2022-2023学年江苏省南通市如东实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省南通市如东实验中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A. y=8xB. y=8xC. y=5x+1D. y=x2+2x
2.已知正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y=kx−k的图象大致是( )
A. B. C. D.
3.王老师为了了解本班学生每周课外阅读时间，抽取了10名同学进行调查，调查结果统计如下：
那么这组数据的中位数和众数分别是( )
A. 4，4B. 5，4C. 5，5D. 都无法确定
4.在下列各数中，不是勾股数的是( )
A. 5，12，13B. 8，12，15C. 8，15，17D. 9，40，41
5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为( )
A. 78
B. 3
C. 254
D. 258
6.依次连接矩形各边中点所得到的四边形是( )
A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形
7.如图，▱ABCD中，∠DAB的平分线AE交CD于E，AB=5，BC=3，则EC的长( )
A. 1B. l.5C. 2D. 3
8.A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中l1和l2分别表示甲、乙两人所走路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系．下列说法错误的是( )
A. 乙晚出发1小时B. 乙出发3小时后追上甲
C. 甲的速度是4千米/小时D. 乙先到达B地
9.已知一次函数y1=kx+1和y2=x−2.当x<1时，y1>y2，则k的值可以是( )
A. −3B. −1C. 2D. 4
10.如图，矩形ABCD中，AB=9，BC=12，点F在CD上，且DF=5，E是BC边上的一动点，M，N分别是AE、EF的中点，则在点E从B向C运动的过程中，线段MN所扫过的图形面积是( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
二、填空题：本题共8小题，共30分。
11.某校规定学生的数学成绩由三部分组成，期末考试成绩占70%，期中成绩占20%，平时作业成绩占10%，某人上述三项成绩分别为85分，90分，80分，则他的数学成绩是______．
12.计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：S2=18[(x1−3)2+(x2−3)2+⋅⋅⋅+(x8−3)2]，则这组数据的平均数是______．
13.点P(a,b)在函数y=3x+2的图象上，则代数式3a−b+1的值等于______．
14.如图，在平面直角坐标系中，点A(3,m)在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线y=−x+1上，则m的值为______．
15.菱形的对角线长分别为6cm和8cm，则该菱形的面积等于______cm2．
16.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是边CD的中点，以AE为边在AE的右侧作正方形AEFG，则点D与点F之间的距离为______．
17.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(a,b)，点P的“变换点”P′的坐标定义如下：当a≥b时，P′点坐标为(a,−b)；当a18.如图，在边长为2的等边△ABC中，射线BD⊥AC于点D，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接CF、CG，则CF+CG的最小值为______．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB=DC，点E，F对角线AC上，且AE=CF.连接BE，DF，若BE=DF．
证明：四边形ABCD是平行四边形．
20.(本小题10分)
如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC.经测得AB=9cm，BC=12cm，CD=8cm，AD=17cm．
(1)求A、C两点之间的距离．
(2)求这张纸片的面积．
21.(本小题10分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴交于点A，与一次函数y=2x−3的图象交于点B(m,1)，且OA=4．
(1)求k，b的值；
(2)求一次函数y=kx+b，y=2x−3的图象与x轴所围成的三角形的面积．
22.(本小题10分)
某中学九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的均分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程．
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表：
小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式，计算过程如下：
S乙2=15[(26−28)2+(28−28)2+(27−28)2+(29−28)2+(30−28)2]=2(分 ​2)
根据上述信息，完成下列问题：
(1)a的值是______；
(2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由；
(3)如果甲再测试1次，第六次模拟测试成绩为28分，与前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差将______.(填“变大”“变小”或“不变”)
23.(本小题12分)
某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二某班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售．已知制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元．已知A、B两款挂件的售价如下表：
(1)求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？
(2)若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w(元)与m(人)之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？
24.(本小题12分)
如图1，甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达C地后因有事按原路原速返回A地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图2，结合图象信息解答下列问题：
