2024大同一中高二下学期3月月考试题数学含解析

这是一份2024大同一中高二下学期3月月考试题数学含解析，共19页。

一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 15
2. 从集合中任取两个不同数，和为2的倍数的概率为( ）
A. B. C. D.
3. 有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 462B. 630C. 672D. 882
4. 为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人．某学校准备组建书法、音乐、美术、体育4个不同的社团．现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有（ ）
A. 192种B. 216种C. 240种D. 432种
5. 某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 乒乓球是我国的国球，乒乓球运动在我国十分普及，深受国人喜爱，在民间经常开展各种乒乓球比赛．现有甲乙二人争夺某次乒乓球比赛的冠军，根据以往比赛记录统计的数据，可以认为在每局比赛中甲胜乙的概率为，若比赛为“五局三胜”制，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（ ）

A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若互斥事件，则
B. 若互斥事件，则
C. 若相互独立，则
D. 若若，则
10. 为弘扬我国古代“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
11. 如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲从M到达N处的方法有15种
B. 甲从M必须经过到达N处的方法有6种
C. 甲、乙两人在处相遇的概率为
D. 甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在二项式展开式中，常数项为__________．
13. 点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________.
14. 已知实数满足，，则______．
四､解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. （1）求除以15的余数；
（2）若，求的值；
（3）求展开式中系数最大的项．
16. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：
（1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
（2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
（3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
17. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制．积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；
（2）已知甲在参加三场比赛后积分之和为5分，求这三场比赛甲得分都不同的概率．
18. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明.
19. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
（1）求的值，并探究数列的通项公式；
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
横式
2023~2024-2高二年级3月学情检测
数学试卷
（试卷满分150分，考试时间120分钟）
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A. 3B. 6C. 10D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
2. 从集合中任取两个不同的数，和为2的倍数的概率为( ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列举法写出任取两个不同的数，和为2的样本点，得出样本点个数后，由概率公式计算概率．
【详解】由题知和为2的倍数的有(1,3），(1,5），(1,7），(3,5），(3,7），(5,7），(2,4），(2,6），(2,8），(4,6），(4,8），(6,8）共12种可能，
．
故选：D．
3. 有7种不同的颜色给下图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，且相邻的两个格子颜色不能相同，若最多使用3种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 462B. 630C. 672D. 882
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，按使用颜色的数目分两种情况讨论，由加法原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分两种情况讨论：
若用两种颜色涂色，有种涂色方法；
若用三种颜色涂色，有种涂色方法；
所以有种不同的涂色方法.
故选：C.
4. 为了深化教育改革，坚持“五育并举”融合育人．某学校准备组建书法、音乐、美术、体育4个不同的社团．现将甲、乙、丙、丁、戊5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只能分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，且甲乙两名同学不能在同一个社团培训，则不同的分配方案共有（ ）
A. 192种B. 216种C. 240种D. 432种
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，先计算出所有的分配方案数，然后去掉甲乙两名同学在同一个社团的方案数，即可得到结果.
【详解】由题意可得，将5名同学分配到这4个社团进行培训每名同学只能分配到1个社团，
每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有种，
当甲乙两名同学在同一个社团培训，则不同的分配方案有种，
综上可得，不同的分配方案共有种.
故选：B
5. 某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据排列组合以及概率的乘法公式即可求解.
【详解】设事件A表示“两道题全做对”，
若两个题目都有思路，则；
若两个题目中一个有思路一个没有思路，则；
若两个题目都没有思路，则；
故.
故选：D.
6. 乒乓球是我国的国球，乒乓球运动在我国十分普及，深受国人喜爱，在民间经常开展各种乒乓球比赛．现有甲乙二人争夺某次乒乓球比赛的冠军，根据以往比赛记录统计的数据，可以认为在每局比赛中甲胜乙的概率为，若比赛为“五局三胜”制，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了四局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设甲获得冠军为事件A，比赛进行了四局为事件B，求出和，根据条件概率的计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意可设甲获得冠军为事件A，比赛进行了四局为事件B，
则，
，
故，
故选：D
7. 我国古代十进制数的算筹记数法是世界数学史上一个伟大的创造.算筹一般为小圆棍算筹计数法的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推；遇零则置空.纵式和横式对应数字的算筹表示如下表所示，例如：10记为“”，62记为“”.现从由4根算筹表示的两位数中任取一个数，则取到的数字为质数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分类讨论，利用古典概型的概率公式求解即可.
