2022-2023学年江西省赣州四中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省赣州四中高二（下）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知等差数列{an}中，a4=4，则a2+a3+a7的值是( )
A. 6B. 9C. 12D. 15
2.等差数列{an}的前n项和记为Sn，且S5=10，S10=50，则S15=( )
A. 70B. 90C. 100D. 120
3.已知函数f(x)=ax+1x+1在(−1,1)上为减函数，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1]B. (−∞,1)C. (−∞,−1]D. (−∞,−1)
4.电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.80，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.60，则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是( )
A. 0.75B. 0.60C. 0.48D. 0.20
5.下列命题中，真命题的是( )
A. 若回归方程y=−0.45x+0.6，则变量y与x正相关
B. 线性回归分析中相关指数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好
C. 若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，…，2x10−1的方差为8
D. 若随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，P(X≤4)=0.64，则P(2≤X≤3)=0.07
6.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x−a)，且f(x)在x=a处取得极大值，则实数a的取值范围是( )
A. a>−1B. −11
7.已知梯形ABCD中，AD//BC，∠B=π3，AB=2，BC=4，AD=1，点P，Q在线段BC上移动，且PQ=1，则DP⋅DQ的最小值为( )
A. 1B. 112C. 132D. 114
8.已知函数f(x)=ex−2+e2−x+2x2−8x+7，则不等式f(2x+3)>f(x+2)的解集为( )
A. (−1,−13)B. (−∞,−1)∪(−13,+∞)
C. (−13,1)D. (−∞,−13)∪(1,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列{an}的各项均为正数，a1=20，2a6+a5−a4=0，数列{an}的前n项积为Tn，则
( )
A. 数列{an}单调递增B. 数列{an}单调递减
C. Tn的最大值为T5D. Tn的最小值为T5
10.若(2x−1 x)n的展开式中第6项的二项式系数最大，则n的可能值为( )
A. 9B. 10C. 11D. 12
11.已知定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)，f(x)是f(x)的导函数，若存在ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a).则称ξ为函数f(x)在[a,b]上的“中值点”.下列函数，其中在区间(−2,2]上至少有两个“中值点”的函数为( )
(备注：sinx′=csx,ex′=ex,ln(x+3)′=1x+3,x3−x+1′=3x2−1)
A. f(x)=sinxB. f(x)=ex
C. f(x)=ln(x+3)D. f(x)=x3−x+1
12.已知函数f(x)=sinx−csx，x∈[0,+∞)，动直线l过原点且与曲线y=f(x)相切，切点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，⋯⋯，xn⋯⋯，则下列说法错误的是( )
A. |f(xn)|=1B. 数列{xn}为等差数列
C. xn=tan(xn+π4)D. [f(xn)]2=2xn2xn2+1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.一物体的运动方程为s=7t2−13t+8，且在t=t0时的瞬时速率为1，则t0= ______．
14.数列{an}满足an+1=an2−an−1+2anan−1+1(n=2,3,…)，a2=1，a3=3，则a7= ______．
15.已知函数f(x)=2023x+12023x−1x2+3，则不等式f(x+1)>f(2x)的解集为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知Sn是数列{an}的前n项和，an+1−3an+2an−1=1(n⩾2,n∈N*)，a1=1，a2=4．
(1)证明：数列{an+1−an+1}是等比数列；
(2)求Sn．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=13x3−x2−3x+1．
(1)求函数f(x)的图象在点x=0处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
