河北省石家庄平山县外国语中学2023-2024学年八年级上学期12月第三次学情评估数学试卷(含解析)

这是一份河北省石家庄平山县外国语中学2023-2024学年八年级上学期12月第三次学情评估数学试卷(含解析)，共20页。
注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1~6小题各3分，7~16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如图，挡板盖住的图形与①处的图形关于直线成轴对称，则盖住的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：根据轴对称的定义，挡板盖住的图形为A，只有A能沿直线对折后能与①能够完全重合．
故选A．
2. 在中，若，则是（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰钝角三角形
【答案】B
解析：解：在中，若，
∴
∵
∴等边三角形．
故选：B．
3. 下列结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：A、，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D、，不符合题意；
故选C．
4. 如图，在中，是角平分线． 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵，，
∴，
∵在中，是角平分线，
∴，
∴，
故选B．
5. 若点与点关于轴对称，则的值为（ ）
A. B. 9C. D. 15
【答案】A
解析：解：由题意得：，
∴
∴
故选：A
6. 若________，则横线上的式子为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：解：根据乘除法互逆运算可知，横线上的式子为
，
故选：．
7. 如图，在中，是高，下列结论不正确的是（ ）
A 与互余B.
C. D.
【答案】D
解析：解：∵是高，∴，∴与互余，正确，故本选项不符合题意；
．∵中，是高，∴，正确，故本选项不符合题意；
．∵中，是高，，∴，正确，故本选项不符合题意；
．，无法证明，故本选项符合题意；
故选：D．
8. 如图，点在同一条直线上，． 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：∵，
∴，
∴在和中，
∴，
∴，
又∵
∴，
故选：C．
9. 小王计划在街道1上建一个送奶站，向小区提供牛奶，要使小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的选址正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：选项D中：
∴当三点共线时，的值最小，满足题意；
故选：D
10. 如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（ ）
A. B.
C. D. 无法比较的大小
【答案】B
解析：∵该图是正八边形，
∴，
，
∵，
∴，
同理可证，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
11. 下图是老师出示的计算题，下列序号处的填写不正确的是（ ）
A. ①处填B. ②处填
C. ③处填D. ④处填
【答案】D
解析：解：
，
故选：．
12. 若的展开式中不含项，则展开式中的一次项系数为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
解析：解：
，
∵的展开式中不含项
∴，
∴，
∴展开式中一次项系数为．
故选：B．
13. 如图，点在内，且点到三边的距离相等，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：∵点P到三边的距离相等，
∴、、是和以及的角平分线
∴，．
∵
∴
∴
∴
∴．
故选：C．
14. 如图，在中，，要求在上找一点，使将分成两个等腰三角形． 现有如下两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
方案一：作的平分线，使其交于点；
方案二：作的垂直平分线，使其交于点
A. 两种方案都正确B. 只有方案一正确
C. 只有方案二正确D. 两种方案都不正确
【答案】A
解析：解：方案一：如图1中，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴为等腰三角形；
方案二：如图2，
∵
∴，
∵是边的垂直平分线，
∴
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
∴为等腰三角形；
故选项A正确，
故选：A．
15. 已知，下列结论①；②；③中正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
解析：∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
故②正确；
∵，，
∴，
故③正确；
故选：D．
16. 题目“如图，，在射线上取一点，设，若的形状、大小是唯一确定的，求的取值范围． ”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A. 只有甲答的对B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 乙、丙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整
【答案】B
解析：当时，此时的形状、大小是唯一确定的，
根据直角三角形的性质，得，
故甲的说法正确；
当时，以A为圆心，以d为半径的圆与射线有唯一的交点，
故此时的形状、大小是唯一确定的，
故，
故丙的说法正确；
故选B．
二、填空题（本大题共·3个小题，共10分．17小题2分，18~19小题各4分，每空2分）
17. 若正边形的每个内角是相邻外角的2倍，则的值为__________．
【答案】6
解析：设正边形的外角为n度，则每个内角是2n度，
根据题意，得，
解得，
故，
故答案为：6．
18. 如图，和均为等边三角形，点分别在上．
（1）若，则__________度；
（2）是否与全等？__________．（填“是”或“否”）
【答案】 ①. 88 ②. 是
解析：（1）∵和均为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：88．
（2）∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：是．
19. 现有3张卡片、10张卡片、6张卡片，卡片的边长如图所示，从这三种卡片中抽取若干张（每种卡片至少取一张），使其紧密地拼接成一个几何图形甲．
（1）若甲为正方形，且边长为，则取了__________张C卡片；
（2）若甲为长方形，且面积为，则满足条件的整数的值为__________．
【答案】 ①. 4 ②. 5
解析：解：（1），
卡片的面积为
∴取了4张C卡片；
（2）∵
∴或
∵只有6张卡片
∴
故答案为：①4；②5
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 计算下列各小题．
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1解析】
解：；
【小问2解析】
解：
；
【小问3解析】
解：
．
21. 按要求完成下列各小题．
（1）如图1，在四边形中，平分，求的度数；

