2022-2023学年山东省青岛九中高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省青岛九中高一（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(2−i)(1+i)=( )
A. 3+iB. 1−2iC. 3−iD. 3
2.若向量OB=(3,2),AB=(−4,5)，则点A的坐标为( )
A. (−1,7)B. (7,−3)C. (−1,−3)D. (7,7)
3.对于横纵坐标均为整数的向量，若它们的模相同，坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”如向量(1,1)，(1,−1)，(−1,1)，(−1,−1)是模为 2的“等模整向量”，则模为 10的“等模整向量”的个数为( )
A. 4B. 8C. 10D. 12
4.“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建.今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景.如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104(单位：米)的A，B两个观测点，在A点测得超然楼在北偏东60°的点D处(A,B,D在同一水平面上)，在B点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C的仰角为45°，则超然楼的高度CD(单位：米)为( )
A. 26B. 26 3C. 52D. 52 3
5.矩形ABCD中，AB=3，AD=2，M为线段AB上靠近A的三等分点，N为线段BC的中点，则DM⋅AN=( )
A. −1B. 0C. 1D. 7
6.三棱锥P−ABC的侧棱PA，PB，PC上分别有三点E，F，G，且PEEA=1,PFFB=12,PGGC=13，则三棱锥P−ABC与P−EFG的体积之比是( )
A. 6B. 8C. 12D. 24
7.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若m=(b,b)，n=(csC, 3sinC)，m⋅n=a+c，则B=( )
A. π2B. π3C. π4D. π6
8.已知A，B，C，D四点都在表面积为100π的球O的表面上，若AD为球O的直径，且BC=4，∠BAC=150°，则三棱锥A−BCD体积的最大值为( )
A. 4 3B. 8 3C. 4(2− 3)D. 8(2− 3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于复数z1，z2，z3，下列说法中正确的是( )
A. |z1|=|z1−|B. z12=|z1|2
C. z1⋅(z2+z3)=z1⋅z2+z1⋅z3D. z1+z2−=z1−+z2−
10.已知正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，A1B1=2，AA1=2，则关于该正四棱台，下列说法正确的是( )
A. ∠A1AB=π6B. 高为 2C. 体积为28 23D. 表面积为12 3
11.石墨的二维层状结构存在如图所示的环状正六边形，正六边形ABCDEF为其中的一个六元环，设AB=1，P为正六边形ABCDEF内一点(包括边界)，则下列说法正确的是( )
A. AD=4AB+4AF
B. AC⋅AD=3AB2
C. AD在AB上的投影向量为AB
D. AP⋅AB的取值范围为[−12,32]
12.已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC内一点N满足sinA⋅NA+sinB⋅NB+sinC⋅NC=0,AN与BC交于点D，则下列说法正确的是( )
A. a⋅NA+b⋅NB+c⋅NC=0B. AN⋅(AB|AB|−AC|AC|)=0
C. c⋅AD+b⋅AD=12bcsinAD. AN=b⋅AB+c⋅ACa+b+c
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.i2023= ______．
14.△ABC中，AD为边BC的中线，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，则中线AD的长为______．
15.设M为△ABC内一点，且AM=12AB+13AC，则△MBC与△ABC的面积之比为______．
16.早在15世纪，达⋅芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法：如图(1)，先制作三张一样的黄金矩形ABCD(短边长边= 5−12)，然后从长边CD的中点E出发，沿着与短边平行的方向，即EF=12AD，再沿着与长边AB行的方向剪出相同的长度，即FE=FG；将这三个矩形穿插两两垂直放置(如图(2))，连接所有顶点即可得到一个正二十面体(如图(3)).若黄金矩形的短边长为2，则按如上制作的正二十面体的表面积为______，其内切球的表面积为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z=51+2i．
(1)求|z|；
(2)若z是关于x的方程x2+ax+b=0的一个根，求实数a，b的值．
18.(本小题12分)
已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=(1, 3)．
(1)若|c|=4，且c/​/a，求c坐标；
