专题11.3 期中解答压轴题专项训练（30道）（沪科版）（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版）

这是一份专题11.3 期中解答压轴题专项训练（30道）（沪科版）（教师版含解析）2022年七年级数学下册举一反三系列（沪科版），共38页。试卷主要包含了[发现]通过计算，我们发现，＝6等内容，欢迎下载使用。
1．（2021春•蜀山区校级期中）[发现]通过计算，我们发现：
①32+42＞2×3×4；
②（﹣2）2+（﹣3）2＞2×（﹣2）×（﹣3）；
③（13）2+（14）2＞2×13×14；
④（﹣4）2+（﹣4）2＝2×（﹣4）×（﹣4）．
（1）[猜想]请用字母表示上面发现的规律：a2+b2 ≥ 2ab．
（2）[验证]试用你所学知识说明这个规律的正确性．
因为a2+b2﹣2ab＝（ a﹣b ）2，
又因为任何数的平方 ≥ 0，（填“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“＝”）
所以于a2+b2 ≥ 2ab．（填“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“＝”）
（3）[应用]根据发现的规律，回答：
①若xy＝5，则x2+14y2有最 小 值，这个值是 5 ．
②若a+2b＝4，且a、b均为正数，求ab的最大值．
【分析】（1）观察算式，结合问题的提示，寻找出规律；
（2）利用完全平方式是非负数的性质，展开后进行不等式的变形即可；
（3）①直接利用（1）中的规律解答即可；
②将a+2b＝4两边平方得到 a2+4b2＝16﹣4ab，利用（1）中的结论得到a2+4b2≥2×a×2b＝4ab，两式联立可得关于ab的不等式，从而得出ab的最大值．
【解答】解：（1）∵由四个式子可以看出两个不相等的数的平方和大于这两个数的乘积的2倍，当两数相等时，它们的平方和等于这两个数的乘积的2倍，
∴a2+b2≥2ab．
故答案为：≥；
（2）验证：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2
又∵（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2﹣2ab≥0．
∴a2+b2≥2ab．
故答案为：a﹣b；≥；≥；
（3）①∵x2+14y2≥2×x×12y=xy，且已知xy＝5，
∴x2+14y2≥5，
可见最小值是5．
故答案为：小；5．
②∵a+2b＝4，
∴两边平方得到：a2+4b2+4ab＝16．
即 a2+4b2＝16﹣4ab．
由（1）知：a2+4b2≥2×a×2b＝4ab，
∴16﹣4ab≥4ab，
解得：ab≤2．
∴ab的最大值是2．
2．（2021春•庐阳区校级期中）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为S1、S2．
（1）请判断S1与S2的大小：S1 ＞ S2；
（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．
①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）；
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S1的差（即S3﹣S1）是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
（3）若满足条件2021＜n≤|S1﹣S2|的整数n有且只有8个，直接写出m的值为 1015 ．
【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）根据矩形和正方形的周长和面积公式即可得到结论；
（3）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．
【解答】解：（1）图中甲长方形的面积S1＝（m+7）（m+1）＝m2+8m+7，
图中乙长方形的面积S2＝（m+4）（m+2）＝m2+6m+8，
比较：∵S1﹣S2＝2m﹣1，m为正整数，m最小为1，
∴2m﹣1≥1＞0，
∴S1＞S2；
故答案为：＞；
（2）①2（m+7+m+1）÷4＝m+4；
②S3﹣S1＝（m+4）2﹣（m2+8m+7）＝9，为常数；
（3）由（1）得，|S1﹣S2|＝|2m﹣1|，且m为正整数，2m﹣1＞0，
∴S1﹣S2＝2m﹣1，
∵2021＜n≤|S1﹣S2|，
∴2021＜n≤2m﹣1，
由题意得2029≤2m﹣1＜2030，
解得：1015≤m＜20312，
∵m为正整数，
∴m＝1015．
3．（2020春•瑶海区期中）用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞＝3，＜4＞＝5，＜﹣1.5＞＝﹣1（请注意两个不同的符号）．解决下列问题：
（1）[﹣5.5]＝ ﹣6 ，＜3.8＞＝ 4 ；
（2）若[x]＝2，则x的取值范围是 2≤x＜3 ；若＜y＞＝﹣1，则y的取值范围是 ﹣2≤y＜﹣1 ；
（3）已知x，y满足方程组[x]+2＜y＞=34[x]-3＜y＞=1求x，y的取值范围．
【分析】（1）根据题中对[a]和＜a＞的定义直接得出答案；
（2）根据题中对[a]和＜a＞的定义，反推a的值即可；
（3）先解方程组，得出[x]和＜y＞的值，再根据题中对[a]和＜a＞的定义，反推x和y的值即可．
【解答】解：（1）由题意得：[﹣5.5]＝﹣6，＜3.8＞＝4；
故答案为：﹣6，4；
（2）∵[x]＝2，
∴x的取值范围是2≤x＜3；
∵＜y＞＝﹣1，
∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；
故答案为：2≤x＜3；﹣2≤y＜﹣1；
（3）∵[x]+2＜y＞=34[x]-3＜y＞=1，
解得：[x]=1＜y＞=1，
∴x的取值范围是1≤x＜2，y的取值范围是0≤y＜1．
4．（2021春•合肥期中）为抗击疫情，全国所有人民群策群力．合肥市某公司有甲、乙两个口罩生产车间，甲车间每天生产普通口罩6万个，N95口罩2.2万个．乙车间每天生产普通口罩和N95口罩共10万个，且每天生产的普通口罩比N95口罩多6万个．
（1）求乙车间每天生产普通口罩和N95口罩各多少万个？
（2）现接到市防疫指挥部要求：需要该公司提供至少156万个普通口罩和尽可能多的N95口罩．因受原料和生产设备的影响，两个车间不能同时生产，且当天只能确保一个车间的生产，已知该公司恰好用20天完成防疫指挥部下达的任务．问：
①该公司至少安排乙车间生产多少天？
②该公司最多能提供多少个N95口罩？
【分析】（1）设乙车间每天生产N95口罩x万个，则每天生产普通口罩（x+6）万个，根据每天生产的普通口罩比N95口罩多6万个，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①设该公司应安排乙车间生产y天，则甲车间生产（20﹣y）天，根据y，（20﹣y）均为非负整数及该公司提供至少156万个普通口罩，即可得出关于y的一元一次不等式组，解之取其中的最小值即可得出结论；
②设该公司能提供w万个N95口罩，根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出w关于y的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设乙车间每天生产N95口罩x万个，则每天生产普通口罩（x+6）万个，
依题意得：x+x+6＝10，
解得：x＝2，
∴x+6＝8（万个）．
答：乙车间每天生产普通口罩8万个，N95口罩2万个．
（2）①设该公司应安排乙车间生产y天，则甲车间生产（20﹣y）天，
依题意得：y≥020-y≥08y+6(20-y)≥156，