(1)乙车的速度是______千米/时，乙车行驶的时间t=______小时；
(2)求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式；
(3)直接写出甲车出发多长时间两车相距80千米．
25.(本小题14分)
△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：______．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：______；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若已知AB=2 2，CD=14BC，请求出GE的长．
26.(本小题14分)
定义：在平面直角坐标系中，点M(x1,y1)，N(x2,y2)，若x1−x2=y1−y2，则称点M，N互为正等距点，
|y1−y2|叫做点M，N的正等距．特别地，一个点与它本身互为正等距点，且正等距为0.例如，点(−2,3)，(1,6)互为正等距点，两点的正等距为3.在平面直角坐标系xOy中，A(1,2)，B(m,n)，A，B互为正等距点．
(1)当m=−1时，求n的值；
(2)若点B在直线y=kx上，且A，B两点的正等距等于3，求k的值；
(3)若S△AOB=3，求点B的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、y=8x，y是x的正比例函数，故A符合题意；
B、y=8x，y是x的反比例函数，故B不符合题意；
C、y=5x+1，y是x的一次函数，故C不符合题意；
D、y=x2+2x，y是x的二次函数，故D不符合题意；
故选：A．
根据正比例函数的定义，即可判断．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴−k>0，
∴一次函数y=kx−k的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
根据正比例函数的增减性可知k<0，进一步可知一次函数y=kx−k的图象经过的象限，即可确定．
本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵一共抽取10名同学，
∴a+b=10−2−4−1=3，
∴这组数据中5出现次数最多，有4次，
∴众数为5，
中位数是第5、6个数据的平均数，而第5、6个数据均为5，
∴这组数据的中位数为5+52=5，
故选：C．
先根据数据的总个数得出a+b=3，再利用众数和中位数的定义求解即可．
此题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4.【答案】B
【解析】解：A.52+122=132，三边是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B.82+122≠152，不是勾股数，此选项符合题意；
C.82+152=172，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
D.92+402=412，能构成直角三角形，三边是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
故选：B．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
5.【答案】D
【解析】解：由折叠可得AE=BE，
设AE=BE=x，则CE=4−x，
在Rt△BCE中，BE2=CE2+BC2，
即x2=(4−x)2+32，
解得x=258，
故选：D．
在Rt△BCE中，由BE2=CE2+BC2，得到x2=(4−x)2+32，即可求解．
本题考查的是翻折变换(折叠问题)和勾股定理，明确AE=BE是本题解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：连接BD，AC．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=12AC，GH=12AC，FG=12BD，EH=12BD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形，
故选：B．
根据菱形的性质得到AC=BD，根据三角形中位线定理、菱形的判定定理解答即可．
本题考查的是菱形的判定、三角形中位线定理和矩形的性质，证明此题的关键是正确利用三角形中位线定理进行证明．
7.【答案】C
【解析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键．
根据平行四边形的性质得出AD=BC=3，CD=AB=5，CD/​/AB，求出∠DEA=∠EAB，则根据角平分线的性质求出∠DEA=∠DAE，得出DE=AD=3，即可求出答案．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，BC=3，AB=5，
∴AD=BC=3，CD=AB=5，CD/​/AB，
∴∠DEA=∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DE=AD=3，
∴EC=CD−DE=5−3=2，
故选C．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】
解：由图象可得，
乙晚出发1小时，故选项A正确；
乙出发3−1=2小时追上甲，故选项B错误；
甲的速度是12÷3=4(千米/小时)，故选项C正确；
则甲到达B地用的时间为：20÷4=5(小时)，
乙的速度为：12÷(3−1)=6(千米/小时)
乙到达B地用的时间为：20÷6=103(小时)，1+103=133，
∵133<5，乙先到达B地，故选项D正确；
故选：B．
9.【答案】B
【解析】解：把x=1代入y2=x−2得，y=−1，
把x=1，y=−1代入y1=kx+1得−1=k+1，解得k=−2，
由一次函数y2=x−2可知，y随x的增大而增大，
∵当x<1时，y1>y2，
∴−2≤k<0或0故选：B．
把x=1代入y2=x−2得，y=−1，把x=1，y=−1代入y1=kx+1得−1=k+1，解得k=−2，根据图形即可求得k的取值范围．
本题是一次函数与一元一次不等式，考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用相关性质和定理．
分情况进行讨论，当E与B或当E与C重合时找到MN的位置，结合图象即可判断MN扫过区域的形状并求出面积．
【解答】
解：如图所示：当点E与B点重合时，点M位于AB中点，点N位于BF中点；
当点E′与C点重合时，点M′位于AC中点，点N′位于CF中点；
∵M是AB的中点，M′是AC的中点，N是BF的中点，点N′是CF的中点，
∴MM′、NN′分别是△ABC、△FBC的中位线，
∴MM′//BC且MM′=12BC，NN′//BC且NN′=12BC，
∴四边形MM′N′N为平行四边形，