（2）如图2，某公园绿化带内有两个喷水管，现欲在内部建一个水泵，使得水泵到的距离相等，且到两个喷水管的距离也相等，请你用尺规在图中标出水泵的位置． （不写作法，保留作图痕迹）

【答案】（1）
（2）见解析
【小问1解析】
∵在四边形中，，
．
平分，
，
．
【小问2解析】
根据题意，分别作的平分线，作线段的垂直平分线，二线交于点O，

则点O即为所求．
22. 如图，甲长方形的两边长分别为，，面积为；乙正方形的边长为，面积为． （其中为正整数）
（1）请用含的式子分别表示；当时，求的值；
（2）比较与的大小，并说明理由．
【答案】（1）； ；41
（2），理由见解析
【小问1解析】
∵长方形的两边长分别为，面积为；
∴
．
∵乙正方形的边长为，面积为，
∴．
∴
，
当时，
．
【小问2解析】
∵， ，
∴
，
∴．
23. 如图，是的两条高，且交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1解析】
∵是高，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
【小问2解析】
，
．
24. 发现：两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是4的倍数．
验证：（1）___________；
（2）设两个正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确；
拓展：（1）已知，，求的值；
（2）直接写出两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是几的倍数．
【答案】验证：（1）8；（2）；拓展：（1）8；（2）两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是4的倍数
解析：解：验证：（1）；
故答案为8；
（2）由题意得：；
拓展：（1）∵，，
∴；
（2）设两个正整数为m，n，
∴，
∴两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是4的倍数．
25. 如图，在中，是角平分线，，延长到点，使，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）判断是否垂直平分线段？并说明理由；
（3）若为线段（不与重合）上任意一点，连接，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的度数．
【答案】（1）见解析 （2）垂直平分线段，理由见解析
（3）或
【小问1解析】
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是角平分线，，，
∴，
∴．
小问2解析】
垂直平分线段；
理由：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
垂直平分线段；
【小问3解析】
如图，当，则，
∴；
如图，当，则，
∴
综上所述，为或．
26. 如图1，在等边三角形中，，点分别在边上，且，动点从点出发沿射线运动，以为边向右侧作等边三角形，连接．
（1）求证：是等边三角形；
（2）当点P在线段上运动时，求与之间的数量关系；
（3）如图2，当点在线段的延长线上运动时．
①__________度；
②当时，求的长；
（4）连接，直接写出的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①；②16
（4）20
【小问1解析】
证明：是等边三角形，
，，
，
，
即，
是等边三角形；
【小问2解析】
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在与中，
，
∴，
∵，
∴，
【小问3解析】
①和是等边三角形，
∴，，
∴，
则，
∴，
即；
②由①可得．
是等边三角形，
∴，，
．
，
，
，
；
【小问4解析】
作点关于的对称点，连接，如图，
则，
由（2）和（3）可知动点从点沿射线运动过程中，，，
即点在外角的角平分线上运动，
若最小，即最小．
当点与点重合时，最小，
此时最小值为，
则最小值为20．