18.(本小题12分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(a,b)(a>p)在抛物线C上，且△FOM外接圆的圆心到准线的距离为32．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点A(1,m)在抛物线C上(m>0)，过点F作斜率为k(12≤k≤2)的直线l与抛物线C交于N，Q两点，求△ANQ面积的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，AF/​/DE，AF=AD=2DE，AF⊥底面ABCD．
(1)证明：BD/​/平面CEF；
(2)若AF=4，求该多面体的体积．
20.(本小题12分)
已知数列{an}各项都是正数，a1=1，对任意n∈N*都有a12+a22+…+an2=an+12−13.数列{bn}满足b1=1，bn+bn+1=2n+1(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)数列{cn}满足cn=bna2n+1，数列{cn}的前n项和为Tn，若不等式4×3n+9λ<3n+2Tn对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx+12x2，g(x)=(a+1)x−4．
(Ⅰ)当a=−2时，求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)是否存在实数a(a>1)，使得对任意的x∈[1e,e]，恒有f(x)答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，
则a2+a3+a7=3a1+9d=3(a1+3d)=3a4=12．
故选：C．
根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：在等差数列{an}中，S5，S10−S5，S15−S10成等差数列，
所以2(S10−S5)=S5+S15−S10，
则2×(50−10)=10+S15−50，
即S15=120．
故选：D．
根据等差数列前n项和的性质可得S5，S10−S5，S15−S10成等差数列，即可求得S15的值．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由已知可得f′(x)=a−1(x+1)2，
因为函数f(x)=ax+1x+1在(−1,1)上为减函数，
所以f′(x)=a−1(x+1)2≤0在(−1,1)上恒成立，
所以a≤1，
而当a=1时，f′(x)恒为0，此时f(x)=1(x≠−1)，不具有单调性，
所以a<1，即实数a的取值范围是(−∞,1)．
故选：B．
求出导函数f′(x)=a−1(x+1)2，将问题转化为f′(x)≤0在(−1,1)上恒成立，进而得出a≤1，分析a=1不具有单调性，从而可得a<1．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查条件概率的计算方法，注意分析题意，首先明确事件之间的相互关系，属于基础题．
记“开关了10000次还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，可得P(A)、P(AB)，由条件概率的计算公式可得答案．
【解答】
解：记“开关了10000次还能继续使用”为事件A，记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B，
根据题意，易得P(A)=0.8，P(AB)=0.6，
由条件概率的计算方法，
可得PBA=P(AB)P(A)=，
故选：A．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了统计与概率有关的命题真假判断，属于基础题．
由x前系数可判断A错误；相关指数R2越大，模拟效果越好，故B项错误．结合新样本数据的方差公式可判C正确；通过正态分布计算，判断D项错误．
【解答】
解：y=−0.45x+0.6，b=−0.45，则变量y与x负相关，A项错误；
在线性回归分析中相关指数R2越大，则模型的拟合效果越好，故B项错误．
若样本数据x1，x2，⋯，x10的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的方差为22×2=8，C项正确；
因为X服从正态分布N(3,σ2)，P(X≤4)=0.64，
则P(2≤X≤3)=P(3≤X≤4)=P(X≤4)−0.5=0.14，故D项错误；
故选：C．
6.【答案】B
【解析】解：(1)当a>0时，
当−1a时，f′(x)>0，
则f(x)在x=a处取到极小值，不符合题意；
(2)当a=0时，函数f(x)无极值，不符合题意；
(3)当−1当−10，当x>a时，f′(x)<0，
则f(x)在x=a处取到极大值，符合题意；
(4)当a=−1时，f′(x)≤0，函数f(x)无极值，不符合题意；
(5)当a<−1时，
当x0，
则f(x)在x=a处取到极小值，不符合题意；
综上所述−1故选：B．
讨论a的正负，以及a与−1的大小，分别判定在x=a处的导数符号，从而确定是否在x=a处取到极大值，从而求出所求．
本题主要考查了函数在某点取得极值的条件，解题的关键是分类讨论的数学思想，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，设P(x,0)，Q(x+1,0)，利用坐标表示向量，计算向量的数量积，由此求出最小值．
【解答】
解：以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
则D(2, 3)，不妨设P(x,0)，Q(x+1,0)，则0≤x≤3；
所以DP=(x−2,− 3)，DQ=(x−1,− 3)，