∴MN扫过的区域为平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=9，
∵DF=5，
∴FC=9−5=4，
∴S=12BC⋅(12AB−12FC)=12×12×(12×9−12×4)=15，
故选：C．
11.【答案】85.5分
【解析】解：他的数学成绩是：85×70%+90×20%+80×10%=85.5(分)．
故答案为：85.5分．
根据数学成绩=期末考试成绩×所占的百分比+期中考试成绩×所占的百分比+平时作业成绩×所占的百分比即可求得该学生的数学成绩．
本题考查的是加权平均数的求法．正确计算加权平均数是解本题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：由方差的算式知，这组数据的平均数为3，
故答案为：3．
根据方差的算式可得答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义及计算公式．
13.【答案】−1
【解析】解：因为点P(a,b)在函数y=3x+2的图象上，
所以b=3a+2，
所以3a−b+1=3a−(3a+2)+1=3a−3a−2+1=−1．
故答案为：−1．
把P(a,b)代入一次函数解析式得到b=3a+2，然后把b=3a+2代入3a−b+1后进行整式的加减运算即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．
14.【答案】2
【解析】解：∵点A(3,m)，
∴点A关于x轴的对称点B(3,−m)，
∵B在直线y=−x+1上，
∴−m=−3+1=−2，
∴m=2，
故答案为：2．
根据关于x轴的对称点的坐标特点可得B(3,−m)，然后再把B点坐标代入y=−x+1可得m的值．
此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，以及一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握函数图象经过的点必能使解析式左右相等．
15.【答案】24
【解析】解：∵菱形的对角线长分别为6cm和8cm，
∴该菱形的面积=12×6×8=24(cm2).
故答案为：24．
直接利用菱形的面积公式计算．
本题考查了菱形的性质：菱形面积=12ab(a、b是两条对角线的长度)．
16.【答案】2 10
【解析】解：作FH⊥DC，交DC的延长线于点H，连接DF，如图所示，
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴∠AED+∠FEH=90°，
∵∠FEH+∠EFH=90°，
∴∠AED=∠EFH，
∵四边形ABCD是正方形，FH⊥DC，
∴∠ADE=∠EHF=90°，
在△AED和△EFH中，
∠AED=∠EFH∠ADE=∠EHFAE=EF，
∴△AED≌△EFH(AAS)，
∴AD=EH，DE=HF，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是边CD的中点，
∴AD=4，DE=2，
∴EH=4，HF=2，
∴DH=DE+EH=2+4=6，
∴DF= DH2+HF2= 62+22=2 10，
故答案为：2 10．
根据题意作出合适的图形，然后根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质，可以得到DH和HF的长，再根据勾股定理，即可得到DF的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17.【答案】−72≤k≤−32
【解析】解：设y=−0.5x+3上任意一点P(a,b)，
∴b=−0.5a+3，
当a≥b时，a≥−0.5a+3，
∴a≥2，
∴2≤a≤6时，P点的“变换点”P′(a,0.5a−3)，
∴P′点在线段y=0.5x−3上，
当a∴a<2，
∴−2≤a<2时，P点的“变换点”P′(a+4,−0.5a+1)，
∴P′点在线段y=−0.5x+3上，
∵y=kx+5经过定点(0,5)，
∴当k<0时，y=kx+5与组成的新的图形有两个交点，
当x=2时，y=0.5x−3=−2，y=−0.5x+3=2，
∴新图形经过点(2,−2)，(2,2)，
当y=kx+5经过点(2,−2)时，k=−72，
当y=kx+5经过点(2,2)时，k=−32，
∴−72≤k≤−32时，y=kx+5与组成的新的图形有两个交点，
故答案为：−72≤k≤−32．
求出直线在所给范围内的“变换点”组成的新图形的图象，新图形的端点(2,−2)，(2,2)，再将两个点代入y=kx+5，再数形结合解题即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质．
18.【答案】 7
【解析】解：连接AG、AE、AF.作点F关于点E的对称点F′，连接AF′．
则AF′=AF，
∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC，
∴AD=CD，
∴AG=CG，AF=CF，
∴AF′=CF，
∴CF+CG=AF′+AG，
当G、A、F′三点在同一直线上时，AF′+AG的最小值为GF′．
连接GF′，
∵等边△ABC的边长为2，BD⊥AC，
∴∠ABD=30°，
∴AD=1，
由平移得△ABD≌△EGF，
∴GF=BD= 32AB= 32×2= 3，FF′=2EF=2AD=AC=2，
∴GF′= GF2+FF′2= ( 3)2+22= 7，
即AF′+AG的最小值为 7．
故答案为： 7．
连接AG、AE、AF.作点F关于点E的对称点F′，连接AF′.则AF′=AF，结合等边三角形性质得到AG=CG，AF=CF，推出AF′=CF，所以CF+CG=AF′+AG，当G、A、F′三点在同一直线上时，AF′+AG的最小值为GF′.再由勾股定理求出GF′，即求出AF′+AG的最小值．
本题考查轴对称，等边三角形的性质，平移的性质等知识，解此题的关键是推出CF+CG=AF′+AG，属于中考填空题中的压轴题．
19.【答案】证明：在△AEB和△CFD中，
AE=CFAB=CDBE=DF，
∴△AEB≌△CFD(SSS)，
∴∠EAB=∠FCD，
∴AB/​/DC，
又∵AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【解析】证△AEB≌△CFD(SSS)，得∠EAB=∠FCD，再证AB//DC，然后由平行四边形的判定即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
20.【答案】解：(1)连接AC，如图．
在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=9cm，BC=12cm，
所以AC= AB2+BC2= 92+122=15．
即A、C两点之间的距离为15cm；
(2)因为CD2+AC2=82+152=172=AD2，
所以∠ACD=90°，
所以四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD
=12AB⋅BC+12AC⋅CD
=12×9×12+12×15×8
=54+60
=114(cm2).
