资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩7页未读，
继续阅读
所属成套资源：2024年高考物理题型突破限时精练
成套系列资料，整套一键下载
小题精练09 万有引力定律问题——高考物理题型突破限时精练
展开
这是一份小题精练09 万有引力定律问题——高考物理题型突破限时精练，文件包含小题精练09万有引力定律问题原卷版docx、小题精练09万有引力定律问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、开普勒三定律
二、天体质量、密度的计算
三、地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
四、卫星变轨的基本原理
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。如图所示。
(1)当卫星的速度增加时，Geq \f(Mm,r2)(2)当卫星的速度减小时，Geq \f(Mm,r2)>meq \f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，如果速度减小很缓慢，卫星每转一周均可看成做匀速圆周运动，经过一段时间，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道运行时，由v＝ eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比在原轨道时大。例如，人造卫星受到高空稀薄大气的摩擦力，轨道高度不断降低。
难度：★★★☆ 建议时间：30分钟 正确率： /15
（2023•金华模拟）2022年11月12日10时03分，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝mv2r
则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方向有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力与喷气方向相反，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024•南充模拟）2022年7月24日，中国空间站问天实验舱发射成功。中国空间站组建完成后，将从空间站中释放伴随卫星。如图，空间站绕地球运行轨道为圆轨道，伴随卫星绕地球运行轨道为接近圆的椭圆轨道，二者位于同一轨道平面内，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随卫星在P处时位于空间站正上方，P、Q两点与空间站轨道的高度差相等，仅考虑地球的引力作用，地球第一宇宙速度为7.9km/s，则（ ）
A．当伴随卫星运行到P点时，速度比空间站的速度大
B．当伴随卫星运行到Q点时，加速度比空间站的加速度小
C．空间站的速度可能大于7.9km/s
D．空间站和伴随卫星绕地球运行一周的时间相同
【解答】解：A．构造一个过伴随卫星远地点的绕地圆轨道Ⅰ，设在其上运行的天体速度为v1。当伴随卫星位于P点时，做近心运动，速度小于v1。
圆轨道Ⅰ的半径大于空间站的轨道半径，根据万有引力提供向心力，有
GMmr2=mv2r，解得：v=GMr
其中v1小于空间站的速度v，所以vP小于v，故A错误；
B．万有引力提供加速度，由万有引力提供加速度
GMmr2=ma，解得：a＝GMr2
得当伴随卫星位于Q点时，空间站的加速度小于伴随卫星的加速度，故B错误；
C．7.9km/s是地球的第一宇宙速度，根据A分析中速度与半径的关系，可知第一宇宙速度是最大的绕行速度，所以空间站的速度小于7.9km/s，故C错误；
D．根据题意可知伴随卫星绕地球运行的椭圆轨道半长轴等于空间站绕地球运行的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站和伴随卫星绕地球运行一周的时间相同，故D正确。
故选：D。
（2024•吉林一模）2020年7月23日，我国的“天问一号”火星探测器，搭乘着长征五号遥四运载火箭，成功从地球飞向了火星.如图所示为“天问一号”发射过程的示意图，从地球上发射之后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，进入着陆准备轨道。已知“天问一号”火星探测器在轨道半径为r的环火星圆轨道上运动时，周期为T1，在半长轴为a的着陆准备轨道上运动时，周期为T2，则下列判断正确的是（ ）
A．“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备轨道上运动时满足r2T13=a2T23
B．火星的平均密度一定大于3πGT12
C．“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备椭圆轨道上运动经过交汇点A时，前者加速度较小
D．“天问一号”在环火星圆轨道上的机械能小于其在着陆准备轨道上的机械能
【解答】解：A、由开普勒第三定律可知，“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备轨道上运动时满足r3T12=a3T22，故A错误；
