2023-2024学年高一下学期开学摸底考（人教B版 2019）02数 学试题及答案

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．已知集合，则的子集个数为（ ）
A．4B．8C．16D．18
【答案】C
【分析】根据求出中元素个数，然后由集合子集个数公式求解即可.
【详解】因为，所以有4个元素，故子集个数为.
故选：C
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“”的否定是：.
故选：C
3．设，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性，借助中间值比较大小.
【详解】因为函数在单调递增，且，所以，即，
因为函数在单调递减，且，所以，即，
因为函数在单调递增，且，所以，即，
所以，
故选：C
4．某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）
A．300年B．255年C．175年D．125年
【答案】A
【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案．
【详解】依题意可得，
即，
所以．
故选：A．
5．某地区老年艺术团由相声队、歌咏队以及诗歌朗诵队构成，其中相声队有30人，歌咏队有45人，现按分层抽样的方式从中抽取12人参加文艺汇演，其中诗歌朗诵队被抽到6人，则该地区老年艺术团的总人数为（ ）
A．90B．120C．140D．150
【答案】D
【分析】解法一，由分层抽样列出方程，代入计算，即可得到结果；解法二：由抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，列出式子，代入计算，即可得到结果.
【详解】解法一：设该地区老年艺术团的总人数为x，由分层抽样知识可知，，解得，
故选：D．
解法二：抽取的12人中相声队、歌咏队的人数之和与诗歌朗诵队的人数相同，故所求总人数为，
故选：D．
6．如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果.
【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，
如图，，
故选：A.
7．设，则的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】B
【分析】根据分段函数的解析式，将x的值代入相应的解析式中计算，即可求得答案
【详解】由题意得，
故的值为9，
故选：B
8．已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】用分段函数表示出函数，利用函数零点的意义变形，构造函数并画出函数图象，数形结合求出的范围.
【详解】令函数，显然函数在上单调递增，
而，则当时，，当时，，
于是函数，则，
令函数，由，得，
因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标，
当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，

观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，，

当，即时，直线与函数的图象只有一个交点，
当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以函数有两个零点，实数的取值范围是.
故选：A
多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，2，5，5的平均数与中位数相同
B．数据8，2，7，3，8，3，7，8，1的众数为8
C．有甲、乙、丙三种个体按2∶3∶4的比例分层抽样调查，若抽取丙的个体数为20，则样本容量为45
D．甲组数据的标准差为，乙组数据为3，5，8，10，4，则这两组数据中较稳定的是乙组
【答案】BCD
【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A；利用众数的定义可判断B；利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C；利用方差的定义及意义可判断D.
【详解】对于A，平均数为，中位数为2，故A选项错误；
对于B，数据的众数为8，故B选项正确；
对于C，设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为45，故C选项正确；
对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是乙组，故D正确．
故选：BCD．
10．下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，则”
C．设x，，则“且”是“”的必要而不充分条件
D．设a，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【分析】根据充分、必要条件和命题的否定定义依次判断即可．
【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，
例如当时，符合，但是不符合，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
选项B，根据命题的否定的定义可知：命题“若，则”的否定是“存在，则”，故B正确；
选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；
选项D，因为b可以等于零，所以由不能推出，充分性不成立，
由可得且，故必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确．
故选：ABD．
11．设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最小值为1
C．的最大值为4D．的最小值为2
【答案】AD
【分析】根据，结合基本不等式可判断A；根据基本不等式可判断B；可判断C；根据可判断D.
【详解】对于A，因为，，
所以
，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故A正确；
对于B，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故B错误；
对于C，，当且仅当时等号成立，
所以，即的最大值为2，故C错误；
对于D，，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为2，故D正确.
故选:AD.
12．对于函数，下列判断正确的是（ ）
A．
B．函数的单调递增区间为
C．函数的值域为
D．当时，方程总有实数解
【答案】AC
【分析】A选项，计算出；B选项，举出反例；C选项，当是，变形后，由基本不等式求出最值，得到，结合函数的奇偶性得到C正确；D选项，当时，变形得到，由根的判别式得到答案.
【详解】对于A，因为，
所以，所以A正确；
B选项，，
∴在上不可能单调递增，所以错误；
C选项，当时，，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，
所以，故当时，，
由A可知，函数为奇函数，可知C正确；
对于，当时，，变形得到，
，方程无解，所以错误.
故选：AC.
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．若函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据的定义域列出不等式，求解即可.
【详解】函数的定义域为，得，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
14．若幂函数 的图象经过，则此幂函数的表达式为 .
【答案】
【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解.
【详解】由题意得，所以，解得，
所以此幂函数的表达式为.
故答案为：.
15．已知，，且，则非零向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用共线向量的定义以及向量的线性运算性质，模的定义求解.
【详解】∵，且为非零向量，∴存在实数使得成立，
又∵，∴，∴，
∴，解得或0（舍去），则非零向量的坐标为，
故答案为：.
16．已知函数为上的偶函数，当时，，则的解集为 ．
【答案】
【分析】由为偶函数，求出函数解析式，分类讨论解不等式即可.
【详解】函数为上的偶函数，当时，，
当时，，，
①当，即时，，
由，时，符合题意；
时，有，解得，此时；
时，有，解得，此时；
所以符合题意.
②当，即时，，
由，，得，解得，
所以.
综上所得，的解集为.
故答案为：
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【详解】（1）当时，集合，可得或
因为，所以；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集，
①当时，即时，满足P是Q的真子集；
②当时，即时，
满足且不能同时取等号，解得，
综上，实数a的取值范围为
18．已知关于x的不等式的解集为．
(1)求实数m的值；
(2)正实数a，b满足，求的最小值．
【详解】（1）由题意可得和2是方程的两个根，
由根与系数的关系可得，解得．
（2）正实数a，b满足，由（1）可得，
所以，
当且仅当时，结合，即时等号成立，
所以的最小值为9．
19．已知函数.
(1)根据定义证明函数在区间上单调递增
(2)求函数在区间上的最大值和最小值
【详解】（1）任取，且，
所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
所以在上单调递增；
（2）因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以，.
20．已知某医疗器械公司生产某型号的心电监测仪，生产该心电监测仪的固定成本为4万元.月产量为台，每生产一台仪器需增加投入200元，为了积极响应政府复工复产的号召，该公司准备扩大产能，当月产量不超过800台时，总收益为元，当月产量超过800台时，总收益为25万元，（注：利润=总收益-总成本）
(1)将利润表示为月产量的函数；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大?最大利润为多少?
【详解】（1）当，时，；
当，时，
，
故；
（2）当，时，
，
故当时，有最大值；
当，时，
，
综上所述，当时，公司所获利润最大，最大值利润为元.
21．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
【详解】（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
（2）由题意可知：甲生产线的样品中优等品有件.
乙生产线的样品中优等品有件.
则从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；
从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为.
从这6件产品中随机抽取2件的情况有：共15种，
其中符合条件的情况有共8种.
故所求概率.
22．已知函数，其中，记 ，且函数是偶函数.
(1)求函数的表达式：
(2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）由题知，
，
因为是偶函数，只需，故，
所以.
（2）因为，所以，
令，则在区间上恒成立，
看作在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
显然，所以在上恒成立，
因为，所以，
则在上的最大值为时，且为，
所以.