故这张纸片的面积为114cm2．
【解析】(1)由勾股定理可直接求得结论；
(2)根据勾股定理逆定理证得∠ACD=90°，由于四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD，根据三角形的面积公式即可求得结论．
本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，熟记定理是解题的关键．
21.【答案】解(1)∵一次函数y=2x−3的图象交于点B(m,1)，
∴2m−3=1，解得m=2，
∴B的坐标为(2,1)，
∵OA=4，
∴A(4,0)，
∴4k+b=02k+b=1，解得：k=−12b=2，
∴k=−12，b=2；
(2)设一次函数y=2x−3的图象与x轴的交点为D，

当y=0时，0=2x−3，解得：x=32，
∴D(32,0)，
∵一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴交于点A，与一次函数y=2x−3的图象交于点B(2,1)，且OA=4．
∴△ABD的面积=12×(4−32)×1=54．
∴一次函数y=kx+b，y=2x−3的图象与x轴所围成的三角形的面积为54．
【解析】(1)由一次函数y=2x−3的图象交于点B(m,1)可得m的值，即可求得B(2,1)，根据OA=4得A(4,0)，用待定系数法即可求得结论；
(2)设一次函数y=2x−3的图象与x轴的交点为D，求出D点坐标，根据三角形面积公式即可求得结论．
此题考查了待定系数法求函数解析式，两直线平行或相交问题，三角形的面积．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
22.【答案】解：(1)29；
(2)乙的体育成绩更好，理由是：
∵x−甲=x−乙=28，
∴S甲2=15×[(25−28)2+(29−28)2+(27−28)2+(29−28)2+(30−28)2]=3.2(分 ​2)，
∴S乙2∵两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，
∴乙的体育成绩更好．
(3) 变小．
【解析】【分析】
(1)根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩的平均分，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得a的值；
(2)根据甲的成绩计算甲的方差，比较甲、乙的方差，方差小的体育成绩更好；
(3)根据第6次的成绩等于平均数，根据方差公式可知方差将变小．
【解答】
解：(1)由题意得：25+29+27+a+30=28×5，
解得：a=29，
故答案为：29；
(2)见答案；
(3)甲6次模拟测试成绩的方差=1625−282+29−282+27−282+29−282+30−282+28−282=83(分 ​2)，
∵83<3.2，
∴甲6次模拟测试成绩的方差将变小．
故答案为：变小．
本题考查了平均数、方差，根据方差判断稳定性，解题的关键是掌握求方差的公式．
23.【答案】解：(1)设制作一个A款挂件的成本为x元，制作一个B款挂件的成本为y元，
由题意可得：3x+5y=465x+10y=85，
解得x=7y=5，
答：制作一个A款挂件的成本为7元，制作一个B款挂件的成本为5元；
(2)设安排m人制作A款挂件，则安排(40−m)人制作B款挂件，
由题意可得：w=(12−7)×2m+(8−5)×3(40−m)=m+360，
∵1>0，
∴w随m的增大而增大，
∵制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，
∴7×2m+5×3(40−m)≤5903(40−m)≥2×2m，
解得10≤m≤1717，
∵m为正整数，
∴10≤m≤17，且m为正整数，
∴当m=17时，w取得最大值，此时w=377，40−m=23，
答：w(元)与m(人)之间的函数表达式是w=m+360(10≤m≤17且m为正整数)，当安排17人制作A款挂件，23人制作B款挂件时，总利润最大，最大利润为377元．
【解析】(1)根据制作3个A款挂件、5个B款挂件所需成本为46元，制作5个A款挂件、10个B款挂件所需成本为85元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
(2)根据表格中的数据和(1)中的结果，可以写出w(元)与m(人)之间的函数表达式，再根据制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍，可以列出相应的不等式组，从而可以求出自变量的取值范围，再根据一次函数的性质，可以求得w的最大值．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组，写出相应的一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
24.【答案】80 6
【解析】解：(1)∵乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，
