾股定理可求MN=5，由轴对称的性质可得∠BAC=∠BAE=45°，BC=BE=5−x−y，AE=AC，由“SAS”可证△ACN≌△AEF，可得EF=CN=y，∠N=∠AFE，通过证明△MFH∽△MNA，可求FH=35，MH=45，由勾股定理可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
0
−2
−2
0
4
…