B、假设“天问一号”在火星表面附近做圆周运动时，周期为T3，则由万有引力公式可得，GMmr2=m4π2rT32，密度ρ=M4πr33，解得火星的平均密度可表示为ρ=3πGT32，由T=2πr3GM可知T3＜T1，故ρ＞3πGT12，故B正确；
C、飞船在环火星圆轨道经过A点和着陆准备椭圆轨道经过A点时受到的万有引力大小相等，根据牛顿第二定律可知加速度必定相等，故C错误；
D、“天问一号”由环火星圆轨道变轨到着陆准备轨道，需要在远火点减速，故机械能减小，故D错误。
故选：B。
（2024•顺庆区校级一模）银河系中大多数恒星都是双星体，有些双星，由于距离小于洛希极限，在引力的作用下会有部分物质从某一颗恒星流向另一颗恒星。如图所示，初始时刻甲、乙两星（可视为质点）均做匀速圆周运动。某一时刻，乙星释放了部分物质，若乙星释放的物质被甲星全部吸收，且两星之间的距离在一定时间内保持不变，两星球的总质量也不变，则下列说法正确的选项是（ ）
A．乙星运动的轨道半径保持不变
B．乙星运动的角速度保持不变
C．乙星运动的线速度大小保持不变
D．乙星运动的向心加速度大小保持不变
【解答】解：A．设甲星的质量为m甲，轨道半径为r甲，乙星的质量为m乙，轨道半径为r乙，则满足m甲ω2r甲=m乙ω2r乙
解得r乙r甲=m甲m乙
由于乙星的质量变小，甲星的质量变大，且两星之间的距离不变，则乙星运动的轨道半径变大，甲星运动的轨道半径变小，故A错误；
BCD．设两星之间的距离为L，两星角速度相同且均为ω，根据万有引力提供向心力，对甲星有Gm甲m乙L2=m甲ω2r甲
对乙星有Gm甲m乙L2=m乙ω2r乙
又因为r甲+r乙＝L
联立解得ω=G(m甲+m乙)L3
因为两星之间的距离在一定时间内保持不变，且两星球的总质量也不变，故两星的角速度ω不变；
根据线速度与角速度的关系，结合向心加速度公式
v＝ωr，a＝ω2r
由于乙星运动的轨道半径变大，则乙星运动的线速度变大，乙星运动的向心加速度变大，故B正确，CD错误。
故选：B。
（2023•青羊区校级模拟）2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为T2，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星B的质量为4π2(RA+RB)3GT12
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则t=T1T22(T1+T2)
【解答】解：A、C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得GMBmCrC2=mC4π2T22rC，可得MB=4π2rC3GT22，若知道C的轨道半径，可求出B的质量，不能求出C的质量，故A错误；
B、若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，根据上式可知，由于A与B的质量不等，则其运动周期一定不是T2，故B错误；
C、恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
对A有：GMAMB(RA+RB)2=MA4π2T12RA
对B有：GMAMB(RA+RB)2=MB4π2T12RB
联立可得MA=4π2RB(RA+RB)2GT12，MB=4π2RA(RA+RB)2GT12，故C错误；
D、A、B、C三星由图示位置到再次共线时，有π=2πT2t+2πT1t，解得t=T1T22(T1+T2)，故D正确；
故选：D。
（2023•成都模拟）电影《流浪地球2》中的太空电梯令人震撼。太空电梯的结构设计如右图所示，地球半径约6400km，太空电梯空间站位于离地面约36000km的地球同步轨道上，其上方约54000km高度有平衡锤，空间站上、下方均用缆绳分别连接地面和平衡锤，运载仓与缆绳间的作用力可忽略。下列说法正确的是（ ）
A．运载仓由地面上升至空间站的过程中始终处于失重状态
B．连接空间站的上、下两根缆绳对空间站的拉力大小相等
C．平衡锤、空间站的加速度a锤、a站与地球表面重力加速度g的大小关系为a锤＞g＞a站
D．若平衡锤下方的缆绳突然断裂，则平衡锤将做近心运动跌落至地球表面
【解答】解：A．运载仓由地面开始上升的初始阶段一定要加速上升，在竖直方向上有向上的加速度，运载仓处于超重状态，故A错误；
B．由于空间站处于地球同步轨道上，故地球对它的万有引力刚好等于其绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，则连接空间站的上、下两根缆绳对空间站的拉力大小相等，方向相反，故B正确；
C．对于空间站，地球对它的万有引力刚好等于其所需的向心力，则有：GMmr同2=ma站
在地球表面可认为万有引力等于重力，则有：GMm'R2=m'g
可得：ga站=r同2R2=(36000+6400)264002=280964
空间站与平衡锤的角速度相等，则有：a站=ω2r同，a锤=ω2r锤
可得：a锤a站=r锤r同=54000+36000+640036000+6400=241106
可知平衡锤、空间站的加速度a锤、a站与地球表面重力加速度g的大小关系为：g＞a锤＞a站，故C错误；
D．根据题意可知，若平衡锤下方的缆绳突然断裂，平衡锤与地球之间的万有引力将不足以提供平衡锤做圆周运动所需的向心力，因此平衡锤将做离心运动，故D错误。
故选：B。