DP⋅DQ=(x−2)(x−1)+3=x2−3x+5=(x−32)2+114，
当x=32时，DP⋅DQ取得最小值为114．
故选：D．
8.【答案】B
【解析】解：依题意，f(x)=ex−2+e2−x+2x2−8x+7=ex−2+e2−x+2(x−2)2−1，
故f(x+2)=ex+e−x+2x2−1=g(x)，
g′(x)=ex−e−x+4x>0在(0,+∞)上恒成立，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又函数g(x)为偶函数，则在(−∞,0)上单调递减，
故f(2x+3)>f(x+2)⇔g(2x+1)>g(x)⇔g(|2x+1|)>g(|x|)⇔|2x+1|>|x|⇔3x2+4x+1>0⇔x>−13或x<−1，
故不等式f(2x+3)>f(x+2)的解集为(−∞,−1)∪(−13,+∞)．
故选：B．
依题意，f(x)=ex−2+e2−x+2x2−8x+7=ex−2+e2−x+2(x−2)2−1，故f(x+2)=ex+e−x+2x2−1=g(x)，可知函数g(x)为偶函数，且在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，利用单调性即可求解．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查了等比数列的通项公式，数列的单调性的判断及应用，属于中档题．
由已知结合等比数列的通项公式先求出公比q，进而可求通项公式，然后结合选项即可判断．
【解答】
解：等比数列{an}的各项均为正数，a1=20，2a6+a5−a4=0，
设等比数列{an}的公比为q(q>0)，
所以2q2a4+qa4−a4=0，即2q2+q−1=0，
因为q>0，所以q=12或q=−1(舍)，
所以数列{an}为单调递减数列，故A错误，B正确；
因为an=20×(12)n−1=402n，
易得a5>1，a6<1，
所以Tn的最大值为T5，故C正确，D错误．
故本题选BC．
10.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查了二项式展开式的二项式系数的最值问题，属于中档题．
根据选项分别令n=9，10，11，12，验证是否符合题意，进而可以求解．
【解答】
解：当n为偶数时，若n=10时，第6项的二项式系数最大，B正确，
若n=12时，第7项的二项式系数最大，D错误，
当n为奇数时，若n=9时，第5项或第6项的二项式系数最大，满足题意，A正确，
若n=11时，第6项或第7项的二项式系数最大，满足题意，C正确，
故选：ABC．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了导数的新定义问题，导数运算，及中值定义，属于中档题．
对每个函数，根据中值定义去解方程可得解的个数．
【解答】
解：对于A，f′(x)=csx，由sin2−sin(−2)=csξ×[2−(−2)]，
得csξ=sin22，根据余弦函数的图象知，在[−2,2]内有两个ξ值满足，
故函数f(x)=sinx在[−2,2]上有两个中值点；
对于B，f′(x)=ex，由e2−e−2=eξ[2−(−2)]，得eξ=e2−1e24，
根据指数函数的单调性知，此方程只有一解，故函数f(x)=ex在[−2,2]上只有一个中值点；
对于C，f′(x)=1x+3，由ln5−ln1=1ξ+1[2−(−2)]，得，ξ=4ln5−1，
故函数f(x)=ln(x+1)在[−2,2]上只有一个中值点；
对于D，f′(x)=3x2−1，由(23−2+1)−[(−2)3−(−2)+1]=(3ξ2−1)[2−(−2)]，
得ξ2=43，ξ=±2 33，故函数f(x)=x3−x+1在[−2,2]上有两个中值点．
故选：AD．
12.【答案】ABC
【解析】解：f(x)=sinx−csx，x∈[0,+∞)，则f′(x)=csx+sinx，x∈[0,+∞)，
设切点坐标(xn,f(xn))，则切线斜率k=f′(xn)=csxn+sinxn，
则sinxn−csxn−0xn−0=csxn+sinxn，
整理得xn=sinxn−csxncsxn+sinxn=tanxn−11+tanxn=tan(xn−π4)，
则选项BC错误；
由[f(xn)]2=(sinxn−csxn)2=2sin2(xn−π4)=2sin2(xn−π4)sin2(xn−π4)+cs2(xn−π4)=2tan2(xn−π4)1+tan2(xn−π4)=2xn21+xn2，则选项D判断正确；
若|f(xn)|=1，则2xn21+xn2=1，则xn=1，这与题意矛盾，故选项A判断错误．
故选：ABC．
先依据题给条件求得xn=tan(xn−π4)，从而得到选项BC判断焟误；再依据题给条件求得[f(xn)]2=2xn2xn2+1，进而得到选项A判断错误，选项D判断正确．
本题考查导数的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
13.【答案】1
【解析】解：因为s=7t2−13t+8，
所以s′=14t−13，
由题意得14t0−13=1，
故t0=1．
故答案为：1．
先对已知方程求导，结合已知瞬时速率的含义代入可求．
本题主要考查了导数的求解，属于基础题．
14.【答案】63
【解析】解：an+1=an2−an−1+2anan−1+1=(an+1)2−(an+1+1)an−1+1，可得(an+1+1)(an−1+1)=(an+1)2，
可得数列{an+1}为等比数列，公比q=a3+1a2+1=42=2．
∴an+1=(a2+1)×qn−2．
∴a7+1=2×25，解得a7=63．
故答案为：63．