(2)若|b|=1，且(a+b)⊥(2a−5b)，求a与b的夹角．
19.(本小题12分)
如图，圆锥SO的底面半径为3，此圆锥的侧面展开图是一个半圆．
(1)求圆锥SO的表面积；
(2)若圆锥SO的底面圆周和顶点S都在球O′的球面上，求球O′的体积．
20.(本小题12分)
△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC．
(1)求角A的大小；
(2)若a=2，求c−b的取值范围．
21.(本小题12分)
已知△ABC是边长为2的等边三角形，D为边BC的中点，E为边AC上任一点(包括端点)，F在线段ED延长线上，且ED=DF．
(1)当|CF|最小时，求AD⋅BE的值；
(2)求AE⋅AF的取值范围．
22.(本小题12分)
△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4asinA=bsinCcsA+csinAcsB．
(1)求sinAsinC的值；
(2)若BD是∠ABC的角平分线．
(i)证明：BD2=BA⋅BC−DA⋅DC；
(ⅱ)若a=1，求BD⋅AC的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得：(2−i)(1+i)=2+i−i2=3+i．
故选：A．
根据复数的乘法运算求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵OB=(3,2),AB=(−4,5)，
∴OA=OB−AB=(3,2)−(−4,5)=(7,−3)，
∴A(7,−3)．
故选：B．
求出OA，即可得出点A的坐标．
本题主要考查了向量线性运算的坐标表示，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设向量为(a,b)，则a2+b2=10，又a，b为整数，
所以a，b从−1，1，3，−3中取值，故符合条件的“等模整向量”为(−1,3)，(−1,−3)，(1,3)，(1,−3)，(3,1)，(3,−1)，(−3,−1)，(−3,1)，共有8个．
故选：B．
根据“等模整向量”的概念求解．
本题主要考查了向量的模长公式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意可得：∠BAD=30°，∠ABD=60°，∠CBD=45°，AB=104(米)，
在△ABD中，可得∠ADB=90°，则BD=AB⋅sin∠BAD=104×12=52(米)，
在Rt△BCD中，可得△BCD为等腰直角三角形，即DC=BD=52(米)．
故选：C．
根据题意结合直角三角形分析运算即可．
本题主要考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：以{AB,AD}为基底向量，
则DM=AM−AD=13AB−AD,AN=AB+BN=AB+12AD，
因为AB⊥AD，
则AB⋅AD=0，
所以DM⋅AN=(13AB−AD)⋅(AB+12AD)=13AB2−56AB⋅AD−12AD2=13×9−12×4=1．
故选：C．
以{AB,AD}为基底向量表示DM,AN，根据数量积的定义及运算律分析运算．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算，属中档题．
6.【答案】D
【解析】解：设△PFG的面积为S1，设△PBC的面积为S2，
则S1=12PF⋅PGsin∠FPG，S2=12PB⋅PCsin∠BPC，又∠FPG=∠BPC，PFPB=13,PGPC=14，
∴S1S2=112，
过点E作EM⊥平面PBC，过点A作AN⊥平面PBC，如图，
则EM/​/AN，∴△PEM与△PAN相似，
又PEPA=12，∴EMAN=12，
∵VP−EFG=VE−FPG=13S1⋅EM，VP−ABC=VA−BPC=13S2⋅AN，
∴VP−ABCVP−EFG=24，
∴三棱锥P−ABC与P−EFG的体积之比是24．
故选：D．
根据体积公式计算三棱锥P−EFG的体积与三棱锥P−ABC的体积表达式，再求其比值．
本题主要考查棱锥体积的计算，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：∵若m=(b,b)，n=(csC, 3sinC)，m⋅n=a+c，
∴m⋅n=bcsC+ 3bsinC=a+c．
由正弦定理得sinBcsC+ 3sinBsinC=sinA+sinC，
又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
∴ 3sinBsinC−csBsinC=sinC．
又sinC≠0，则 3sinB−csB=1，
即2sin(B−π6)=1，即sin(B−π6)=12，
∵0∴−π6∴B−π6=π6，解得B=π3．
故选：B．
由题意得bcsC+ 3bsinC=a+c，利用正弦定理得sinBcsC+ 3sinBsinC=sinA+sinC，即 3sinB−csB=1，辅助角公式化简可求得sin(B−π6)=12，然后根据角的范围，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的坐标运算和解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：设球O的半径为R，因为球O的表面积为100π，故4πR2=100π，即R=5，
∵BC=4，∠BAC=120°，设△ABC的外接圆半径为r，圆心为O1，
∴根据正弦定理知，4sin150∘=2r，即r=4，