（2023•天津一模）图甲是未来空间站的构思图。在空间站中设置个如图乙绕中心轴旋转的超大型圆管作为生活区，圆管的内、外管壁平面与转轴的距离分别为R1、R当圆管以一定的角速度ω转动时，在管中相对管静止的人（可看作质点）便可以获得个类似在地球表面的“重力”，以此降低因长期处于失重状态对身体健康造成的影响。已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，地球自转周期为T．当空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的角速度ω大小为（ ）
A．2π7B．1RGMR2
C．1RGMR1D．4π2GMT2×GMR2
【解答】解：人靠在外管壁上随圆管一起做圆周运动，由题意可知：GMmR2=mω2R2，
解得：ω=1RGMR2，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024•黑龙江一模）北京时间2021年9月中旬至10月下旬出现了“火星合日”现象，此时火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线会干扰无线电，因此中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为T1，地球公转周期为T2，“祝融号”在火星赤道表面做匀速圆周运动的周期为T，“祝融号”的质量为m，火星的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度小于2πRT
B．太阳的质量为4π2R3GT2
C．火星的公转周期T1小于地球公转周期T2
D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为T1T2T1-T2
【解答】解：A.“祝融号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：GMmR2=m4πT2R
解得火星质量为：M=4πR3GT2
根据万有引力提供向心力可知火星的第一宇宙速度大小：GMmR2=mv12R
解得v1=GMR=2πRT
故A错误；
B．由于火星和地球的轨道半径未知，所以无法求解太阳的质量，故B错误；
C．根据开普勒第三定律r3T2=k，可知，火星的轨道半径大于地球的轨道半径，故火星的公转周期更大，故C错误；
D．相邻两次“火星合日”的时间间隔满足(2πT2-2πT1)t=2π
解得：t=T1T2T1-T2
故D正确。
故选：D。
（2023•普宁市校级二模）如图，虚线I、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道I为与第一宇宙速度7.9km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道I半径的2倍，则（ ）
A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道I的2倍
B．卫星经过a点的速率为经过b点的2倍
C．卫星在a点的加速度大小为在c点的3倍
D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
【解答】解：A、设轨道I的半径为R，则轨道Ⅱ的半长轴为：R2=R+2R2=1.5R
由开普勒第三定律得：(1.5R)3R3=T22T12，即为：T2T1=53，即卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道I的53倍，故A错误；
B、在a点在轨道I做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有：va=GMR。
在轨道Ⅱ上b点做向心运动，万有引力大于向心力，则有：vb＜GM2R，则va＞vb，故B错误；
C、由a=GMr2得：a∝1r2，即在a点的加速度大小为在c点的4倍，故C错误；
D、在b点做向心运动，在c点做离心运动，则c点的速度大于b点的速度，c点动能大于b点的动能，又两点势能相等，故卫星在b点的机械能小于在c点的机械能，故D正确；
故选：D。
（2023•佛山一模）2022年11月1日，23吨的梦天实验舱与60吨的天和核心舱组合体顺利对接，完成了中国空间站建设最后一个模块的搭建。若对接前天和核心舱组合体在距地高度380km的正圆轨道运动，运行速度略小于梦天实验舱对接前的速度，则（ ）
A．对接时梦天舱和天和舱因冲击力而产生的加速度相同
B．对接前空间站内宇航员所受地球的引力为零
C．对接后空间站绕地运行速度大于第一宇宙速度
D．若不启动发动机调整轨道，对接后空间站的轨道将会是椭圆
【解答】解：A、梦天舱和天和舱因之间因冲击对梦天舱和天和舱产生的力大小相等方向相反，根据牛顿第二定律可知梦天舱和天和舱的加速度方向不同，梦天舱和天和舱的质量不等，根据F＝ma可知梦天舱和天和舱的加速度大小不相等，故A错误；
B、空间站内的宇航员受到地球的万有引力，由于万有引力全部提供做圆周运动的向心力，所以宇航员处于完全失重状态，故B错误；
C、第一宇宙速度为环绕地球做圆周运动的物体的最大速度，可知对接后空间站绕地运行速度小于第一宇宙速度，故C错误；
D、对接后动量守恒，所以空间站的速度会发生变化，若不启动发动机调整轨道，由于地球引力的变化将使对接后空间站的轨道是椭圆，故D正确。
故选：D。