解得：18≤y≤20．
答：该公司至少安排乙车间生产18天．
②设该公司能提供w万个N95口罩，则w＝2y+2.2（20﹣y）＝﹣0.2y+44．
∵k＝﹣0.2＜0，
∴w随y值的增大而减小，
∴当y＝18时，w取得最大值，最大值＝﹣0.2×18+44＝40.4（万个）．
答：该公司最多能提供40.4万个N95口罩．
5．（2021春•蜀山区校级期中）（阅读理解）“若x满足（70﹣x）（x﹣20）＝30，求（70﹣x）2+（x﹣20）2的值”．
解：设（70﹣x）＝a，（x﹣20）＝b，
则（70﹣x）（x﹣20）＝ab＝30，a+b＝（70﹣x）+（x﹣20）＝50，
那么（70﹣x）2+（x﹣20）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝502﹣2×30＝2440．
（解决问题）
（1）若x满足（40﹣x）（x﹣10）＝﹣10，求（40﹣x）2+（x﹣10）2的值；
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，长方形EFGD的面积是500，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积．（结果必须是一个具体的数值）．
【分析】（1）根据举例进行解答即可；
（2）设2021﹣x＝c，2020﹣x＝d，则可得c2+d2＝（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，c﹣d＝（2021﹣x）﹣（2020﹣x）＝1，所以2cd＝（c+d）﹣（c﹣d）’，可得cd＝2020，2cd＝（c2+d2）﹣（c﹣d）2＝4320，即可解答；
（3）根据正方形ABCD的边长为x，AE＝14，CG＝30，所以DE＝x﹣14，DG＝x﹣30，得到（x﹣14）（x﹣30）＝500，设x﹣14＝a，x﹣30＝b，从而得到ab＝500，a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30）＝16，根据举例求出（a+b）2，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：（1）设（40﹣x）＝m，（x﹣10）＝n，
∴（40﹣x）（x﹣10）＝mm＝﹣10，
∴m+n＝（40﹣x）+（x﹣10）＝30，
∴（40﹣x）2+（x﹣10）2，
＝m2+n2，
＝（m+n）2﹣2mm，
＝302﹣2×（﹣10）
＝920；
（2）设2021﹣x＝c，2020﹣x＝d，
∴c2+d2＝（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝4321，
∴c﹣d＝（201﹣x）﹣（2020﹣x）＝1，
∴2cd＝（c2+d2）﹣（c﹣d）2＝4320，
∴cd＝2160，
即（2021﹣x）（2020﹣x）＝2160．
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AF＝14，CG＝30，
∴DE＝x﹣14，DG＝x﹣30，
∴（x﹣14）×（x﹣30）＝500，
设x﹣14＝a，x﹣30＝b，
∴ab＝500，a﹣b＝（x﹣14）﹣（x﹣30＝16，
（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝162+4x500＝2256，
.阴影部分的面积为：2256．
6．（2021春•台儿庄区期中）观察以下等式：
（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1
（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27
（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ a2﹣ab+b2 ）＝a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x+2y）（x2﹣2xy+4y2）
【分析】（1）根据等式的规律填空即可；
（2）利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出（1）中的等式成立；
（3）利用（1）中的公式进行计算、合并即可．
【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；
故答案为：a2﹣ab+b2；
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+ba2﹣ab2+b3＝a3+b3；
（3）原式＝（x3+y3）﹣（x3+8y3）＝﹣7y3．
7．（2021秋•中原区校级期中）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“梦幻数”，将一个“梦幻数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三数，把这三个新三位数的和与111的商记为K（n），例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132＝666，666÷111＝6，所以K（123）＝6．
（1）计算：K（342）和K（658）；
（2）若x是“梦幻数”，说明：K（x）等于x的各数位上的数字之和；
（3）若x，y都是“梦幻数”，且x+y＝1000，猜想：K（x）+K（y）＝ 28 ，并说明你猜想的正确性．
【分析】（1）根据K的定义，可以直接计算出问题；（2）设x=abc，根据K的的定义，得到新的三位数分别是acb，cba，bac．它们的和是100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）＝111（a+b+c），可以得到K＝a+b+c．
（3）猜想：K（x）+K（y）＝28
【解答】解：（1）已知n＝342，所以新的三个数分别是324，243，432．它们的和为999，得到K（342）＝9；
同样n＝658，所以新的三个数分别是685，568，856．它们的和为2109，得到K（658）＝19．
（2）设x=abc，得到新的三位数分别是acb，cba，bac．它们的和是100（a+b+c）+10（a+b+c）+（a+b+c）＝111（a+b+c），可以得到K（x）＝a+b+c，即K（x）等于x的各数位上的数字之和．
（3）设x=abc，y=mnp．根据（2）的结论可以得到：K（x）+K（y）＝（a+b+c）+（m+n+p）．
∵x+y＝1000，∴100（a+m）+10（b+n）+（c+p）＝1000．
根据三位数的数字特点，可以知道必然有：c+p＝10，b+n＝9，a+m＝9．
所以K（x）+K（y）＝（a+b+c）+（m+n+p）＝28．
答案是：28．
8．（2021春•济南期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1
∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当x＝ 3 时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 3 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 1 时，y有最 大 值（填“大”或“小”），这个值是 ﹣2 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．
【分析】（1）配方后即可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可；