an+1=an2−an−1+2anan−1+1=(an+1)2−(an+1+1)an−1+1，可得(an+1+1)(an−1+1)=(an+1)2，再利用等比数列的通项公式即可得出．
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】{x|−13【解析】解：由题意可知，函数f(x)的定义域为R，
又f(−x)=2023−x+12023−x−1(−x)2+3=12023x+2023x−1x2+3=f(x)，
所以，函数f(x)为偶函数，
当x≥0时，f′(x)=2023xln2023+12023xln12023+2x(x2+3)2=(2023x−2023−x)ln2023+2x(x2+3)2≥0，
且f′(x)不恒为零，
所以函数f(x)在[0,+∞)上为增函数，
由f(x+1)>f(2x)可得f(|x+1|)>f(|2x|)，则|x+1|>|2x|，可得(x+1)2>4x2，
整理可得(3x+1)(x−1)<0，解得−13故答案为：{x|−13根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查不等式的解法，函数的奇偶性和单调性之间的关系，综合考查函数性质的应用．
16.【答案】解：(1)证明：∵an+1−3an+2an−1=1(n⩾2,n∈N*)，
得an+1−2an−an+2an−1=1，∴(an+1−an+1)=2(an−an−1+1)，
∵a1=1，a2=4，a2−a1+1=4.∴数列{an+1−an+1}是以公比为2，首项为4的等比数列．
故数列{an+1−an+1}是等比数列．
(2)由(1)得an+1−an+1=4×2n−1，则an+1−an=4×2n−1−1．
∴当n≥2时，an=(an−an−1)+(an−1−an−2)+⋯+(a2−a1)+a1
=2n−1+2n−1−1+⋯+22−1+1=2n+2n−1+⋯+22−(n−1)+1
=4(2n−1−1)2−1−n+2=2n+1−n−2，当n=1时，a1=1也符合，∴an=2n+1−n−2，，n∈N*，
∴Sn=2n+1+2n+2n−1+⋯+22−1+2+3+⋯+n−2n
=4(2n−1)2−1−n(n+1)2−2n=2n+2−n2+5n2−4．
【解析】本题主要考查学生对数列中累加法以及分组求和法、相关数列求和的公式的运用，属于中档题．
(1)将an+1−3an+2an−1=1中的3an分解为2an及an，移项得(an+1−an+1)=2(an−an−1+1)得数列{an+1−an+1}是以2为公比，4为首项的等比数列．
(2)由(1)得an+1−an+1=4×2n−1 通过累加法可以得到{an}的通项公式，再通过分组求和算出{an}的前n项和．
17.【答案】解：(1)f(x)=13x3−x2−3x+1，f′(x)=x2−2x−3，
从而f(0)=1，f′(0)=−3，
因此，函数f(x)点x=0处的切线方程为：y=−3x+1．
(2)令f′(x)=x2−2x−3=0，得x=−1或x=3．
则当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表
∴函数f(x)的单调递增区间是(−∞,−1)，(3,+∞)，
函数f(x)的单调递减区间是(−1,3)；
当x=−1时，f(x)取得极大值，极大值为83；
当x=3时，f(x)取得极小值，极小值为−8．
【解析】(1)直接利用函数的导数的几何意义，求出直线的方程；
(2)利用函数的导数求出函数的单调区间和函数的极值．
本题考查的知识要点：函数的导数的几何意义，函数的导数和单调区间和极值的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意，C的焦点为F(p2,0)，准线l：x=−p2，
由△FOM外接圆的圆心在OF的垂直平分线上，
所以外接圆的圆心横坐标为p4，
又因为△FOM外接圆的圆心到准线的距离为32，
所以p4+p2=32，
所以p=2，
所以抛物线的方程为y2=4x．
(2)设直线l的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，y=k(x−1)y2=4x⇒k2x2−(2k2+4)x+k2=0
由韦达定理得x1+x2=2k2+4k2,x1⋅x2=1，
因为AF⊥x轴，则S△APQ=12×|AF|×|x1−x2|=|x1−x2|，|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2=4 k2+1k4=4 1k2+1k4
因为12≤k≤2，令t=1k2，
所以14≤t≤4,S△APQ=4 t2+t，
所以516≤t2+t≤20，即 5≤4 t2+t≤8 5，
所以△APQ得面积的取值范围为[ 5,8 5]．
【解析】(1)求出外接圆的圆心横坐标为p4，利用△FOM外接圆的圆心到准线的距离为32，求出p=2，得到抛物线的方程．
(2)设直线l的方程为y=k(x−1)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，y=k(x−1)y2=4x⇒k2x2−(2k2+4)x+k2=0，由韦达定理，结合弦长公式，求解三角形的面积的表面积，利用而城市的性质求解范围即可．
本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，范围问题的求法，考查转化思想以及计算能力．
19.【答案】证明：(1)如图，

连接AC，交BD于点M，取CF的中点N，连接MN，NE．
因为底面ABCD是正方形，所以M是AC的中点，所以MN/​/AF，MN=12AF．
又AF/​/DE，AF=2DE，所以MN/​/DE，MN=DE，
