江苏省盐城市滨海县五汛中学2023-2024学年高三下学期高考适应性考试数学试题（含解析）

这是一份江苏省盐城市滨海县五汛中学2023-2024学年高三下学期高考适应性考试数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．2024年某校举行一场射箭比赛，甲乙丙丁戊各射中的环数分别为：9环，6环，7环，8环，10环．则在五个人的成绩的上四分位数是（ ）
A．8环B．9环C．7环D．6环
2．双曲线的离心率为3，则复数的模为（ ）
A．B．C．D．
3．已知两条不同的直线，表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．B．与平行或相交
C． D．
4．在等差数列中，已知则的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．凸五边形有5条对角线，那么凸边形有（ ）条对角线．
A．B．C．D．
6．在平面直角坐标系xy中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹是一个圆B．动点的轨迹所围成的面积为6
C．动点的轨迹跟坐标轴不相交D．动点离原点最短距离为1
7．在中，已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设等比数列的前项和为，且(为常数)，则（ ）
A．B．的公比为2C．D．
10．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，曲面（阴影部分）叫做曲面三角形，若，则称其为曲面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则
B．若，则
C．若，则球面的体积
D．若平面为直角三角形，且，则
11．已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．的图象关于点对称
D．
三、填空题
12．的展开式中含的项的系数为 ．
13．已知，则 ．
14．将1，2，3，…，9这9个数填入如图所示的格子中（要求每个数都要填入，每个格子中只能填一个数），记第1行中最大的数为，第2行中最大的数为，第3行中最大的数为，则的填法共有 种.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，.
(1)求证：；
(2)已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.
16．某老师在课堂测验上设置了一种新的大题题型，这种大题题型由一个题干和五个与题干有关的判断题组成，得分规则是: 五道题中，全部正确判断则该大题得 5 分，有一道错误判断则该大题得 3 分，有两道错误判断则该大题得 1 分，有三道及以上错误判断则该大题不得分.假定随机判断时，每道题正确判断和错误判断的概率相等.
(1)若考生所有题目都随机判断，求此时得分的分布列和数学期望;
(2)若考生能够正确判断其中两道题目，其余题目随机判断，求此时得分的数学期望.
17．已知函数．
(1)若方程在上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；
(2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度．
18．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为.
(1)求C的方程；
(2)已知点，M，N是曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点.
19．根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数在约束条件的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数，其中为拉格朗日系数．分别对中的部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解，就是二元函数在约束条件的可能极值点．的值代入到中即为极值．
补充说明：【例】求函数关于变量的导数．即：将变量当做常数，即：，下标加上，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的表示分别对进行求导．
(1)求函数关于变量的导数并求当处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数满足，求的最大值．
(3)①若为实数，且，证明：．
②设，求的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】根据第p百分位数定义计算判断即可.
【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：6，7，8，9，10，
，5人成绩的上四分位数为第四个数:9.
故选：B.
2．A
【分析】根据离心率求出，再利用复数模的公式即可.
【详解】由题得，解得，则，，
故选：A.
3．B
【分析】由线线、线面、面面的位置关系直接判断即可.
【详解】对于A，若，则或异面，故A错误；
对于B，若，则平行或相交，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C错误；
对于D，若，则或相交，可参考直三棱柱的三个侧面，故D错误；
故选：B.
4．C
【分析】根据等差数列通项公式和前项和性质即可得到，解出即可.
【详解】由题意得，
，
即，解得.
故选：C.
5．D
【分析】根据分析得到，再利用累加法和等差数列前项和公式即可.
【详解】凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，
则得到在凸的基础上，多一个顶点，则多条对角线，
设凸边形有条对角线，
所以，
则，，
累加得，
则，
故选：D.
6．B
【分析】由题意得，结合可知，画出图形可知P点轨迹是一个菱形，故A、C错误；由点到直线的距离即可验证D；B转换成面积的两倍来求即可.
【详解】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．
又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．
，且时，方程为；，且时，方程为；
，且时，方程为；，且时，方程为．
P点对应的轨迹如图所示：