【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3，
∴当x＝3时，有最小值3；
故答案为3，3．
（2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝1时有最大值﹣2；
故答案为1，大，﹣2．
（3）∵﹣x2+3x+y+5＝0，
∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6，
∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6．
9．（2021春•蜀山区校级期中）方法探究：
同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单、特殊的情况入手，例如：
求（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）的值．
分别计算下列各式的值：
（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝ x2﹣1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）＝ x3﹣1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ x4﹣1 ；
…
由此可得（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ x10﹣1 ；
（2）计算：1+2+22+23+…+22020+22021＝ 22022﹣1 ；
（3）根据以上结论，计算：5+52+53+…+52020+52021．
【分析】（1）利用平方差公式计算（x﹣1）（x+1）；利用乘法公式计算（x﹣1）（x2+x+1），（x﹣1）（x3+x2+x+1），然后利用前面的计算规律写出（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）的计算结果；
（2）把原式乘以（2﹣1），然后利用（1）的规律计算；
（3）把原式乘以14（5﹣1），然后利用（1）的规律计算．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
由此可得（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x10﹣1；
（2）1+2+22+23+…+22020+22021
＝（2﹣1）（1+2+22+23+…+22020+22021）
＝22022﹣1；
故答案为x2﹣1；x3﹣1； x4﹣1；x10﹣1；22022﹣1．
（3）5+52+53+…+52020+52021＝﹣1+1+5+52+53+…+52020+52021＝﹣1+14（5﹣1）（1+5+52+53+…+52020+52021）
＝﹣1+52022-14
=52022-54．
10．（2021春•庐阳区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”其运算规则为：a⊕b＝2a-32（a+b），如1⊕5＝2×1-32（1+5）＝﹣7．
（1）若x⊕4＝0，则x＝ 12 ．
（2）若关于x的方程x⊕m＝﹣2⊕（x+4）的解为非负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可．
（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次方程，解方程后得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵a⊕b＝2a-32（a+b），
∴x⊕4＝2x-32（x+4）=12x﹣6，
∵x⊕4＝0，
∴12x﹣6＝0，
解得x＝12，
故答案为：12；
（2）∵a⊕b＝2a-32（a+b），
∴x⊕m＝2x-32（x+m）=12x-32m，﹣2⊕（x+4）＝2×（﹣2）-32（﹣2+x+4）＝﹣4+3-32x﹣6=-32x﹣7，
∴12x-32m=-32x﹣7，
解得x=34m-72，
∵关于x的方程（x⊕m）＝[﹣2⊕（x+4）]的解为非负数，
∴34m-72≥0，
∴m≥143，
∴m的取值范围为m≥143．
11．（2021春•安岳县期中）对于任意有理数x，我们用[x]表示不大于x的最大整数，则x﹣1＜[x]≤x．如：[2.7]＝2，[2018]＝2018，[﹣3.14]＝﹣4，请根据以上信息，回答下列问题
（1）填空：[7.4]＝ 7 ，[﹣5.12]＝ ﹣6 ；
（2）若[3x+2]＝﹣4，求x的取值范围；
（3）已知[3.5x+1]＝2x+12，求x的值．
【分析】（1）根据最大整数的定义即可求解；
（2）根据最大整数的定义即可得到一个关于x的不等式组，即可求得x的范围．
（3）根据新定义列出关于x的不等式组，解之求得x的范围及2x+12的范围，再根据2x+12为整数可得2x+12的值，解之可得．
【解答】解：（1）[7.4]＝7，[﹣5.12]＝﹣6，
故答案为：7、﹣6；
（2）∵x﹣1＜[x]≤x，
∴3x+2﹣1＜﹣4≤3x+2，
解得：﹣2≤x＜-53；
（3）∵x﹣1＜[x]≤x，
∴3.5x+1﹣1＜2x+12≤3.5x+1，
解得-13≤x＜13，
∴-16≤2x+12＜76，
∵2x+12为整数，
∴2x+12=0或1，
∴x=±14．
12．（2021春•宣州区期中）利用我们学过的知识，可以得出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你检验这个等式的正确性；
（2）若a＝2018，b＝2019，c＝2020，你能很快求出a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值吗？
（3）若a﹣b=35，b﹣c=35，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）等式右边利用完全平方公式展开，去括号合并得到结果与左边相同，得证；
（2）根据平方差公式、完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题；
（3）根据已知中的等式和a、b、c的值，可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）解：（1）等式右边=12a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2），
=12（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac），
＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝等式左边．
∴等式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]成立．
（2）原式=12[（2018﹣2019）2+（2019﹣2020）2+（2020﹣2018）2]＝3；
（3）a-b=35①，b﹣c=35②，
①+②，得a﹣c=65，
将优美的等式变形得：
ab+bc+ac
＝a2+b2+c2-12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
＝1-12[(35)2+(35)2+(65)2]
=1-2725
=-225．
13．（2021秋•新田县期中）接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．