∴|OO1|= OB2−O1B2= 52−42=3，
∵AD是直径，O是AD中点，故D到平面ABC的距离为2|OO1|=6，
在△ABC中，根据余弦定理得，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC，
即16=AB2+AC2+ 3AB⋅AC≥2AB⋅AC+ 3AB⋅AC，
∴AB⋅AC≤16(2− 3)，当且仅当AB=AC时，等号成立，
∴△ABC面积的最大值为S=12AB⋅AC⋅sin∠BAC=12×16(2− 3)×12=4(2− 3)，
∴三棱锥A−BCD体积的最大值V=13×4(2− 3)×6=8(2− 3)．
故选：D．
设△ABC的外接圆半径为r，圆心为O1，根据正弦定理可求r，根据几何关系可求D到平面ABC的距离为定值2OO1，当△ABC面积最大时，三棱锥A−BCD体积最大，利用余弦定理、基本不等式、三角形面积公式可求△ABC面积的最大值，即得．
本题主要考查多面体外接球问题，棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：设z1=a+bi，z2=c+di，z3=m+ni，z1−=a−bi,|z1|= a2+b2,|z1−|= a2+b2，
∴|z1|=|z1−|，A选项正确；
z12=(a+bi)2=a2−b2+2abi,|z1|2=( a2+b2)=a2+b2，∴z12≠|z1|2，B选项错误；
z1⋅(z2+z3)=(a+bi)(c+di+m+ni)=(a+bi)(c+di)+(a+bi)(m+ni)=z1⋅z2+z1⋅z3，C选项正确；
z1+z2=(c+m)+(d+n)i，z1+z2−=(c+m)−(d+n)i，z1−+z2−=c−di+m−ni=(c+m)−(d+n)i，z1+z2−=z1−+z2−，D选项正确．
故选：ACD．
根据复数的模及复数的乘法判断B，C选项，根据复数的共轭复数判断D选项，结合共轭复数及模长判断A选项．
本题主要考查复数的运算，以及共轭复数的定义，基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：根据题意，如图：过A1分别作底面ABCD、AB的垂线，垂足分别为M、N，
正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=4，A1B1=2，AA1=2，
由于AB=4，A1B1=2，则AC=4 2，A1C1=2 2，
正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，侧面ABB1A1是等腰梯形，过点A1作AP，使AP//BB1，
易得四边形APBB1为平行四边形，必有AP=BB1，
由于侧面ABB1A1是等腰梯形，有AA1=BB1，则有AA1=AP，故△APA1是等腰三角形，
则AN=12AP=12(AB−A1B1)=1，
同理：AM=12(AC−A1C1)= 2，
则有A1M= A1A2−AM2= 2,A1N= A1A2−AN2= 3．
依次分析选项：
对于A：在Rt△AA1N中，可得sin∠A1AN=A1NAA1= 32，
且∠A1AN为锐角，则∠A1AB=π3，故A错误；
对于B：正四棱台的高即为A1M= 2，故B正确；
对于C：正四棱台的体积V=13(4×4+2×2+ 4×4×2×2)× 2=28 23，故C正确；
对于D：四棱台的表面积S=4×4+2×2+4× 3(2+4)2=20+12 3，故D错误．
故选：BC．
根据题意，由正四棱台的结构特征逐项分析判断，综合可得答案．
本题考查棱台的结构特征，和解棱台体积、表面积的计算，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：如图，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(0,0),B(12,− 32),C(32,− 32),D(2,0),E(32, 32),F(12, 32)，
可得AB=(12,− 32),AC=(32,− 32),AD=(2,0),AF=(12, 32)．
对于选项A：因为4AB+4AF=(4,0)，
则AD≠4AB+4AF，
故选项A错误；
对于选项B：AC⋅AD=32×2+(− 32)×0=3=3AB2，
故选项B正确；
对于选项C：因为〈AB,AD〉=60°，
则|AD|cs〈AB,AD〉=2×12=1，
所以AD在AB上的投影向量为AB|AB|=AB，
故选项C正确；
对于选项D：分别过C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、N，
则BM=AN=12，
可得AP在AB上的投影|AP|cs的取值范围为[−12,32]，
又|AB|=1，AP⋅AB=|AB||AP|cs，
所以AP⋅AB的取值范围为[−12,32]，
故选项D正确．
故选：BCD．
建系，利用向量坐标的运算判断A、B、C，对于D：结合向量的投影分析运算．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了向量投影的运算，属中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：∵sinA⋅NA+sinB⋅NB+sinC⋅NC=0，
∴由正弦定理可得：a⋅NA+b⋅NB+c⋅NC=2R⋅0=0，∴A选项正确；
∴a(−AN)+b(AB−AN)+c(AC−AN)=0，
∴(a+b+c)AN=bAB+cAC，
∴AN=bAB+cACa+b+c，∴D选项正确；