，且，所以P点的轨迹为菱形，故A、C错误；
原点到：的距离为，D错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为，B正确．
故选：B．
7．A
【分析】利用和角的正切公式求出，再代入计算即得.
【详解】在中，，否则，
，，矛盾，并且有，
，
因此，而，则，，
所以.
故选：A
8．D
【分析】由已知可求得，建立空间坐标系，利用已知设，，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果.
【详解】平面，，连接，由，可得，
四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系，
则，，设，，
则，
所以
因为，则，则，
所以.
故选：D
9．BC
【分析】令求出，由分别求出，由等比性质求出，进而求出和，结合等比通项公式可求.
【详解】因为，所以．
因为是等比数列，所以，即，解得，则错误；
的公比，则B正确；
因为，所以，则C正确；
因为，所以，所以，则D错误．
故选：BC
10．BC
【分析】根据弧长公式即可求解A，根据勾股定理以及弧长公式即可求解B，根据球的截面性质可得求解C，根据余弦定理，取反例即可求解D.
【详解】若平面是面积为的等边三角形，则，则，.A不正确.
若，则，则.B正确.
若，则，，
则平面的外接圆半径为，则到平面的距离，
则三棱锥的体积，
则球面的体积.C正确.
由余弦定理可知因为，所以，则.
取，，则，，
则.D不正确.
故选：BC
【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：
（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；
（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.
11．ABD
【分析】对于A，首先由题意，求导代入即可验算；对于B，由即可判断；对于C，用反证法即可求导推翻；对于D，由题意得，进一步构造函数得，由此即可判断.
【详解】由，可得，则，令，得，A正确.
令，则，故为偶函数，B正确.
假设的图象关于点对称，则，
则，即，则，
这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确.
因为的图象关于点对称，所以，
令，则，
则（为常数），则，
从而，即，
由，得，D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是用反证法求导结合已知证伪，由此即可顺利得解.
12．1120
【分析】根据二项式定理展开为，从而可求解.
【详解】的展开式的通项为，
故令可得含项的系数为．
故答案为：.
13．/
【分析】根据二倍角的正切公式即可得到答案.
【详解】由，可得，
故．
故答案为：.
14．60480
【分析】按第行、第行、第行的顺序进行填写，结合组合和排列的知识求得正确答案.
【详解】第3行，，可选的位置有3个，其余2个位置任取2个数，共有种情况.
第2行，取剩下6个数中最大的数为，可选的位置有3个，
其余2个位置任取2个数，共有种情况，
第1行，剩下3个数任意排列，则有种情况，
故共有种填法.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又因为四边形是矩形，所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，所以.
因为为中点，，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以.
（2）在矩形中，，平面，平面，
所以平面.
又平面，平面平面，所以.
所以与直线所成角即为.
在中，，，
所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，所以，.
设平面的法向量为，
则，取，
可得.
又为平面的一个法向量，
所以.
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
16．(1)分布列见解析，数学期望为；
(2)数学期望为
【分析】（1）得分可能取值为，按步骤列出分布列，计算期望即可；
（2）得分可能取值为，按步骤列出分布列，计算期望即可.
【详解】（1）设得分为，
由题意知：可能取值为，该考生每道题答对和答错的概率均为，
；；
；；
的分布列为：
.
（2）设得分为，
由题意知：可能取值为，该考生剩下3道题每道题答对和答错的概率均为，
；；
；；
的分布列为：
.
17．(1)；
(2).
【分析】（1）利用诱导公式、辅助角公式化简函数，再探讨在上的性质，画出图象，数形结合求解作答.
（2）由（1）求出B，由正弦定理求出，进而求出，再利用等腰三角形性质求解作答.
【详解】（1）依题意，
，
当时，，则当时，单调递增，函数值从增大到2，
当时，单调递减，函数值从减小到，
方程在上有2个不同的实数根，即直线与函数在的图象有两个公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数在的图象，如图，

观察图象，当时，直线与函数在的图象有两个公共点，
所以实数m的取值范围是.
（2）由（1）知，，即，
在中，，即，则，解得，

在中，，，由正弦定理得，
则，显然，有，
于是，即有，则，是等腰三角形，
所以.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意列方程组求解的值，即得答案；
（2）设的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示出直线的方程，进而求得坐标，结合化简求值，可得t的值，即可证明结论.
【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意得，
解得，
故C的方程为.
（2）证明：由题意可知直线的斜率不为0，否则将位于x轴同侧，，不合题意；
设的方程为（），代入，
得，
由，得，
设，，则，，
所以，
，
直线AM的方程为，令，得，故，
同理可求，
所以，，
由，得，
即，所以，
所以，解得，（舍），
所以直线MN的方程为，故直线MN过定点.
【点睛】难点点睛：本题考查了椭圆方程的求解以及直线过定点问题，解答此类题目的思路并不困难，设直线方程并联立椭圆方程，利用根与系数的关系结合题意进行化简即可，难点在于计算过程比较复杂，且基本都是有关字母参数的计算，计算量较大，要十分细心.
19．(1)，；
(2)；
(3)①证明见解析；②4.
【分析】（1）根据给定条件，对变量求导并求值.
（2）利用拉格朗日乘数法求出极值，再判断并求出最大值.
（3）①利用换元法，结合平方数是非负数推理即得；②利用二次函数、均值不等式求出最小值.
【详解】（1）函数，对变量求导得：，
当时，.
（2）令，
则，解得或，
于是函数在约束条件的可能极值点是，，
当时，函数的一个极值为函数，
当时，函数的一个极值为函数，
方程视为关于x的方程：，则，解得，
视为关于y的方程：，则，解得，
因此函数对应的图形是封闭的，而，
所以的最大值为.
（3）①由，，设，
则，
当且仅当时取等号，
所以.
②当时，
，当且仅当时取等号，
所以时，取得最小值4.
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
①在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、“二定”、“三相等”的条件；
②利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.