（1）求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗．
（2）计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
【分析】（1）根据2辆A型冷链运输车与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500盒，且总费用小于54000元，可以列出相应的不等式组，然后根据辆数为整数和租用A型车越少，费用越低，即可得到相应的运输方案和哪种方案所需费用最少，最少费用是多少．
【解答】解：（1）设每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，
由题意可得，2x+3y=6005x+6y=1350，
解得x=150y=100，
答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗；
（2）设A型车a辆，则B型车（12﹣a）辆，
由题意可得，150a+100(12-a)≥15005000a+3000(12-a)＜54000，
解得6≤a＜9，
∵a为正整数，
∴a＝6，7，8，
∴共有三种运输方案，
方案一：A型车6辆，B型车6辆，
方案二：A型车7辆，B型车5辆，
方案三：A型车8辆，B型车4辆，
∵A型车一次需费用5000元，B型车一次需费用3000元，计划用两种冷链运输车共12辆运输这批疫苗，
∴A型车辆数越少，费用越低，
∴方案一所需费用最少，此时的费用为5000×6+3000×6＝48000（元），
答：方案一：A型车6辆，B型车6辆，方案二：A型车7辆，B型车5辆，方案三：A型车8辆，B型车4辆，其中方案一所需费用最少，最少费用是48000元．
14．（2021春•安居区期中）为了更好地保护美丽如画的安居琼江河，安居区污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对安居琼江河周边污水进行处理．每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知1台A型污水处理设备和2台B型污水处理设备每周可以处理污水640t，2台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1080t．
（1）求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨．
（2）经预算，安居区污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500t，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少，最少是多少？
【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可；
（2）根据题意，列不等式组，求不等式组的解集，然后取正整数确定购买方案，再求出最小值．
【解答】解：（1）设每周每台A，B两种污水处理设备分别可以处理污水x吨和y吨，
根据题意，得x+2y=6402x+3y=1080，
解得x=240y=200，
∴每周每台A种污水设备处理污水240吨，B种污水设备处理污水200吨；
（2）设购买A中污水设备a台，则购买B种污水设备（20﹣a）台，
根据题意，得12a+10(20-a)≤230240a+200(20-a)≥4500，
解不等式组，得252≤a≤15，
∴当a＝13时，A买13台，B买7台；
当a＝14时，A买14台，B买6台；
当a＝15时，A买15台，B买5台．
∵每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元，
∴A买的越少，资金越少，
∴A买13台，B买7台需要的资金最少，
最小值为13×12+7×10＝226万元．
15．（2021春•卧龙区期中）如果一个一元一次方程的解是某个一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”
（1）已知方程：①x﹣（3x+1）＝﹣5，②2x3+1＝0，③3x﹣1＝0，其中是不等式组-x+2＞x-513x-1＞-x+2的“关联方程”的是 ① （只填序号）；
（2）若不等式组x-2＜11+x＞-x+2的某个“关联方程”的解是整数，写出一个这样的“关联方程” 3x﹣3＝0（答案不唯一） ；
（3）若方程12-12x=12x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2＜m的“关联方程”，求m的取值范围．
【分析】（1）求出三个方程的解，并解不等式组求出其解集，从而得出答案；
（2）解不等式组求出其解集，继而得出答案；
（3）先求出方程的解和不等式组的解集，根据关联方程的概念得到关于m的不等式组，解之即可得出答案．
【解答】解：（1）解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，
解方程2x3+1＝0得：x=-32，
解方程3x﹣1＝0得：x=13，
解不等式组-x+2＞x-513x-1＞-x+2得：314＜x＜72，
所以不等式组-x+2＞x-513x-1＞-x+2的“关联方程”的是①，
故答案为：①；
（2）解不等式x﹣2＜1，得：x＜3，
解不等式1+x＞﹣x+2，得：x＞12，
∴不等式组的解集为12＜x＜3，
∴此不等式组的关联方程可以为3x﹣3＝0，
故答案为：3x﹣3＝0（答案不唯一）；
（3）解方程12-12x=12x，得：x=12，
解方程3+x＝2（x+12），得：x＝2，
解不等式x＜2x﹣m，得：x＞m，
解不等式x﹣2＜m，得：x＜m+2，
则不等式组的解集为m＜x＜m+2，
根据题意知m＜12且m+2＞2，
解得0＜m＜12．
16．（2021春•延庆区期中）阅读下面材料：
小明在数学课外小组活动时遇到这样一个问题：
如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫做绝对值不等式，求绝对值不等式|x|＞3的解集．
小明同学的思路如下：
先根据绝对值的定义，求出|x|恰好是3时x的值，并在数轴上表示为点A，B，如图所示．观察数轴发现，以点A，B为分界点把数轴分为三部分：
点A左边的点表示的数的绝对值大于3；
点A，B之间的点表示的数的绝对值小于3；
点B右边的点表示的数的绝对值大于3．
因此，小明得出结论绝对值不等式|x|＞3的解集为：x＜﹣3或x＞3．
参照小明的思路，解决下列问题：
（1）请你直接写出下列绝对值不等式的解集．
①|x|＞2的解集是 x＜﹣2或x＞2 ．
②|x|＜5的解集是 ﹣5＜x＜5 ．
（2）求绝对值不等式2|x﹣2.5|+4＜6的解集．
（3）如果（2）中的绝对值不等式的整数解，都是关于x的不等式组x＜2x-mx-2≤m的解，求m的取值范围．
（4）直接写出不等式x2＞16的解集是 x＜﹣4或x＞4 ．
【分析】（1）根据阅读材料即可求出绝对值不等式①|x|＞2的解集，②|x|＜5的解集；
（2）结合（1）和阅读材料即可求出绝对值不等式2|x﹣2.5|+4＜6的解集；
（3）求得不等式的解集为m＜x≤m+2，由于（2）的整数解是2和3，即可得出m＜2m+2≥3，解得1≤m＜2；
（4）结合（1）（2）的思想即可求出不等式x2＞16的解集．
【解答】解：（1）根据阅读材料可知：
①|x|＞2的解集是x＜﹣2或x＞2；
②|x|＜5的解集是﹣5＜x＜5．
故答案为：x＜﹣2或x＞2；﹣5＜x＜5．
（2）2|x﹣2.5|+4＜6，
2|x﹣2.5|＜2，
|x﹣2.5|＜1，
∴﹣1＜x﹣2.5＜1，
∴﹣1.5＜x＜3.5；
（3）x＜2x-m①x-2≤m②
解不等式①，得x＞m．
解不等式②，得x≤m+2．
∴不等式组的解集为m＜x≤m+2．