∴乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t=480÷80=6(小时)；
(2)根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，
∵甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，
∴结合函数图象可知，当x=52时，y=300；当x=5时，y=0；
设甲车从C地按原路原速返回A地时，即52≤x≤5，
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=kx+b，
将(52,300),(5,0)函数关系式得：52k+b=3005k+b=0，
解得：k=−120b=600，
故甲车从C地按原路原速返回A地时，
甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=−120x+600；
(3)由题意可知甲车的速度为：6005=120(千米/时)，
设甲车出发m小时两车相距80千米，有以下两种情况：
①两车相向行驶时，有：120m+80(m+1)+80=480，
解得：m=85；
②两车同向行驶时，有：600−120m+80(m+1)−80=480，
解得：m=3；
③两车相遇之后，甲返回前，有120m+80(m+1)−80=480，
解得：m=125；
∴甲车出发85小时或3小时或125两车相距80千米．
故答案为：(1)80，6．
(1)结合题意，利用速度=路程÷时间，可得乙的速度、行驶时间；
(2)找到甲车到达C地和返回A地时x与y的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；
(3)甲、乙两车相距80千米有两种情况：
①相向而行：相等关系为“甲车行驶路程+乙车行驶路程+甲乙间距离=480”，
②同向而行：相等关系为“甲车距它出发地的路程+乙车路程−甲乙间距离=480”
②甲乙相遇之后，甲返回之前：“甲车行驶路程+乙车行驶路程−甲乙间距离=480”
分别根据相等关系列方程可求解．
本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义，
准确找到等量关系，列方程解决实际问题，属中档题．
25.【答案】垂直 BC=CD+CF
【解析】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=135°−45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．
(3)解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC= 2AB=4，AH=12BC=2，
∴CD=14BC=1，CH=12BC=2，
∴DH=3，
由(2)证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM∠AHD=∠DMEAD=DE，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG= GN2+EN2= 10．
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC= 2AB=4，AH=12BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵A(1,2)，B(m,n)，A，B互为正等距点，
∴1−m=2−n，
∴n=m+1，
∵m=−1，
∴n=0；
(2)由题意可知，与A(1,2)的正等距等于3的点为(4,5)或(−2,−1)，
若(4,5)在直线y=kx上，
∴4k=5，解得k=54；
若(−2,−1)在直线y=kx上，
∴−2k=−1，解得k=12；
综上，k的值为12或54．
(3)由(1)可知n=m+1，
∴A(1,2)，B(m,n)在直线y=x+1上，
设直线y=x+1与y轴的交点为C，则C(0,1)，如图，
∵S△AOB=3，
∴S△AOC+S△BOC=12×1×|m−1|=3，
∴|m−1|=6，
解得m=7或m=−5，
∴点B的坐标为(7,8)或(−5,−4)．
【解析】(1)根据互为正等距点的定义，可得1−m=2−n，即m−n=−1，把m=−1代入即可求得n的值；
(2)由正等距的定义可得出与A(1,2)的正等距等于3的点为(4,5)或(−2,−1)，分别代入直线解析式即可得出结论；
(3)由(1)可知n=m+1，即可得出A(1,2)，B(m,n)在直线y=x+1上，利用三角形面积公式得到
12×1×|m−1|=3，解得m=7或m=−5，即可求得点B的坐标为(7,8)或(−5,−4)．
本题属于新定义类问题，涉及待定系数法求一次函数表达式，一次函数的图象和性质，坐标与图形性质，理解互为正等距点的定义是解题的关键．时间/小时
4
5
6
7
8
人数
2
4
a
b
1
次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
成绩(分)
25
29
27
a
30
手工制品
A款挂件
B款挂件
售价(元/个)
12
8