2022-2023学年河南省焦作一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省焦作一中高二（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2,3,5,6}，B={x|x=2n,n∈N}，则A∩B=( )
A. {2,6}B. {0,1,2}C. {0,2,6}D. {0,2,3,6}
2.若复数z满足z(1−i)=3+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.若双曲线E：x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=7，则|PF2|等于( )
A. 1B. 13C. 1或13D. 15
4.若变量x，y满足约束条件2≤x+y≤6,4≤x−y≤6,则z=x−2y的最小值为( )
A. −8B. −3C. 3D. 8
5.已知x>0，y>0，且4x+9y−xy=0，x+y的最小值为( )
A. 25B. 18C. 13D. 12
6.第24届冬奥会于2022年02月04日～2022年02月20日在我国北京市和张家口市联合举行.为了解某校中小学生对冬奥会参赛项目的熟知程度，从该校3000名学生中，利用分层随机抽样的方法抽取100人进行调查，若小学、初中、高中的学生人数如表：
则从高中生中应抽取的人数为( )
A. 25B. 30C. 35D. 40
7.函数f(x)=x32x+2−x的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
8.设各项为正的等比数列{an}的公比q≠1，且a3，a5，a6成等差数列，则a3+a5a4+a6的值为( )
A. 5+12B. 5−12C. 12D. 2
9.已知2x2+3y2=6，则x+y的最大值为( )
A. 1B. 2 3C. 5D. 6
10.已知点F1，F2为椭圆x24+y22=1的左、右焦点，过点F1与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，则三角形ABF2的内切圆的半径为( )
A. 22B. 1C. 2D. 2
11.已知函数f(x)=x+2x，g(x)=x+lnx，h(x)=x− x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x112.已知α，β是三次函数f(x)=13x3+12ax2+2bx的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则b−2a−1的取值范围是
。( )
A. (14,1)B. (12,1)C. (−12,14)D. (−12,12)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量a=(1,1),b=(λ,2)，若a⊥(a+b)，则λ= ．
14.若关于x的不等式|ax−2|<3的解集为{x|−5315.已知数列{an}为等差数列，a2+a3+a10+a11=48，则S12= ______．
16.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线(其中i是正整数).设黑“电子狗”爬完2008段、黄“电子狗”爬完2009段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 ．
三、解答题：本题共5小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
在等差数列{an}中，设前n项和为Sn，已知a1=2，S4=26．
(1)求{an}的通项公式；
(2)令bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
已知f(x)=|x−1|+2|x+1|．
(1)解不等式f(x)≥5；
(2)若f(x)≥−x2+m恒成立，求整数m的最大值．
19.(本小题12分)
在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=1+csαy=sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足|OA|⋅|OB|=8，点B的轨迹为C2．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)设点C的极坐标为(2,π2)，求△ABC面积的最小值．
20.(本小题12分)
己知函数f(x)=(x−a)lnx(a∈R)，它的导函数为f′(x)．
(1)当a=1时，求f′(x)的零点；
(2)若函数f(x)存在极小值点，求a的取值范围．
21.(本小题12分)
如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的下方)，且|MN|=3．
(Ⅰ)求圆C的方程；
(Ⅱ)过点M任作一条直线与椭圆x28+y24=1相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={0,1,2,3,5,6}，
B={x|x=2n,n∈N}，
∴A∩B={0,2,6}．
故选：C．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵z(1−i)=3+i，
∴z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=1+2i，