由于（2）的整数解是2和3，
∴m＜2m+2≥3，
所以，m的取值范围是1≤m＜2；
（4）x2＞16，
解得x＜﹣4或x＞4．
故答案为：x＜﹣4或x＞4．
17．（2021春•普宁市期中）今年1月，N市地铁价格实行消费累计优惠．普通成人每月持卡乘坐地铁，当消费累计金额不超过150元时，每次乘坐地铁的票价打95折；当消费累计金额超过150元时，达到规定的消费累计金额后的乘次，票价所打折扣如表所示：
小明上、下班每次乘坐的地铁单程票价为10元，今年3月份他上、下班持卡共乘坐了40次．
（1）请根据以上信息填表：
（2）小明当月第几次乘车后，消费累计金额超过200元？（用一元一次不等式解决问题）
（3）小明3月份上、下班持卡乘坐地铁的消费累计金额为多少元？
【分析】（1）利用消费累计金额＝152+单程票价×0.9，即可求出结论；
（2）设小明当月第x次乘车后，消费累计金额超过200元，利用消费累计金额＝152+单程票价×0.9×（乘车次数﹣16），结合消费累计金额超过200元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论；
（3）设小明当月第y次乘车后，消费累计金额不超过300元，利用消费累计金额＝152+单程票价×0.9×（22﹣16）+单程票价×0.9×（乘车次数﹣22），结合消费累计金额不超过300元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可求出y的取值范围，结合y为整数及累计消费超过300元时票价打7.5折，即可求出小明4月份上、下班持卡乘坐地铁的消费累计金额．
【解答】解：（1）152+10×0.9
＝152+9
＝161（元）．
故答案为：161．
（2）设小明当月第x次乘车后，消费累计金额超过200元，
依题意得：152+10×0.9（x﹣16）＞200，
解得：x＞2113，
∵x为整数，
∴x的最小值为22．
答：小明当月第22次乘车后，消费累计金额超过200元．
（3）设小明当月第y次乘车后，消费累计金额不超过300元，
依题意得：152+10×0.9×（22﹣16）+10×0.8（y﹣22）≤300，
解得：y≤3334，
∵y为整数，
∴y的最大值为33，
∴152+10×0.9×（22﹣16）+10×0.8×（33+1﹣22）+10×0.75×（40﹣33﹣1）＝347（元）．
答：小明4月份上、下班持卡乘坐地铁的消费累计金额为347元．
18．（2021春•诸城市期中）某电器超市销售A、B两种型号的电风扇，A型号每台进价为200元，B型号每台进价为150元，下表是近两天的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）
（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于4800元的金额再采购这两种型号的电风扇共26台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这26台电风扇能否实现利润不少于940元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【分析】（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，利用总价＝单价×数量，结合表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（26﹣a）台，利用总价＝单价×数量，结合总价不多于4800元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
（3）利用总利润＝每台的销售利润×销售数量，结合总利润不少于940元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，结合（2）的结论即可得出16≤a≤18，再结合a为整数，即可得出各采购方案．
【解答】解：（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，
依题意得：2x+3y=10205x+6y=2280，
解得：x=240y=180．
答：A种型号电风扇的销售单价为240元，B种型号电风扇的销售单价为180元．
（2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（26﹣a）台，
依题意得：200a+150（26﹣a）≤4800，
解得：a≤18．
答：A种型号的电风扇最多能采购18台．
（3）依题意得：（240﹣200）a+（180﹣150）（26﹣a）≥940，
解得：a≥16，
∵a≤18，
∴16≤a≤18．
∵a为整数，
∴a可以为16，17，18，
∴共有三种采购方案，
方案1：采购A种型号电风扇16台，B种型号电风扇10台；
方案2：采购A种型号电风扇17台，B种型号电风扇9台；
方案3：采购A种型号电风扇18台，B种型号电风扇8台．
19．（2021春•朝阳区校级期中）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．
问题：在关于x，y的二元一次方程组x-y=2x+y=a中，x＞1，y＜0，求a的取值范围．
分析：在关于x、y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据x＞1，y＜0列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围．
解：由x-y=2x+y=a解得x=a+22y=a-22，又因为x＞1，y＜0，所以a+22＞1a-22＜0解得 0＜a＜2 ．
（2）请你按照上述方法，完成下列问题：
①已知x﹣y＝4，且x＞3，y＜1，求x+y的取值范围；
②已知a﹣b＝m，在关于x，y的二元一次方程组2x-y=-1x+2y=5a-8中，x＜0，y＞0，请直接写出a+b的取值范围 3﹣m＜a+b＜4﹣m （结果用含m的式子表示）．
【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；
（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；
②解方程组2x-y=-1x+2y=5a-8得：x=a-2y=2a-3，根据x＜0，y＞0可得1.5＜a＜2，进一步得到a+b的取值范围．
【解答】解：（1）a+22＞1①a-22＜0②，
∵解不等式①得：a＞0，
解不等式②得：a＜2，
∴不等式组的解集为0＜a＜2，
故答案为：0＜a＜2；
（2）①设x+y＝a，则x-y=4x+y=a，
解得：x=a+42y=a-42，
∵x＞3，y＜1，
∴a+32＞3a-42＜1，
解得：2＜a＜6，
即2＜x+y＜6；
②解方程组2x-y=-1x+2y=5a-8得：x=a-2y=2a-3，
∵x＜0，y＞0，
∴a-2＜02a-3＞0，
解得：1.5＜a＜2，
∵a﹣b＝m，
∴b＝a﹣m，a+b＝a+a﹣m，
∵1.5＜a＜2，
∴3﹣m＜a+a﹣m＜4﹣m，
∴3﹣m＜a+b＜4﹣m．
故答案为：3﹣m＜a+b＜4﹣m．
20．（2022•重庆期中）阅读理解：
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b，
则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
迁移应用：
（1）若x满足（2020﹣x）2+（x﹣2022）2＝10，求（2020﹣x）（x﹣2022）的值；
（2）如图，点E，G分别是正方形ABCD的边AD、AB上的点，满足DE＝k，BG＝k+1（k为常数，且k＞0），长方形AEFG的面积是2116，分别以GF、AG作正方形GFIH和正方形AGJK，求阴影部分的面积．