∴AN⋅(AB|AB|−AC|AC|)=(bAB+cAC)1bc(bAB−cAC)a+b+c=1bc(b2c2−c2b2)a+b+c=0，∴B选项正确；
如图，
∵AD是∠A的角平分线，
∴12c⋅AD⋅sin12A+12b⋅AD⋅sin12A=12bcsinA，∴C选项错误．
故选：ABD．
由正弦定理判断A，再由向量的线性运算判断D，根据数量积运算判断B，由B知AN在角平分线上可判断C．
本题考查向量数量积的运算，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】−i
【解析】解：i2023=i4×55+3=i3=−i．
故答案为：−i．
根据虚数单位的周期性求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
14.【答案】 192
【解析】解：作图：
由题意得AD=12(AB+AC)，
∴AD2=[12(AB+AC)]2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)=14×(32+22+2×3×2×12)=194，
∴|AD|= 192，即中线AD的长为 192．
故答案为： 192．
由题意得AD=12(AB+AC)，结合平面向量的线性运算，即可得出答案．
本题考查平面向量的线性运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15.【答案】16
【解析】解：在AC取点N，使得AC=32AN，则AM=12AB+13AC=12AB+12AN，
可知点M为BN的中点，
可得S△MBC=12S△NBC=12(13S△ABC)=16S△ABC，即S△MBCS△ABC=16，
所以△MBC与△ABC的面积之比为16．
故答案为：16．
根据题意结合三点共线的结论确定点M的位置，进而分析运算即可．
本题主要考查了向量的线性表示，属于基础题．
16.【答案】20 3 (14+6 5)π3
【解析】解：正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，
且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长2．
所以表面积为：20×12×2×2×sin60°=20 3，
根据对称性可知：三个黄金矩形的对角线交于一点，设该点为O，
由对称性可知，内切球和外接球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处，
点O连接其中一个面ABC，如图，作OO1⊥面ABC，则OA为外接球半径，OO1为内切球的半径．
黄金矩形的短边长为2，设长边为2y，则22y= 5−12，即2y=2 5−1×2= 5+1，
所以黄金矩形的对角线长为 22+( 5+1)2= 10+2 5，
所以外接球的半径为：12 10+2 5，
由正三棱锥的性质可知，O1为△ABC的中心，O1C为△ABC的外接圆半径，
所以2O1C=2sin60∘=4 33，所以O1C=2 33，
所以OO12=OC2−O1C2=10+2 54−43=14+6 512，
所以内切球的表面积为4π×14+6 512=(14+6 5)π3，
故答案为：20 3；(14+6 5)π3．
正二十面体的表面是20个全等的等边三角形，且每个等边三角形的边长都等于黄金矩形的短边长可得其表面积，根据对称性可知内切球的球心在所有黄金矩形的对角线交点处，从而可求出球的半径，得出答案．
考查空间想象能力，如果不能从对称性整体考虑，而是构造空间线面关系，必将问题复杂化，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为z=51+2i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)=1−2i，
所以|z|= 1+22= 5．
(2)由(1)可得：z=1−2i，
将z代入方程x2+ax+b=0得：(1−2i)2+a(1−2i)+b=(a+b−3)+i(−2a−4)=0，
则a+b−3=02a+4=0，解得：a=−2，b=5．
【解析】(1)根据复数的除法求z，进而求模长；
(2)将z代入方程，根据复数相等列式求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设c=(x,y)，
由已知可得x2+y2=16y− 3x=0，解得x=2y=2 3或x=−2y=−2 3
所以c=(2,2 3)或c=(−2,−2 3)．
(2)由已知可得，|a|= 12+( 3)2=2．
由(a+b)⊥(2a−5b)得(a+b)⋅(2a−5b)=0，
即2a2−3a⋅b−5b2=0，
即8−3a⋅b−5=0，
所以a⋅b=1，
所以cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=12．
因为，0≤〈a,b〉≤π，
故〈a,b〉=π3．
【解析】(1)设c=(x,y)，然后根据向量模以及向量垂直的坐标表示，列出方程组，求解即可得出答案；
(2)根据已知可推得a⋅b=1，然后即可得出cs〈a,b〉=12，进而得出答案．
本题考查向量的基本运算，向量数量积与向量夹角公式的应用，属中档题．
19.【答案】解：(1)设OA=OB=r，SA=SB=l，
由题意得：πl=2πr=6π，则l=6．
所以S侧=πrl=18π，S底=9π，
S表=S侧+S底=27π．
(2)令SO′=R，
由O′O2+OB2=O′B2，得(3 3−R)2+9=R2，
解得R=2 3．
故V球=43πR3=32 3π.