（2023•沈河区校级模拟）我国计划在2023年发射“嫦娥六号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥六号的质量为m，离月球中心的距离为r。根据以上信息可求出（ ）
A．月球的第一宇宙速度为gr
B．“嫦娥六号”绕月运行的动能为mgR22r
C．月球的平均密度为3g4πGR3
D．“嫦娥六号”绕月运行的周期为2πr3gR
【解答】解：A、设月球的质量为M。在月球表面，忽略自转，根据重力等于万有引力有GMmR2=mg
解得：GM＝gR2
对于近月卫星，根据万有引力提供向心力，有
GMmR2=mv12R
可得月球的第一宇宙速度为：v1=gR，故A错误；
B、“嫦娥六号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力，有
GMmr2=mv2r
解得：v=gR2r
“嫦娥六号”绕月运行的动能为：Ek=12mv2=mgR22r，故B正确；
C、由GMmR2=mg得月球的质量为M=gR2G，月球的平均密度为ρ=MV=M43πR3=3g4πGR，故C错误；
D、“嫦娥六号”绕月运行时根据万有引力提供向心力，有
GMmr2=m4π2T2r
解得“嫦娥六号”绕月运行的周期为T=2πr3gR2，故D错误。
故选：B。
（2023•河北模拟）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为2θ；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为T0，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（ ）
A．地球的平均密度为3πGT02sin3θ
B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为sin22θ
C．卫星Ⅱ的周期为T0sin3θ
D．卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星发出电磁波信号的时间为(π+2θ)T02πsin3θ
【解答】解：C、设地球质量为M，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为r和R，卫星Ⅰ为地球同步卫星，周期为T0。设近地卫星Ⅱ的周期为T。
根据开普勒第三定律r3T02=R3T2
由题图得：sinθ=Rr
可得卫星Ⅱ的周期为T=T0sin3θ，故C错误；
A、对于卫星Ⅱ，根据万有引力提供向心力得：GMmR2=m(2πT)2R
地球的平均密度为ρ=MV=3M4πR3
联立以上各式，可得地球的平均密度为ρ=3πGT02sin3θ，故A正确；
B、对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律得：GMmr2=ma，得a=GMr2
所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为aⅠaⅡ=R2r2=sin2θ，故B错误；
D、当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内，其对应圆心角为π+2θ时，卫星Ⅱ无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号，设这段时间为t。若两卫星同向运行，则有
（ωⅡ﹣ωⅠ）t＝π+2θ
又ωⅡ=2πT=2πT0sin3θ，ωⅠ=2πT0
解得：t=(π+2θ)T0sin3θ2π(1-sin3θ)
若两卫星相向运行，则有
（ωⅡ+ωⅠ）t＝π+2θ
结合ωⅡ=2πT=2πT0sin3θ，ωⅠ=2πT0
解得：t=(π+2θ)T0sin3θ2π(1+sin3θ)，故D错误。
故选：A。
（2024•安徽二模）2023年9月5日傍晚5点30分左右，一颗命名为“合肥高新一号”的卫星，从海上发射基地飞向太空，成为中国低轨卫星物联网的一部分。假设此卫星在赤道平面内绕地球做圆周运动，离地面高度等于地球半径R，运行方向与地球自转方向相同。已知地球自转周期为T0，地球两极处重力加速度为g，万有引力常量用G表示。下列说法正确的是（ ）
A．地球的平均密度为3πGT02
B．卫星做圆周运动的周期为2π2Rg
C．赤道表面的重力加速度为g-2π2T02R
D．若赤道上有一卫星测控站，忽略卫星信号传输时间，卫星与测控站能连续通信的最长时间为T0⋅4π2Rg3(T0-4π2Rg)
【解答】解：A．根据万有引力提供向心力：GMm(2R)2=m(2πT)2⋅2R，结合ρ=MV=M43πR3可得
中心天体密度公式：ρ=24πGT2，其中周期T为此卫星的运动周期，而非地球自转周期T0，故A错误；
B．设地球质量为M，卫星A的质量为m，根据万有引力提供向心力，且在地球表面万有引力等于重力有
GMm(2R)2=m(2πT)2⋅2R
m0g=GMm0R2
联立解得：T=4π2Rg，故B错误；
C．两极处有：m0g=GMm0R2
赤道处有：m0g'=GMm0R2-m04π2T02R
联立解得：g'=g-4π2T02R，故C错误；
D．如图下所示，卫星的通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星A和地面测控站B不能一直保持直接通讯，设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2θ时就不能通讯，
由图可得：csθ=R2R，