∴z−=1−2i，
∴z的共轭复数在复平面内对应的点(1,−2)位于第四象限．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
本题主要考查合复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：双曲线E：x29−y216=1的左右焦点分别为F1，F2，
点P在双曲线E上，且|PF1|=7，a=3，b=4，c=5.点P在双曲线E左支上．
则|PF2|=2a+|PF1|=6+7=13．
故选：B．
利用双曲线的定义真假求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，判断点的位置是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立x−y=4x+y=6，解得A(5,1)，由z=x−2y，
得y=x2−z2，由图可知，当直线y=x2−z2过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最小值为5−2×1=3．
故选：C．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
先把已知等式变形，然后利用乘1法结合基本不等式可求．
【解答】
解：因为x>0，y>0，且4x+9y−xy=0，
所以4y+9x=1，x>0，y>0，
所以x+y=(x+y)(4y+9x)=13+4xy+9yx≥13+2 4xy⋅9yx=25，
当且仅当4xy=9yx，且4y+9x=1时取等号，即x=15，y=10．
故本题选A．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可得，高中生的人数为a=3000−1200−1050=750，
则从高中生中应抽取的人数为100×7503000=25．
故选：A．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性和变换趋势的分析，属于基础题．
根据题意，由函数的奇偶性排除BD，再分析函数的变换趋势，排除C，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)=x32x+2−x，
其定义域为R，有f(−x)=−x32x+2−x=−f(x)，
函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，
当x→+∞时，f(x)→0，排除C，
故选：A．
8.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的通项公式，是一道基础题．
由等比数列的第3，5及6项成等差数列，根据等差数列的性质得到第5项的2倍等于第3项加上第6项，然后利用等比数列的通项公式化简后，得到关于q的方程，根据q不等于1且各项为正，求出方程的解即可得到满足题意q的值，进而把所求的式子也利用等比数列的通项公式化简后，得到关于q的式子，把q的值代入即可求出值．
【解答】
解：由a3、a5、a6成等差数列，得到2a5=a3+a6，
则2a1q4=a1q2+a1q5，由a1≠0，q≠0，得到2q2=1+q3，
可化为：(q−1)(q2−q−1)=0，又q≠1，
∴q2−q−1=0，解得：q=1+ 52或q=1− 52(小于0，不合题意，舍去)，
则a3+a5a4+a6=a3+a5q(a3+a5)=1q= 5−12．
故选B．
9.【答案】C
【解析】解：由条件可知：x23+y22=1．
设x= 3csθ，y= 2sinθ．
则x+y= 3csθ+ 2sinθ= 5cs(θ−φ)，其中tanφ= 62．
所以x+y的最大值为 5．
故选：C．
利用参数方程的意义，转化为三角函数求最大值问题．
本题主要考查参数方程，以及三角恒等变换求最值，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】【分析】
由椭圆的方程可得左右焦点的坐标，再由由题意可得A，B的坐标，进而求出△ABF2的面积，设内切圆的半径r，由内切圆的圆心分三角形成3个小三角形，由面积相等可得r的值．
本题考查椭圆的性质及圆的半径的求法，属于中档题．
【解答】
解：由椭圆的方程可得a=2，b= 2，
所以可得左焦点F1(− 2,0)，右焦点F2( 2,0)，
因为过点F1且垂直于x轴的直线与椭圆C相交于A，B，
所以xA=xB=− 2，yA=−yB=b2a=1，
即A(− 2,1)，B(− 2,−1)，
所以S△ABF2=12|AB|⋅2 2=2 2，
|AF2|=|BF2|= (2 2)2+12=3，
设内切圆的半径为r，则12(|AB|+|AF2|+|BF2|)⋅r=S△ABF2，
可得12(3+3+2)⋅r=2 2，所以可得r= 22，
故选：A．
11.【答案】A
【解析】解：f(x)=x+2x的零点必定小于零，g(x)=x+lnx的零点必位于(0,1)内，
函数h(x)=x− x−1的零点必定大于1．
因此，这三个函数的零点依次增大，
故x1故选：A．
利用估算方法，将各函数的零点问题确定出大致区间进行零点的大小比较即可．
本题主要考查函数零点比较大小，属于基础题．
12.【答案】A
【解析】解：∵函数f(x)=13x3+12ax2+2bx
∴f′(x)=x2+ax+2b
又∵α∈(0,1)，β∈(1,2)，
∴f′(0)=2b>0f′(1)=1+a+2b<0f′(2)=4+2a+2b>0