【分析】（1）利用题干中所给的方法解答即可；
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，可得AE﹣AG＝1，AE•AG=2116；利用题干中的方法可求得AE+AG，利用阴影部分的面积等于正方形GFIH与正方形AGJK的面积之差即可求得结论．
【解答】解：（1）设a＝2020﹣x，b＝x﹣2022，则：
a+b＝﹣2，a2+b2＝10．
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴10+2ab＝（﹣2）2．
∴ab＝﹣3．
∴（2020﹣x）（x﹣2022）＝﹣3．
（2）设正方形ABCD的边长为x，则AE＝x﹣k，AG＝x﹣k﹣1，
∴AE﹣AG＝1．
∵长方形AEFG的面积是2116，
∴AE•AG=2116．
∵（AE﹣AG）2＝AE2﹣2AE•AG+AG2，
∴AE2+AG2＝1+218=298．
∵（AE+AG）2＝AE2+2AE•AG+AG2，
∴（AE+AG）2=298+218，
∴AE+AG=52．
∴S阴影部分＝S正方形GFIH﹣S正方形AGJK
＝AE2﹣AG2
＝（AE+AG）（AE﹣AG）
=52×1
=52．
21．（2021秋•渑池县期中）阅读下列文字：
我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长为a、b的长方形纸片．请解答下列问题：
（1）图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到（a+b）（a+2b）＝ a2+3ab+2b2 ；
（2）请写出图3中所表示的数学等式： （a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b ；
（3）请按要求利用所给的纸片在图4的方框中拼出一个长方形，要求所拼出图形的面积为（2a+b）（a+b），进而可以得到等式：（2a+b）（a+b）＝ 2a2+3ab+b2 ；
（4）利用（3）中得到的结论，解决下面的问题：若4a2+6ab+2b2＝5，a+b=12，求2a+b的值．
【分析】（1）利用长方形的面积各部分求和法可得结果；
（2）长方形面积分别整体法和各部分求和法可得结果；
（3）利用长方形的面积各部分求和法可得结果；
（4）根据（3）题结果（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，可得4a2+6ab+2b2＝2（2a+b）（a+b），从而将a+b=12代入可求得结果．
【解答】解：（1）∵该长方形的面积用部分求和法表示为：a2+3ab+2b2，
故答案为：a2+3ab+2b2；
（2）∵该长方形的面积为：（a+b）（3a+b），用部分求和法表示为：3a2+4ab+b2，
故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2；
（3）如图，
该长方形的面积部分求和法表示为：2a2+3ab+b2，
故答案为：2a2+3ab+b2；
（4）由（3）题可得，（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，
∴2a+b＝（2a2+3ab+b2）÷（a+b）
∵4a2+6ab+2b2
＝2（2a2+3ab+b2）
＝2（2a+b）（a+b）
＝5
∴（2a+b）（a+b）
＝（2a2+3ab+b2）
=52，
∴当a+b=12时，
2a+b
＝（2a2+3ab+b2）÷（a+b）
=52÷12
＝5．
22．（2021春•乳山市期中）【材料阅读】
有些等式可以用图形的面积来表示．
如图①，可得等式：（m+2n）（m+n）＝m2+3mn+2n2．
【问题解决】
（1）如图②，是将一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线分成四个完全相同的小长方形，然后再拼成一个中空的大正方形．用等式表示（m+n）2，（m﹣n）2，mn三者间的等量关系： （m﹣n）2+4mn＝（m+n）2 ．
（2）利用（1）中的等量关系，直接写结果：
若x+y＝7，xy＝10，则x﹣y＝ ±3 ．
【拓广应用】
（3）如图③，小明用8个完全相同的长方形（长为a，宽为b），拼出了甲、乙两种图案．甲图案是大正方形，且中间是边长为2的小正方形，乙图案是大长方形．
求（a+2b）2﹣8ab的值．
【分析】（1）由图中小正方形面积加上四个小长方形的面积等于大正方形的面积，分别表示出面积即可求解；
（2）整体代入（1）中的式子即可求解；
（3）（a+2b）2为甲图案中大正方形的面积，8ab为8个小长方形的面积，相减即为甲图案中间小正方形的面积，即可求解，
【解答】解：（1）由题意可得：
大正方形的面积为：（m+n）2；
小正方形的面积为：（m﹣n）2；
小长方形的面积为：ab，
∵小正方形面积加上四个小长方形的面积等于大正方形的面积，
∴（m﹣n）2+4mn＝（m+n）2，
故答案为：（m﹣n）2+4mn＝（m+n）2；
（2）∵（m﹣n）2+4mn＝（m+n）2，
∴（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2，
当x+y＝7，xy＝10时，
（x﹣y）2＝（m+n）2﹣4xy＝72﹣4×10＝9，
∴x﹣y＝±3，
故答案为：±3；
（3）由乙图案可得每个小长方形的面积为：ab，
由甲图案可得大正方形的面积为：（a+2b）2，
∴甲图案中小正方形的面积为：（a+2b）2﹣8ab，
∵小正方形的边长为2，
∴小正方形的面积为：2×2＝4，
∴（a+2b）2﹣8ab＝4．
23．（2021春•驿城区校级期中）我们常利用数形结合思想探索了整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索：
（1）在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为 a3﹣b3 ．
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，因为BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，所以长方体①的体积为ab（a﹣b），类似地，长方体②的体积为 b2（a﹣b） ，长方体③的体积为 a2（a﹣b） ；（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积的式子相加，并将得到的多项式分解因式，结果为 （a﹣b）（a2+ab+b2） ．
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为 a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） ．
（5）已知a﹣b＝4，ab＝2，求a3﹣b3的值．
【分析】（1）用棱长为a的大正方体的体积减去棱长为b的小正方体的体积即可；
（2）利用长方体的计算公式解答即可；
（3）将表示长方体①、②、③的体积的式子相加，并将得到的多项式分解因式即可；
（4）利用（1）和（3）的结论解答即可；
（5）利用（4）的等式解答即可．
【解答】解：（1）大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，则得到的几何体的体积为：
a3﹣b3．
故答案为：a3﹣b3；
（2）∵DO＝b，DM＝a﹣b，DE＝b，
∴长方体②的体积为：b2（a﹣b）．
∵FN＝a，NH＝a﹣b，NJ＝a，
∴长方体③的体积为：a2（a﹣b）．
故答案为：b2（a﹣b）；a2（a﹣b）；
（3）将表示长方体①、②、③的体积的式子相加得：