根据ω=2πT，结合卫星A和地面测控站B的角度关系有：2πTt-2πT0t=2θ
联立解得：t=T0⋅4π2Rg3(T0-4π2Rg)，故D正确。
故选：D。
（2023•高州市一模）理论研究表明，任一星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2=2v1，已知某星球的半径为地球半径的一半，其表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度的18，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度约为（ ）
A．2.8km/sB．3.95km/sC．5.59km/sD．15.8km/s
【解答】解：根据重力等于向心力，得 m•18g＝mv12R2，得 v1=gR4
地球的第一宇宙速度v'1=gR
由题意得该星球的第二宇宙速度为：v2=2v1
代入数据解得：v2＝2.8km/s，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2023•天津一模）如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
【解答】解：A、根据万有引力定律F＝GMmr2可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不一定相同，故A错误。
B、设太阳质量为M，小行星质量为m，由万有引力提供向心力，则GmMr2=m4π2T2r，则各小行星做匀速圆周运动周期T＝2πr3GM，由于各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以，各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期一年，故B错误。
C、向心加速度a=GMr2，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，故C正确。
D、由GMmr2=mv2r得小行星的线速度v=GMr，小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径，线速度小于地球绕太阳公转的线速度，故D错误。
故选：C。定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
物理量
推导依据
表达式
最大值或最小值
线速度
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
v＝ eq \r(\f(GM,r))
当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度
Geq \f(Mm,r2)＝mω2r
ω＝ eq \r(\f(GM,r3))
当r＝R时有最大值
周期
Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r
T＝2π eq \r(\f(r3,GM))
当r＝R时有最小值，约85 min
向心
加速度
Geq \f(Mm,r2)＝man
an＝eq \f(GM,r2)
当r＝R时有最大值，最大值为g
轨道
平面
圆周运动的圆心与中心天体中心重合
共性：距地面越高，轨道半径大，运动越慢，周期越长——高轨低速（线速度、角速度 加速度）长周期
【例题】（2023•浙江模拟）2022年11月底，中国空间站迎来全面建造完成关键一役。随着神舟十五号乘组3名航天员进入空间站，我国首次实现空间站6个型号舱段组合体结构和6名航天员在轨驻留的“6+6”太空会师。如图，有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，假设就是神舟十五号，卫星b处于离地约300km的轨道上正常运动，假设就是神舟十四号，c是地球同步卫星，d是某地球高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，地球表面重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．神舟十四号的向心加速度大于神舟十五号的向心加速度
B．同步卫星在相同时间内转过的弧长最长
C．四颗卫星中，神舟十五号离地心最近，所以它的角速度最大
D．地球高空探测卫星最高，故发射它的能量一定最大
【解答】解：根据万有引力提供向心力可得GMmr2=ma=mv2r=mrω2，解得：a=GMr2，v=GMr，ω=GMr3
A、a和c的角速度相等，且a的轨道半径小于c的轨道半径，根据a＝rω2可知：a的向心加速度小于c的向心加速度；
由于b的轨道半径小于c的轨道半径，根据a=GMr2可知b的向心加速度大于c的向心加速度，综上可知a的向心加速度小于b的向心加速度，故A正确；
B、a和c的角速度相等，且a的轨道半径小于c的轨道半径，根据v＝rω可知va＜vc；对于b、c、d，由于rb＜rc＜rd，根据v=GMr可知vb＞vc＞vd，综上可知b的线速度最大，其在相同时间内转过的弧长最长，故B错误；
C、a和c的角速度相等，由于rb＜rc＜rd，根据ω=GMr3可知ωb＞ωc＞ωd，综上可知b的角速度最大，故C错误；
D、d星的轨道半最大，发射卫星时需要克服万有引力做功，但各个卫星的质量大小未知，发射d星所需要的能量不一定最大，故D错误。