其对应的平面区域如下图所示：
由图可得：当a=−3，b=1时，b−2a−1取最小值14；
当a=−1，b=0时，b−2a−1取最大值1；
故选A
由已知中α，β是三次函数f(x)=13x3+12ax2+2bx的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，我们易得f′(x)=x2+ax+2b的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)上，由零点存在定理，我们易构造关于a，b的不等式组，将问题转化为一个线性规划问题，分析b−2a−1的几何意义，即可根据数形结合求出答案．
本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，其中根据函数在某点取得极值的条件，将问题转化为函数的零点问题，再根据零点存在定理，将问题转化为线性规划问题是解答本题的关键．
13.【答案】−4
【解析】【分析】
本题主要考查向量垂直的性质，考查数量积的应用，属于基础题．
根据已知条件，先求出a+b的坐标，再结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】
解：∵a=(1,1),b=(λ,2)，
∴a+b=(1+λ,3)，
∵a⊥(a+b)，
∴1×(1+λ)+1×3=0，解得λ=−4．
故答案为：−4．
14.【答案】−3
【解析】【分析】
本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
由题意可得−53和13是|ax−2|=3的两个根，将|ax−2|=3左右两边同时平方可得(ax−2)2=9，由韦达定理可得a的值．
【解答】
解：∵关于x的不等式|ax−2|<3的解集为{x|−53∴−53和13是|ax−2|=3的两个根，∴(ax−2)2=9，即a2x2−4ax−5=0．
由韦达定理可得：−53+13=4aa2−53×13=−5a2，解得a=−3．
故答案为：−3．
15.【答案】144
【解析】解：数列{an}为等差数列，a2+a3+a10+a11=48，
∴a2+a3+a10+a11=2(a1+a12)=48，
∴a1+a12=24，
则S12=122(a1+a12)=6×24=144．
故答案为：144．
利用等差数列通项公式求出a1+a12=24，由此能求出S12=122(a1+a12)的值．
本题考查等差数列的运算，考查等差数列的通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于基础题．
先根据题意得到黑“电子狗”与黄“电子狗”经过几段后又回到起点得到周期，再计算黑“电子狗”爬完2008段后实质是到达哪个点以及计算黄“电子狗”爬完2009段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可．
【解答】
解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，黄“电子狗”爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA．
所以黑“电子狗”爬完2008段后实质是到达第四段的终点C，
黄“电子狗”爬完2009段后到达第五段的终点D.此时的距离为|CD|=1．
故答案为1．
17.【答案】解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
则S4=4a1+4×32d=26，解得d=3，
所以an=a1+(n−1)d=2+(n−1)×3=3n−1．
(2)bn=1anan+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，
所以Tn=13(12−15+15−18+……+13n−1−13n+2)=13(12−13n+2)=n2(3n+2)．
【解析】(1)先根据等差数列的前n项和公式求得d，再由等差数列的通项公式，得解；
(2)根据裂项求和法，即可得解．
本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式，裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(x)=|x−1|+2|x+1|=−3x−1,x≤−1x+3,−1所以x≤−1−3x−1≥5，或−1解得x≤−2，或⌀，或x≥43，
所以不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤−2或x≥43}.
(2)f(x)≥−x2+m恒成立，等价于f(x)+x2≥m恒成立，
令g(x)=f(x)+x2=x2−3x−1,x≤−1x2+x+3,−1当x≤−1时，g(x)=(x−32)2−134在(−∞,−1]单调递减，
当−1在(−12,1)上单调递增，
当x≥1时，g(x)=(x+32)2−54在[1,+∞)上单调递增，
又(−1−32)2−134=(−1+12)2+114，(1+32)2−54=(1+12)2+114，
所以g(x)在(−∞,−12)上单调递减，在[−12,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(−12)=114，
所以m≤114，即整数m的最大值为2．
【解析】(1)利用三段法求解绝对值不等式；
(2)转化为f(x)+x2≥m恒成立，构造g(x)=f(x)+x2，求出其单调性和最小值，从而得到m≤114，求出整数m的最大值．