【详解】由题意可知，共有4根算筹，
当十位1根，个位3根，共有2个两位数13、17；
当十位2根，个位2根，共有4个两位数22，26，62，66；
当十位3根，个位1根，共有2个两位数31，71；
当十位4根，个位0根，共有2个两位数40，80；
其中质数有13、17、31、71，
所以取到的数字为质数的概率为，
故选：A
8. “杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列，则此数列的前45项的和为（ ）

A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】根据“杨辉三角”的特点可知次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行，从而得到第行去掉所有为的项的各项之和为：；根据每一行去掉所有为的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第行结束，数列共有项，则第项为，从而加和可得结果.
【详解】由题意可知，次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第行
则“杨辉三角”第行各项之和为：
第行去掉所有为的项的各项之和为：
从第行开始每一行去掉所有为的项的数字个数为：
则：，即至第行结束，数列共有项
第项为第行最后个不为数，即为：
前项的和为：
故选：A
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知为随机事件，，则下列结论正确的有（ ）
A. 若为互斥事件，则
B. 若为互斥事件，则
C. 若相互独立，则
D. 若若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据互斥事件性质可求得A正确，B错误，再由相互独立事件性质可得C正确，利用对立事件及条件概率公式可得D正确.
【详解】对于A，若为互斥事件，则，即可得A正确；
对于B，由可得，
又为互斥事件，则，又，即B错误；
对于C，若相互独立，则,
所以，即C正确；
对于D，若，所以；
可得，
所以，即D正确.
故选：ACD
10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算.
【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选：ABC.
11. 如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲从M到达N处的方法有15种
B. 甲从M必须经过到达N处的方法有6种
C. 甲、乙两人在处相遇的概率为
D. 甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据组合数原理可判断A；根据分步乘法计数原理和组合数原理可判断B；根据分步乘法计数原理、组合数原理和古典概型概率公式可判断C、D.
【详解】对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，
需要走6步，2步向上，4步向右，共有种，故A正确；
对于B，第一步，甲从M到，有种走法，
第二步，从到N，有种走法，所以共有种走法，故B错误；
对于C，由B可知甲、乙经过的走法都有9种，所以在处相遇共有种走法，
而甲、乙两人的总走法有种，所以两人在处相遇的概率为，故C正确；
对于D，因为甲、乙两人以相同的速度同时出发，因而相遇时走过的路程相等，故两人只能在处相遇，由C可知D对．
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛:本题C中主要利用分步乘法计数原理和组合数原理进行求解，再结合古典概率从而可求解.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 在二项式的展开式中，常数项为__________．
【答案】
【解析】
【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.
【详解】对，有，
令，则，则有.
故答案为：.
13. 点关于直线的对称点在圆内，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】首先求对称点，再根据点与圆的位置关系，列式求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，得，
又题意可知，，解得：.
故答案为：
14. 已知实数满足，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得，构造函数，通过导数研究单调性，得，结合对数的运算规则求的值.
【详解】由，可得，故,
由，可得，可得，故,
令，，由，解得，由，得解，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
由，则有，所以，
因，所以.
故答案为：
【点睛】思路点睛：由已知可得，找到共同特征，通过构造函数，利用导数研究函数性质，即可得到，从而求出的值.
四､解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. （1）求除以15的余数；
（2）若，求的值；
（3）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）4；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）先把写成，再利用二项式定理展开，从而得到答案.
（2）根据题意，分别代入列方程组，计算即可得到所求和；
（3）设项的系数最大，则通过解不等式组得到答案.
【详解】（1）
，
除以15的余数为4.
（2）由已知得，
令，得，①
令，得，②
联立①②得，.
令，得，所以.
（3）的展开式通项为，
则项的系数.
设项的系数最大，则由不等式组，
即，化简，
即，解得.
因为，所以.