故选：A。
公式、知识点回顾（时间：5分钟）
一、开普勒三定律
二、天体质量、密度的计算
三、地球卫星的运行参数(将卫星轨道视为圆)
四、卫星变轨的基本原理
当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。如图所示。
(1)当卫星的速度增加时，Geq \f(Mm,r2)
难度：★★★☆ 建议时间：30分钟 正确率： /15
（2023•金华模拟）2022年11月12日10时03分，天舟五号与空间站天和核心舱成功对接，此次发射任务从点火发射到完成交会对接，全程仅用2个小时，创世界最快交会对接纪录，标志着我国航天交会对接技术取得了新突破。在交会对接的最后阶段，天舟五号与空间站处于同一轨道上同向运动，两者的运行轨道均视为圆周。要使天舟五号在同一轨道上追上空间站实现对接，天舟五号喷射燃气的方向可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：要想使天舟五号在与空间站的同一轨道上对接，则需要使天舟五号加速，与此同时要想不脱离原轨道，根据F＝mv2r
则必须要增加向心力，即喷气时产生的推力一方向有沿轨道向前的分量，另一方面还要有指向地心的分量，而因喷气产生的推力与喷气方向相反，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024•南充模拟）2022年7月24日，中国空间站问天实验舱发射成功。中国空间站组建完成后，将从空间站中释放伴随卫星。如图，空间站绕地球运行轨道为圆轨道，伴随卫星绕地球运行轨道为接近圆的椭圆轨道，二者位于同一轨道平面内，P、Q分别为伴随卫星轨道的远地点和近地点，伴随卫星在P处时位于空间站正上方，P、Q两点与空间站轨道的高度差相等，仅考虑地球的引力作用，地球第一宇宙速度为7.9km/s，则（ ）
A．当伴随卫星运行到P点时，速度比空间站的速度大
B．当伴随卫星运行到Q点时，加速度比空间站的加速度小
C．空间站的速度可能大于7.9km/s
D．空间站和伴随卫星绕地球运行一周的时间相同
【解答】解：A．构造一个过伴随卫星远地点的绕地圆轨道Ⅰ，设在其上运行的天体速度为v1。当伴随卫星位于P点时，做近心运动，速度小于v1。
圆轨道Ⅰ的半径大于空间站的轨道半径，根据万有引力提供向心力，有
GMmr2=mv2r，解得：v=GMr
其中v1小于空间站的速度v，所以vP小于v，故A错误；
B．万有引力提供加速度，由万有引力提供加速度
GMmr2=ma，解得：a＝GMr2
得当伴随卫星位于Q点时，空间站的加速度小于伴随卫星的加速度，故B错误；
C．7.9km/s是地球的第一宇宙速度，根据A分析中速度与半径的关系，可知第一宇宙速度是最大的绕行速度，所以空间站的速度小于7.9km/s，故C错误；
D．根据题意可知伴随卫星绕地球运行的椭圆轨道半长轴等于空间站绕地球运行的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站和伴随卫星绕地球运行一周的时间相同，故D正确。
故选：D。
（2024•吉林一模）2020年7月23日，我国的“天问一号”火星探测器，搭乘着长征五号遥四运载火箭，成功从地球飞向了火星.如图所示为“天问一号”发射过程的示意图，从地球上发射之后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，进入着陆准备轨道。已知“天问一号”火星探测器在轨道半径为r的环火星圆轨道上运动时，周期为T1，在半长轴为a的着陆准备轨道上运动时，周期为T2，则下列判断正确的是（ ）
A．“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备轨道上运动时满足r2T13=a2T23
B．火星的平均密度一定大于3πGT12
C．“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备椭圆轨道上运动经过交汇点A时，前者加速度较小
D．“天问一号”在环火星圆轨道上的机械能小于其在着陆准备轨道上的机械能
【解答】解：A、由开普勒第三定律可知，“天问一号”在环火星圆轨道和着陆准备轨道上运动时满足r3T12=a3T22，故A错误；
B、假设“天问一号”在火星表面附近做圆周运动时，周期为T3，则由万有引力公式可得，GMmr2=m4π2rT32，密度ρ=M4πr33，解得火星的平均密度可表示为ρ=3πGT32，由T=2πr3GM可知T3＜T1，故ρ＞3πGT12，故B正确；
C、飞船在环火星圆轨道经过A点和着陆准备椭圆轨道经过A点时受到的万有引力大小相等，根据牛顿第二定律可知加速度必定相等，故C错误；
D、“天问一号”由环火星圆轨道变轨到着陆准备轨道，需要在远火点减速，故机械能减小，故D错误。
故选：B。
（2024•顺庆区校级一模）银河系中大多数恒星都是双星体，有些双星，由于距离小于洛希极限，在引力的作用下会有部分物质从某一颗恒星流向另一颗恒星。如图所示，初始时刻甲、乙两星（可视为质点）均做匀速圆周运动。某一时刻，乙星释放了部分物质，若乙星释放的物质被甲星全部吸收，且两星之间的距离在一定时间内保持不变，两星球的总质量也不变，则下列说法正确的选项是（ ）
A．乙星运动的轨道半径保持不变
B．乙星运动的角速度保持不变
C．乙星运动的线速度大小保持不变
D．乙星运动的向心加速度大小保持不变