【解析】(1)设OA=OB=r，SA=SB=l，根据圆锥的侧面展开图是一个半圆，由πl=2πr=6π求得母线后再利用表面积公式求解．
(2)令SO′=R，利用球的截面圆性质，由O′O2+OB2=O′B2求得半径即可．
本题主要考查圆锥的表面积与球的体积，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)因为(b+c)(sinB+sinC)=asinA+3bsinC，
由正弦定理得(b+c)(b+c)=a2+3bc，整理得b2+c2−a2=bc，
所以csA=b2+c2−a22bc=12，
且A∈(0,π)，故A=π3．
(2)因为asinA=bsinB=csinC=2 32=4 33，
可得b=4 33sinB,c=4 33sinC，
则c−b=4 33(sinC−sinB)=4 33[sin(B+π3)−sinB]=4 33( 32csB+12sinB−sinB)=4 33( 32csB−12sinB)=4 33cs(B+π6)，
因为0所以4 33cs(B+π6)∈(−2,2)，即c−b∈(−2,2)．
【解析】(1)根据题意利用正、余弦定理分析运算；
(2)利用正弦定理进行边化角，再结合三角恒等变换及余弦函数分析运算．
本题主要考查解三角形，属于中档题．
21.【答案】解：(1)根据题意作出图形，如下图所示：

设AE=λAC(λ∈[0,1])，
根据题意可得CF=AF−AC=AE+2ED−AC=AE+2(AD−AE)−AC
=−AE−AC+2AD=AB−λAC，
∴|CF|= |AB−λAC|2= AB2+λ2AC2−2λAB⋅AC，
又AB⋅AC=2，∴|CF|= 4λ2−4λ+4=2 (λ−12)2+34，
由一元二次函数的性质，可得当λ=12时，|CF|最小，
此时BE⋅AD=12(AC−AB)⋅12(AB+AC)
=14AC2−14AB⋅AC−12AB2=−32．
(2)由(1)知AF−AC=AB−λAC，故AF=AB+(1−λ)AC，
因为AE⋅AF=λAC⋅[AB+(1−λ)AC]=λAB⋅AC+(λ−λ2)AC2=−4λ2+6λ，
因为λ∈[0,1]，所以AE⋅AF∈[0,94]．
【解析】(1)设AE=λAC(λ∈[0,1])，把CF转化为AB−λAC，由|CF|= (CF)2求出|CF|= 4λ2−4λ+4,λ∈[0,1]，从而可知当λ=12时，|CF|最小，把AD⋅BE转化为用AB,AC表示，再把λ=12代入即可求出AD⋅BE的值；
(2)把 AE⋅AF转化为用AB,AC表示，化简为只含变量λ的二次函数，用二次函数求最值的方法即可求得AE⋅AF的取值范围．
本题考查向量数量积的运算，化归转化思想，函数思想，属中档题．
22.【答案】解：(1)∵4asinA=bsinCcsA+csinAcsB，
∴由正弦定理得4sin2A=sinBsinCcsA+sinCsinAcsB=sinC(sinBcsA+sinAcsB)=sinCsin(A+B)=sin2C，
且A，C∈(0,π)，则sinA，sinC>0，
∴sinAsinC=12；
(2)(i)证明：在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD=ABsin∠ADB①，
由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cs∠ADB②，
同理在△BCD中，则CDsin∠CBD=BCsin∠CDB③，BC2=CD2+BD2−2CD⋅BD⋅cs∠CDB④，
∵BD是∠ABC的角平分线，则∠ABD=∠CBD，
∴sin∠ABD=sin∠CBD，
又∠ADB+∠CDB=π，则sin∠ADB=sin∠CDB，cs∠ADB+cs∠CDB=0，
①÷③得ADCD=ABBC⑤，
∴ADAC=ABAB+BC,CDAC=BCAB+BC，
CD×②+AD×④得CD⋅AB2+AD⋅BC2=CD⋅AD(AD+CD)+(CD+AD)⋅BD2=CD⋅AD⋅AC+AC⋅BD2，
∴BD2=CD⋅AB2+AD⋅BC2AC−CD⋅AD=BC⋅AB2+AB⋅BC2AB+BC−CD⋅AD=BA⋅BC−DA⋅DC，得证；
(ⅱ)由(1)得sinAsinC=12，则c=2a=2，
由⑤式知(或由角平分线定理知)ADCD=ABBC=2，
∴AD=23AC,DC=13AC，
由(ⅰ)知BD2=2−29AC2，
∴BD2+29AC2=2，
∵BD2+29AC2≥2 23BD⋅AC，当且仅当BD=1,AC=3 22时等号成立，
∴BD⋅AC≤3 22，
故BD⋅AC的最大值3 22．
【解析】(1)根据题意利用正弦定理边化角，分析运算，即可得出答案；
(2)(i)根据正、余弦定理结合角度关系分析，即可证明结论；
(ⅱ)根据题中已知结论可得BD2+29AC2=2，利用基本不等式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．