因此，展开式中系数最大的项为.
16. 中国传统文化中，过春节吃饺子，饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅的“饺子”，2盒三鲜馅的“饺子”和5盒青菜馅的“饺子”,乙箱中有3盒肉馅的“饺子”，3个三鲜馅的“饺子”和4个青菜馅的“饺子”.问：
（1）从甲箱中取出一盒“饺子”是肉馅的概率是多少？
（2）若依次从甲箱中取出两盒“饺子”，求第一盒是肉馅的条件下，第二盒是三鲜馅的概率；
（3）若先从甲箱中随机取出一盒“饺子”放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒“饺子”，从乙箱取出的“饺子”是肉馅的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用古典概型求解；
（2）利用条件概率求解；
（3）利用全概率求解.
【小问1详解】
设事件“取出饺子是肉馅”，，
【小问2详解】
设事件“甲箱中取出的第一盒饺子是肉馅”，
事件“取出第二个盒饺子是三鲜馅”，
【小问3详解】
设事件“从乙箱取出的“饺子”是肉馅”.
设事件，，分别是甲箱中取出肉馅的“饺子”，三鲜馅的“饺子”和青菜馅的“饺子”，
17. 某校组织围棋比赛，每场比赛采用五局三胜制（一方先胜三局即获胜，比赛结束），比赛采用积分制．积分规则如下：每场比赛中，如果四局及四局以内结束比赛，取胜的一方积3分，负者积0分；五局结束比赛，取胜的一方积2分，负者积1分．已知甲、乙两人比赛，甲每局获胜的概率为．
（1）在一场比赛中，甲的积分为，求的概率分布列；
（2）已知甲在参加三场比赛后积分之和为5分，求这三场比赛甲得分都不同的概率．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到可能取值为，分别求得相应的概率，即可列出分布列；
（2）设甲在参加三场比赛后积分之和为5分为事件，三场比赛甲得分都不同为事件，结合甲的三场比赛积分分别为1，1，3或者0，2，3或者1，2，2，结合相互独立的事件的乘法公式和条件概率的计算，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意得，随机变量可能取值为，
当时，则前三场比赛都输或前三场比赛赢一场且第四场比赛输，
则；
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛输，
则；
当时，前四场比赛赢两场且第五场比赛赢，
则；
当时，前三场比赛都赢或前三场比赛赢两场且第四场比赛赢，
则，
所以的概率分布列如下：
【小问2详解】解：设甲在参加三场比赛后积分之和为5分为事件，设这三场比赛甲得分都不同为事件，
则甲的三场比赛积分分别为1，1，3或者0，2，3或者1，2，2，
所以，
且，，
故甲在参加三场比赛后，积分之和为5分的概率分别为.
18. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间
（2）讨论的单调性；
（3）当时，证明.
【答案】（1）单调递增，在单调递减
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，求出导函数，解不等式求的单调区间即可；
（2）分、情况讨论与的大小关系可得结论；
（3）利用函数的单调性把所证不等式转化成，构造函数，利用导数求函数最值即可证明.
【小问1详解】
当时，，的定义域为，
则，
故当时，；当时，.
故在单调递增，在单调递减；
【小问2详解】
定义域为，．
若，则当时，，故在单调递增，
若，则当时，；当时，.
故在单调递增，在单调递减；
【小问3详解】
由（1）知，当时，在取得最大值，最大值为，
所以等价于，即，
设，则，当时，，当时，
所以在单调递增，在单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，
从而当时，，即.
19. 某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会．已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第n次摸球抽中奖品的概率为．
（1）求的值，并探究数列的通项公式；
（2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程．
【答案】（1），
（2）第二次，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据全概率公式即可求解，利用抽奖规则，结合全概率公式即可由等比数列的定义求解，
（2）根据，即可对分奇偶性求解.
【小问1详解】
记该顾客第次摸球抽中奖品为事件A，依题意，，
．
因为，，，
所以，
所以，
所以，
又因为，则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
【小问2详解】
证明：当n为奇数时，，
当n为偶数时，，则随着n的增大而减小，
所以，．
综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大．
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
横式
0
1
2
3