ab（a﹣b）+b2（a﹣b）+a2（a﹣b）
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（4）∵（1）的结论和（3）的结论都表示大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体后得到的几何体的体积，
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．
故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）；
（5）∵a﹣b＝4，
∴（a﹣b）2＝16．
∴a2﹣2ab+b2＝16．
∵ab＝2，
∴a2+b2＝16+4+20．
∴a3﹣b3
＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
＝4×（20+2）
＝4×22
＝88．
24．（2021春•溧阳市期中）分组分解是因式分解的一种复杂的方法，让我们来学习这个知识．能分组分解的多项式有四项或六项或大于六项．以四项为例，常规的分组分解有两种形式：二二分法或三一分法，例如：
二二分法：ax+ay+bx+by＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（a+b）（x+y），我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，逆用乘法分配律，两两相配，再提取公因式（x+y），这种方法叫做分组后提公因式法：
三一分法：x2﹣2xy+y2﹣1＝（x2﹣2xy+y2）﹣1＝（x﹣y）2﹣12＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）我们把有公式形式的分成一组，两次利用公式将该多项式分解因式，这种方法叫做分组后应用公式法．有时，我们可以综合利用这两种方法，对多项式进行分组分解因式分解．
请你利用上面所学方法将下列多项式分解因式：
（1）2x2﹣3xy+2x﹣3y．
（2）2xy﹣x2﹣y2+25．
（3）18a2﹣18a﹣32b2+24b．
【分析】（1）利用“二二分法”，提取公因式，再提取公因式，即可完成对多项式的分解因式；
（2）利用“三一分法”，前三项分为一组，第四项为一组，先运用完全平方公式，再利用平方差公式，即可完成对多项式的分解因式；
（3）先提取公因式2，再利用“二二分法”进行分组，运用平方差公式、提取公因式法，即可完成对多项式的分解因式．
【解答】解：（1）2x2﹣3xy+2x﹣3y
＝（2x2+2x）+（﹣3xy﹣3y）
＝2x（x+1）﹣3y（x+1）
＝（x+1）（2x﹣3y）；
（2）2xy﹣x2﹣y2+25
＝2xy﹣x2﹣y2+25
＝25﹣（x﹣y）2
＝[5+（x﹣y）][5﹣（x﹣y）]
＝（5+x﹣y）（5﹣x+y）；
（3）18a2﹣18a﹣32b2+24b
＝2（9a2﹣16b2﹣9a+12b）
＝2[（9a2﹣16b2）﹣（9a﹣12b）]
＝2[（3a+4b）（3a﹣4b）﹣3（3a﹣4b）]
＝2（3a﹣4b）[（3a+4b）﹣3]
＝2（3a﹣4b）（3a+4b﹣3）．
25．（2021春•交城县期中）数学课上老师提了这样一个问题让大家思考：你能写出2的小数部分吗？经过合作交流，小明用2-1来表示2的小数部分．他展示的正确理由如下：“大家知道，2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，但是因为2的整数部分是1，用2减去其整数部分，差就是小数部分．”按照小明的思路，因为4＜7＜9，即2＜7＜3，所以7的整数部分为2，小数部分就为7-2．
请回答下列问题：
（1）83的整数部分为 9 ；小数部分为 83-9 ．
（2）小丽同学说，如果85的整数部分为x，97的小数部分为y，则x+y=97，你认为正确吗？为什么？
（3）如果35的整数部分为a，35的小数部分为b，求a-2b+235的值．
【分析】（1）先估算出83的范围，再求出整数部分和小数部分即可；
（2）先估算出85的范围，再求出x、y的值，再进行判断即可；
（3）先估算出35的范围，再求出a、b的值，再求出代数式的值即可．
【解答】解：（1）∵81＜83＜100，
∴9＜83＜10，
∴83的整数部分是9，小数部分是83-9，
故答案为：9 83-9；
（2）小丽的说法正确，
∵81＜85＜100，
∴9＜85＜10，
∵85的整数部分为x，97的小数部分为y，
∴x＝9，y=85-9，
∴x+y=9+97-9=97；
（3）∵25＜35＜36，
∴5＜35＜6，
∵35的整数部分为a，35的小数部分为b，
∴a=5，b=35-5，
∴a-2b+235=5-2(35-5)+235=15．…
∴a﹣2b+235
＝5﹣2×（35-5）+235
＝5﹣235+10+235
＝15．
26．（2021春•会昌县期中）对于实数a，我们规定：用符号【a】表示不大于a的最大整数，称【a】为a的根整数，例如：【9】＝3，【10】＝3．
（1）计算【4】＝ 2 ，【37】＝ 6 ；
（2）若【x】＝1，则满足题意的x的所有整数值为 1，2，3 ；
（3）如图所示，数轴上表示1和2的对应点分别为A、B，点A是BC的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求【|x﹣1|+1﹣22】的值．
【分析】（1）根据符号【a】表示不大于a的最大整数，即可解答；
（2）根据【1】＝1，【4】＝2，即可解答；
（3）根据数轴上两点间距离求出x的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：（1）【4】＝2，【37】＝6，
故答案为：2，6；
（2）因为【1】＝1，【4】＝2，
，若【x】＝1，则满足题意的x的所有整数值为：1，2，3，
故答案为：1，2，3；
（3）∵点A是BC的中点，
∴AC＝BA，
∴1﹣x=2-1，
∴x＝2-2，
∴【|x﹣1|+1﹣22】
＝【|2-2-1|+1﹣22】
＝【|1-2|+1﹣22】
＝【2-1+1﹣22】
＝【-2】
＝﹣2，
∴【|x﹣1|+1﹣22】的值为：﹣2．
27．（2021春•金湖县期中）对于三个数a，b，c，M{a，b，c}表示a，b，c这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a，b，c这三个数中最小的数，如：
M{-1，2，3}=-1+2+33=43，min{﹣1，2，3}＝﹣1；
M{-1，2，a}=-1+2+a3=a+13，min{﹣1，2，a}=a(a≤-1)-1a＞-1；
解决下列问题：
（1）填空：min{﹣22，2﹣2，20130}＝ ﹣4 ；
（2）若min{2，2x+2，4﹣2x}＝2，求x的取值范围；
（3）①若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，那么x＝ 1 ；
②根据①，你发现结论“若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则 a＝b＝c ”（填a，b，c的大小关系）；
③运用②解决问题：
若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}＝min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，求x+y的值．
【分析】（1）先求出﹣22，2﹣2，20130这些数的值，再根据运算规则即可得出答案；
（2）先根据运算规则列出不等式组，再进行求解即可得出答案；
（3）根据题中规定的M{a、b、c}表示这三个数的平均数，min{a、b、c}表示a、b、c这三个数中的最小数，列出方程组即可求解．