【解答】解：A．设甲星的质量为m甲，轨道半径为r甲，乙星的质量为m乙，轨道半径为r乙，则满足m甲ω2r甲=m乙ω2r乙
解得r乙r甲=m甲m乙
由于乙星的质量变小，甲星的质量变大，且两星之间的距离不变，则乙星运动的轨道半径变大，甲星运动的轨道半径变小，故A错误；
BCD．设两星之间的距离为L，两星角速度相同且均为ω，根据万有引力提供向心力，对甲星有Gm甲m乙L2=m甲ω2r甲
对乙星有Gm甲m乙L2=m乙ω2r乙
又因为r甲+r乙＝L
联立解得ω=G(m甲+m乙)L3
因为两星之间的距离在一定时间内保持不变，且两星球的总质量也不变，故两星的角速度ω不变；
根据线速度与角速度的关系，结合向心加速度公式
v＝ωr，a＝ω2r
由于乙星运动的轨道半径变大，则乙星运动的线速度变大，乙星运动的向心加速度变大，故B正确，CD错误。
故选：B。
（2023•青羊区校级模拟）2021年5月，基于俗称“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜（FAST）的观测，国家天文台李菂、朱炜玮研究团组的姚菊枚博士等首次研究发现脉冲星三维速度与自转轴共线的证据。之前的2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团（M13）中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运行周期为T1，它们的轨道半径分别为RA、RB，RA＜RB，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，运行周期为T2，忽略A与C之间的引力，引力常量为G，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道C的轨道半径，则可求出C的质量
B．若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，则其运动周期也一定为T2
C．恒星B的质量为4π2(RA+RB)3GT12
D．设A、B、C三星由图示位置到再次共线的时间为t，则t=T1T22(T1+T2)
【解答】解：A、C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得GMBmCrC2=mC4π2T22rC，可得MB=4π2rC3GT22，若知道C的轨道半径，可求出B的质量，不能求出C的质量，故A错误；
B、若A也有一颗轨道半径与C相同的卫星，根据上式可知，由于A与B的质量不等，则其运动周期一定不是T2，故B错误；
C、恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
对A有：GMAMB(RA+RB)2=MA4π2T12RA
对B有：GMAMB(RA+RB)2=MB4π2T12RB
联立可得MA=4π2RB(RA+RB)2GT12，MB=4π2RA(RA+RB)2GT12，故C错误；
D、A、B、C三星由图示位置到再次共线时，有π=2πT2t+2πT1t，解得t=T1T22(T1+T2)，故D正确；
故选：D。
（2023•成都模拟）电影《流浪地球2》中的太空电梯令人震撼。太空电梯的结构设计如右图所示，地球半径约6400km，太空电梯空间站位于离地面约36000km的地球同步轨道上，其上方约54000km高度有平衡锤，空间站上、下方均用缆绳分别连接地面和平衡锤，运载仓与缆绳间的作用力可忽略。下列说法正确的是（ ）
A．运载仓由地面上升至空间站的过程中始终处于失重状态
B．连接空间站的上、下两根缆绳对空间站的拉力大小相等
C．平衡锤、空间站的加速度a锤、a站与地球表面重力加速度g的大小关系为a锤＞g＞a站
D．若平衡锤下方的缆绳突然断裂，则平衡锤将做近心运动跌落至地球表面
【解答】解：A．运载仓由地面开始上升的初始阶段一定要加速上升，在竖直方向上有向上的加速度，运载仓处于超重状态，故A错误；
B．由于空间站处于地球同步轨道上，故地球对它的万有引力刚好等于其绕地球做匀速圆周运动所需的向心力，则连接空间站的上、下两根缆绳对空间站的拉力大小相等，方向相反，故B正确；
C．对于空间站，地球对它的万有引力刚好等于其所需的向心力，则有：GMmr同2=ma站
在地球表面可认为万有引力等于重力，则有：GMm'R2=m'g
可得：ga站=r同2R2=(36000+6400)264002=280964
空间站与平衡锤的角速度相等，则有：a站=ω2r同，a锤=ω2r锤
可得：a锤a站=r锤r同=54000+36000+640036000+6400=241106
可知平衡锤、空间站的加速度a锤、a站与地球表面重力加速度g的大小关系为：g＞a锤＞a站，故C错误；
D．根据题意可知，若平衡锤下方的缆绳突然断裂，平衡锤与地球之间的万有引力将不足以提供平衡锤做圆周运动所需的向心力，因此平衡锤将做离心运动，故D错误。
故选：B。
（2023•天津一模）图甲是未来空间站的构思图。在空间站中设置个如图乙绕中心轴旋转的超大型圆管作为生活区，圆管的内、外管壁平面与转轴的距离分别为R1、R当圆管以一定的角速度ω转动时，在管中相对管静止的人（可看作质点）便可以获得个类似在地球表面的“重力”，以此降低因长期处于失重状态对身体健康造成的影响。已知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，地球自转周期为T．当空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的角速度ω大小为（ ）