故四边形MNED是平行四边形，则BD/​/NE．
又BD⊄平面CEF，NE⊂平面CEF，所以BD/​/平面CEF．
解：(2)设该多面体的体积为V，则V=VC−ABF+VC−ADEF．
因为AF⊥底面ABCD，所以AF⊥BC，
又AB⊥BC，AF∩AB=A，所以BC⊥平面ABF，同理可得CD⊥平面ADEF．
因为AF=AB=4，所以S△ABF=12×4×4=8，所以VC−ABF=13S△ABF⋅BC=323．
因为DE=12AF=2，所以SADEF=12×(2+4)×4=12，所以VC−ADEF=13SADEF⋅CD=16．
故该多面体的体积V=323+16=803．
【解析】(1)连接AC，交BD于点M，取CF的中点N，连接MN，NE，由四边形MNED是平行四边形，得BD|NE，即可证明BD|平面CEF；
(2)分别计算VC−ABF，VC−ADEF，再由V=VC−ABF+VC−ADEF计算多面体的体积即可．
本题考查多面体的体积，考查学生的空间想象能力及运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)数列{an}各项都是正数，a1=1，对任意n∈N*都有a12+a22+…+an2=an+12−13，①
当n≥2时，a12+a22+…+an−12=an2−13，②
①−②可得3an2=an+12−an2，
化为an+1=2an，
由于a2=2，所以an=2n，
上式对n=1也成立，
所以an=2n−1，n∈N*；
数列{bn}满足b1=1，bn+bn+1=2n+1(n∈N*)，
可得b2=3−b1=2，
当n≥2时，bn−1+bn=2n−1，又bn+bn+1=2n+1，
两式相减可得bn+1−bn+1=2，
所以{bn}的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列，
可得奇数项为1，3，5，7，...，2n−1，...，偶数项为2，4，6，...，2n，...，
所以bn=n；
(2)cn=bna2n+1=n⋅(12)2n，
Tn=1⋅14+2⋅116+3⋅164+...+n⋅(12)2n，
14Tn=1⋅116+2⋅164+...+n⋅(12)2n+2，
两式相减可得34Tn=14+116+...+(12)2n−n⋅(12)2n+2
=14(1−14n)1−14−n⋅(12)2n+2，
化为Tn=49−3n+49⋅14n，
若不等式4×3n+9λ<3n+2Tn对一切n∈N*恒成立，
即为−9λ>(3n+4)⋅(34)n恒成立，
设dn=(3n+4)⋅(34)n，
dn+1dn−1=(3n+7)⋅(34)n+1(3n+4)⋅(34)n−1=9n+2112n+16−1=−3n+512n+16，
当n=1时，d2>d1，当n≥2时，dn+1所以n=2时，dn取得最大值458，
则−9λ>458，解得λ<−58，
即λ的取值范围是(−∞,−58).
【解析】(1)由数列的递推式，结合等比数列和等差数列的定义、通项公式，可得所求；
(2)由等比数列的求和公式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立思想，结合数列的单调性，计算可得所求范围．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=−2lnx+12x2，f′(x)=−2x+x(x>0). …(3分)
∵f(1)=12，∴切点为(1,12)，切线斜率k=f′(1)=−1．
∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+2y−3=0. …(6分)
(Ⅱ)f(x)令h(x)=f(x)−g(x)=alnx+12x2−(a+1)x+4，
则h′(x)=ax+x−(a+1)=x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(x>0). …(9分)
(1)若a≥e，则当x∈[1e, 1]时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈[1,e]时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
∴h(x)的最大值为h(1)=−a+72<0，∴a>72. …(11分)
(2)若10，h(x)单调递增；
当x∈[1,a]时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈[a,e]时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
∴h(x)的最大值为max{h(1),h(e)}，从而h(1)<0h(e)<0. …(13分)
其中，由h(1)<0，得a>72，这与1综合(1)(2)可知：当a>72时，对任意的x∈[1e, e]，恒有f(x)【解析】(I)先对函数求导，然后可求y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率，即可求出切线方程
(II)构造函数h(x)=f(x)−g(x)，由题意可得h(x)在x∈[1e, e]上的最大值小于0.利用导数可判断h(x)的单调性，进而可求h(x)的最大值，即可
本题考查了导数与极值之间的关系，导数几何意义的应用，以及函数与不等式之间的相互转化，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．x
(−∞,−1)
−1
(−1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
递增
83
递减
−8
递增