【解答】解：（1）∵﹣22，＝﹣4，2﹣2=14，20130＝1，
∴min{﹣22，2﹣2，20130}＝﹣4；
故答案为：﹣4；
（2）由题意得：2x+2≥24-2x≥2，
解得：0≤x≤1，
则x的取值范围是0≤x≤1；
（3）①M{2，x+1，2x}=2+x+1+2x3=x+1＝min{2，x+1，2x}，
∴x+1≤2x+1≤2x，
∴x≤1x≥1，
∴x＝1．
②若M{a，b，c}＝min{a，b，c}，则a＝b＝c；
③根据②得：2x+y+2＝x+2y＝2x﹣y，
解得：x＝﹣3，y＝﹣1，
则x+y＝﹣4．
故答案为：1，a＝b＝c．
28．（2021秋•西湖区校级期中）某厨具店购进A型和B型两种电饭煲进行销售，其进价与售价如表：
（1）一季度，厨具店购进这两种电饭煲共30台，用去了5600元，问该厨具店购进A，B型电饭煲各多少台？
（2）为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过9560元的资金采购两种电饭煲共50台，且A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲数量，问厨具店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，全部售完，请你通过计算判断，哪种进货方案厨具店利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）设该厨具店购进A型电饭煲x台，B型电饭煲y台，根据“厨具店购进这两种电饭煲共30台，用去了5600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出该厨具店购进A，B型电饭煲的数量；
（2）设购进A型电饭煲m台，则购进B型电饭煲（50﹣m）台，根据“总价不超过9560元，且购进A型电饭煲的数量不少于B型电饭煲数量”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
（3）利用总利润＝每台的利润×销售数量（进货数量），即可求出分别选择各方案可获得的利润，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该厨具店购进A型电饭煲x台，B型电饭煲y台，
依题意得：x+y=30200x+180y=5600，
解得：x=10y=20．
答：该厨具店购进A型电饭煲10台，B型电饭煲20台．
（2）设购进A型电饭煲m台，则购进B型电饭煲（50﹣m）台，
依题意得：m≥50-m200m+180(50-m)≤9560，
解得：25≤m≤28，
又∵m为正整数，
∴m可以为25，26，27，28，
∴厨具店共有4种进货方案，
方案1：购进A型电饭煲25台，B型电饭煲25台；
方案2：购进A型电饭煲26台，B型电饭煲24台；
方案3：购进A型电饭煲27台，B型电饭煲23台；
方案4：购进A型电饭煲28台，B型电饭煲22台．
（3）进货方案1可获得的利润为（300﹣200）×25+（260﹣180）×25＝4500（元），
进货方案2可获得的利润为（300﹣200）×26+（260﹣180）×24＝4520（元），
进货方案3可获得的利润为（300﹣200）×27+（260﹣180）×23＝4540（元），
进货方案4可获得的利润为（300﹣200）×28+（260﹣180）×22＝4560（元）．
∵4500＜4520＜4540＜4560，
∴选择进货方案4厨具店利润最大，最大利润为4560元．
29．（2020秋•未央区期中）若含根号的式子a+bx可以写成式子m+nx的平方（其中a，b，m，n都是整数，x是正整数），即a+bx=（m+nx）2，则称a+bx为子母根式，m+nx为a+bx的子母平方根，例如，因为3+22=（1+2）2，所以1+2是3+22的子母平方根．
（1）已知2+3是a+b3的子母平方根，则a＝ 7 ，b＝ 4 ．
（2）若m+n6是a+b6的子母平方根，用含m，n的式子分别表示a，b．
（3）已知21﹣123是子母根式，直接写出它的一个子母平方根．
【分析】（1）由（2+3）2＝a+b3，即7+43=a+b3，从而得出答案；
（2）由（m+n6）2＝a+b6，即（m2+6n2）+2mn6=a+b6，从而得出答案；
（3）由21﹣123=32﹣2×23×3+（23）2＝（3﹣23）2，根据子母平方根的定义可得答案．
【解答】解：（1）根据题意知（2+3）2＝a+b3，
∴4+43+3＝a+b3，即7+43=a+b3，
∴a＝7，b＝4，
故答案为：7，4；
（2）根据题意知（m+n6）2＝a+b6，
则m2+2mn6+6n2＝a+b6，即（m2+6n2）+2mn6=a+b6，
∴a＝m2+6n2，b＝2mn；
（3）∵21﹣123=32﹣2×23×3+（23）2＝（3﹣23）2，
∴3﹣23是21﹣123的子母根式．
30．（2021秋•高港区期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 2 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与数 ﹣2-3 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 ﹣5和3 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 198或72或378 ．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB＝8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝9，a=94，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
【解答】解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，
则折痕表示的点为﹣1，
①设3表示的点与数a表示的点重合，
则3-（﹣1）＝﹣1﹣a，
a＝﹣2-3；
②∵数轴上A、B两点之间距离为8，
∴数轴上A、B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A、B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2-3，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=94，BC=94，CD=92，
x＝﹣1+94+98=198，
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=94，BC=92，CD=94，
x＝﹣1+94+94=72，
如图3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
a+a+2a＝9，
a=94，
∴AB=92，BC＝CD=94，
x＝﹣1+92+98=378，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是198或72或378．
故答案为：198或72或378．
消费累计金额x（元）
折扣
150＜x≤200
9折
200＜x≤300
8折
x＞300
7.5折
第1次
第2次
…
第15次
第16次
第17次
…
消费累计金额（元）
9.5
19
…
142.5
152
161
…
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一天
2台
3台
1020元
第二天
5台
6台
2280元
进价（元/台）
售价（元/台）
A型
200
300
B型
180
260