本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．
19.【答案】解：(1)∵曲线C1的参数方程为x=1+csαy=sinα(α为参数)，
∴曲线C1的普通方程为x2+y2−2x=0，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ=2csθ．
设B的极坐标为(ρ,θ)，点A的极坐标为(ρ0,θ0)，
则|OB|=ρ，|OA|=ρ0，ρ0=2csθ0，θ=θ0，
∵|OA||OB|=8，∴ρ⋅ρ0=8，
∴8ρ=2csθ，ρcsθ=4，
∴C2的极坐标方程为ρcsθ=4
(2)由题意知|OC|=2，
S△ABC=S△OBC−S△OAC=12|OC||ρBcsθ|=|4−2cs2θ|，
当θ=0时，S△ABC取得最小值为2．
【解析】(1)先将C1化成直角坐标方程，再化成极坐标方程；C2的极坐标方程为ρcsθ=4；
(2)由题意知|OC|=2，S△ABC=S△OBC−S△OAC=12|OC||ρBcsθ|=|4−2cs2θ|，当θ=0时，S△ABC取得最小值为2．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a=1时，f(x)=(x−1)lnx，f′(x)=lnx+1−1x．
易知f′(x)=lnx+1−1x为(0,+∞)上的增函数，
又f′(1)=ln1+1−1=0，所以x=1是f′(x)的零点．
(2)f′(x)=x−ax+lnx=1−ax+lnx，
令g(x)=1−ax+lnx，则g′(x)=ax2+1x=x+ax2．
①当a=0时，f′(x)=1+lnx，令f′(x)>0，得x>1e；令f′(x)<0，得0所以f(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，符合题意．
②当a>0时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递增．
又g(1e)=−ae<0，g(ea)=1−aea+a=1+a(1−1ea)>0，
所以g(x)在(0,+∞)上恰有一个零点x0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)=g(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，f′(x)=g(x)>0，
所以x0是f(x)的极小值点，符合题意．
③当a<0时，令g′(x)=0，得x=−a．
当x∈(0,−a))时，g′(x)<0；当x∈(−a,+∞)时，g′(x)>0，
所以g(x)min=g(−a)=2+ln(−a)．
若g(−a)=2+ln(−a)≥0，即当a≤−e−2时，f′(x)=g(x)≥g(−a)≥0恒成立，
即f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值点，不符合题意．
若g(−a)=2+ln(−a)<0，即当−e−20，
所以g(−a)⋅g(1−a)<0，即g(x)在(−a,+∞)上恰有一个零点x1，且当x∈(−a,x1)时，f′(x)=g(x)<0；当x∈(x1+∞)时，f′(x)=g(x)>0，
所以x1是f(x)的极小值点，符合题意．
综上，可知a>−e−2，即a的取值范围为(−e−2,+∞)．
【解析】(1)当a=1时，f(x)=(x−1)lnx，f′(x)=lnx+1−1x.易知x=1是f′(x)的零点．
(2)令g(x)=1−ax+lnx，则g′(x)=ax2+1x=x+ax2.分a>0，a<0，a=0讨论即可．
本题考查了函数零点、极值，考查了分类讨论思想、转化思想，属于难题．
21.【答案】解：(Ⅰ)设圆C的半径为r(r>0)，依题意，圆心坐标为(2,r)．
∵|MN|=3，∴r2=(32)2+22，解得r2=254，
故圆C的方程为(x−2)2+(y−52)2=254．
(Ⅱ)把x=0代入方程(x−2)2+(y−52)2=254，解得y=1或y=4，
即点M(0,1)，N(0,4)．
(1)当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．
(2)当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．
联立方程y=kx+1x2+2y2=8，消去y得，(1+2k2)x2+4kx−6=0．
设直线AB交椭圆Γ于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，
则x1+x2=−4k1+2k2，x1x2=−61+2k2．
∴kAN+kBN=y1−4x1+y2−4x2=kx1−3x1+kx2−3x2=2kx1x2−3(x1+x2)x1x2=0，
∴∠ANM=∠BNM．
综上所述，∠ANM=∠BNM．
【解析】(Ⅰ)设圆C的半径为r(r>0)，依题意，圆心坐标为(2,r)，根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．
(Ⅱ)把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得KAB+KBN=0，可得∠ANM=∠BNM．
本题考查了圆的标准方程求法以及圆锥曲线问题中韦达定理的应用，弦长公式，是综合类的题目，考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决此题的关键，属于中档题．小学生
初中生
高中生
1200
1050
a