2024届高二下学期数学开学摸底考（新高考地区）02数学试题及答案

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高二数学开学摸底考（新高考地区）02
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
考试范围：选择性必修第一册+数列
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为，关于z轴的对称点为，则等于( )．
A．8B．12C．16D．19
【答案】A
【解析】由题可知∴，故选A
2．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于( )
A．B．－
C．－D． 或－
【答案】D
【解析】根据点到直线的距离公式得：，解得m＝或－，故选D.
3．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，设抛物线方程为，得，即，
所以抛物线的标准方程为，故选B.
4．如图，在三棱锥中，设，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，
，故选A
5．“”是“为椭圆方程”是
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意有,解得,故选.
6．若圆C1:x2 + y2 = 1与圆C2:x2 + y2 - 8x - 6y + m = 0内切，则m =（ ）
A．25B．9C．- 9D．- 11
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径为（），
由于两圆内切，所以，即，即，
（无解）或，解得，故选D
7．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设双曲线的方程为，
则，因为AB＝BC＝CD，
所以，所以，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以在双曲线上，
代入可得，解得，
所以双曲线的离心率为，故选D
8．已知数列{an}满足a1＝60，an＋1－an＝2n，则的最小值为（ ）
A．B．29C．102D．
【答案】A
【解析】因为an＋1－an＝2n，所以当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝60＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)＋60＝n2－n＋60，所以＝n＋－1，令f(x)＝x＋ (x≥2)，由对勾函数性质可知，f(x)在区间[2,2)上递减，在区间(2，＋∞)上递增，又7＜2＜8，n为正整数，所以时，数列{an}是递减数列，时，{an}是递增数列.又当n＝7时，7＋－1＝；当n＝8时，8＋－1＝，且＜ ＜，所以的最小值为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．
9．以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为
B．直线的倾斜角的范围是
C．直线与直线之间的距离是
D．直线过定点
【答案】BD
【解析】对于A，当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设方程为，
则，解得，
所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或，故A错误；
对于B，直线的斜率，
所以倾斜角的范围是，故B正确；
对于C，直线，即为，
故直线与直线之间的距离为，故C错误；
对于D，直线，即为，
令，解得，
所以直线过定点，故D正确.
故选：BD.
10．若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线E可能为抛物线B．当时，曲线E为圆
C．当或时，曲线E为双曲线D．当时，曲线E为椭圆
【答案】BC
【解析】曲线E的方程为：，显然且，
对于A，因为不论取符合条件的任何实数，曲线E的方程都不符合抛物线方程的特征，因此曲线E不可能为抛物线，A错误；
对于B，当时，曲线E的方程为：，曲线E为圆，B正确；
对于C，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在y轴上的双曲线，
当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在x轴上的双曲线，
因此当或时，曲线E为双曲线，C正确；
对于D，因为当时，曲线E为圆，因此当时，曲线E不一定为椭圆，D错误.
故选：BC
11．关于空间向量，下列说法正确的是（ ）
A．直线l的方向向量为，直线m的方向向量，则
B．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．若对空间内任意一点O，都有，则P，A，B，C四点共面
【答案】AD
【解析】对于A，直线l的方向向量为，直线m的方向向量，
由，则，故正确
对于B，直线l的方向向量为，平面的法向量为，
所以，则，故错误；
对于C，平面，的法向量分别为，，
所以，，则，故错误；
对于D，，得，则P，A，B，C四点共面，故正确.
故选：AD.
12．设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ）
A．B．
C．为常数D．为等比数列
【答案】ACD
【解析】设公比为，则，解得，故，
则，.
对A，，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，为常数，故C正确；
对D，，，故为等比数列，故D正确；
故选：ACD
填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分
13.已知向量的夹角的余弦值为，则
【答案】
【解析】由题意可得，
所以．
14．已知直线与圆：交于，两点，写出满足“是等边三角形”的的一个值： .
【答案】（或，答案不唯一）
【解析】
因为是等边三角形，所以，
设圆心到直线的距离为，
则根据弦长公式可得：，解得：.
即，解得.
15．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第三天走的路程为 .
【答案】48
【解析】设第一天走了x里，
由题意得，每天走的路程构成以x为首项，以为公比的等比数列，
因为此人6天共走了378里路，
所以，即，
解得，
所以此人第三天走的路程为，
16．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．今有抛物线(如图)一条平行x轴的光线射向C上一点P点，经过C的焦点F射向C上的点Q，再反射后沿平行x轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是4，则C的方程是 ．
【答案】
【解析】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，
当直线斜率不存在时，易得；
当直线斜率存在时，设的方程为，，
由，得，整理得，
所以，
所以；
综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为，故，
所以抛物线方程为．
四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分）已知函数与轴交于两点，与轴交于点，圆心为的圆恰好经过三点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆与直线交于两点，且线段，求的值.
【解析】（1）由题意与坐标轴交点为，
设圆的方程：，
代入点，则，
得，所以圆的方程为：.
（2）由题意，设圆心到直线距离为，则，
所以，得.
18．(本小题满分12分）在等比数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）设等比数列的公比为
因为，
所以，
解得，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）得，
所以，
，
由得，
即
所以．
19．(本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，，E为BC的中点，现将与折起，使得平面BAE及平面DCE都与平面ADE垂直.

(1)求证：平面ADE；
(2)求钝二面角的余弦值.
【解析】（1）分别取AE，DE的中点M，N，连接BM，CN，MN.
，，.
平面BAE与平面DCE都与平面ADE垂直，
平面平面，平面平面，
平面，平面，
平面，平面，.
，，，
，四边形BMNC是平行四边形，，
平面，平面，平面ADE.

（2）矩形ABCD中，，则，，
以E为原点，为轴，为轴，过平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题知，
则，，，
，.
平面，平面，，
，，平面，平面，
平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，
则取，得.
设二面角的平面角为，由图知为钝角，.
二面角的余弦值为
20．(本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因为，为的中点，所以，且．
连结．
因为，所以为等腰直角三角形，
且 ，由知．
由知，平面．
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．
由已知得
取平面的法向量．
设，则．
设平面的法向量为．
由得 ，
可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得(舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以与平面所成角的正弦值为．
21．(本小题满分12分）已知等比数列的前n项和.
(1)求数列的通项公式.
(2)若为数列的前项和，求使成立的最小正整数.
【解析】（1）因为，
所以当时，，
当时，.
因为数列为等比数列，首项也满足上式，
所以，即，得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得.
所以
令，即
所以，即，
因为，且在上单调递增，，
所以的最小值为.
故满足条件的最小正整数为.
22．(本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率是，P为椭圆上的动点.当取最大值时，的面积是
（1）求椭圆的方程：
（2）若动直线l与椭圆E交于A，B两点，且恒有，是否存在一个以原点O为圆心的定圆C，使得动直线l始终与定圆C相切？若存在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由
【解析】（1）依题意可得，
设，由余弦定理可知：，
所以，
当且仅当（即P为椭圆短轴端点）时等号成立，且取最大值；
此时的面积是，
同时，联立和
解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，
所以，，此时，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
原点O到直线1的距离为d，所以，
整理得，
由，可得，
，
，
， ，恒成立，
即恒成立 ，
所以，所以，
所以定圆C的方程是
所以当时 ， 存在定圆C始终与直线l相切 ，
其方程是.