A．2π7B．1RGMR2
C．1RGMR1D．4π2GMT2×GMR2
【解答】解：人靠在外管壁上随圆管一起做圆周运动，由题意可知：GMmR2=mω2R2，
解得：ω=1RGMR2，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024•黑龙江一模）北京时间2021年9月中旬至10月下旬出现了“火星合日”现象，此时火星和地球分别位于太阳两侧与太阳共线会干扰无线电，因此中国首辆火星车“祝融号”发生短暂失联。已知地球与火星绕太阳做匀速圆周运动的方向相同。火星的公转周期为T1，地球公转周期为T2，“祝融号”在火星赤道表面做匀速圆周运动的周期为T，“祝融号”的质量为m，火星的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．火星的第一宇宙速度小于2πRT
B．太阳的质量为4π2R3GT2
C．火星的公转周期T1小于地球公转周期T2
D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为T1T2T1-T2
【解答】解：A.“祝融号”在火星赤道表面附近做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有：GMmR2=m4πT2R
解得火星质量为：M=4πR3GT2
根据万有引力提供向心力可知火星的第一宇宙速度大小：GMmR2=mv12R
解得v1=GMR=2πRT
故A错误；
B．由于火星和地球的轨道半径未知，所以无法求解太阳的质量，故B错误；
C．根据开普勒第三定律r3T2=k，可知，火星的轨道半径大于地球的轨道半径，故火星的公转周期更大，故C错误；
D．相邻两次“火星合日”的时间间隔满足(2πT2-2πT1)t=2π
解得：t=T1T2T1-T2
故D正确。
故选：D。
（2023•普宁市校级二模）如图，虚线I、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道I为与第一宇宙速度7.9km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道I半径的2倍，则（ ）
A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道I的2倍
B．卫星经过a点的速率为经过b点的2倍
C．卫星在a点的加速度大小为在c点的3倍
D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能
【解答】解：A、设轨道I的半径为R，则轨道Ⅱ的半长轴为：R2=R+2R2=1.5R
由开普勒第三定律得：(1.5R)3R3=T22T12，即为：T2T1=53，即卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道I的53倍，故A错误；
B、在a点在轨道I做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有：va=GMR。
在轨道Ⅱ上b点做向心运动，万有引力大于向心力，则有：vb＜GM2R，则va＞vb，故B错误；
C、由a=GMr2得：a∝1r2，即在a点的加速度大小为在c点的4倍，故C错误；
D、在b点做向心运动，在c点做离心运动，则c点的速度大于b点的速度，c点动能大于b点的动能，又两点势能相等，故卫星在b点的机械能小于在c点的机械能，故D正确；
故选：D。
（2023•佛山一模）2022年11月1日，23吨的梦天实验舱与60吨的天和核心舱组合体顺利对接，完成了中国空间站建设最后一个模块的搭建。若对接前天和核心舱组合体在距地高度380km的正圆轨道运动，运行速度略小于梦天实验舱对接前的速度，则（ ）
A．对接时梦天舱和天和舱因冲击力而产生的加速度相同
B．对接前空间站内宇航员所受地球的引力为零
C．对接后空间站绕地运行速度大于第一宇宙速度
D．若不启动发动机调整轨道，对接后空间站的轨道将会是椭圆
【解答】解：A、梦天舱和天和舱因之间因冲击对梦天舱和天和舱产生的力大小相等方向相反，根据牛顿第二定律可知梦天舱和天和舱的加速度方向不同，梦天舱和天和舱的质量不等，根据F＝ma可知梦天舱和天和舱的加速度大小不相等，故A错误；
B、空间站内的宇航员受到地球的万有引力，由于万有引力全部提供做圆周运动的向心力，所以宇航员处于完全失重状态，故B错误；
C、第一宇宙速度为环绕地球做圆周运动的物体的最大速度，可知对接后空间站绕地运行速度小于第一宇宙速度，故C错误；
D、对接后动量守恒，所以空间站的速度会发生变化，若不启动发动机调整轨道，由于地球引力的变化将使对接后空间站的轨道是椭圆，故D正确。
故选：D。
（2023•沈河区校级模拟）我国计划在2023年发射“嫦娥六号”，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第六颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地理、资源等方面的信息，进一步完善月球档案资料。已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，嫦娥六号的质量为m，离月球中心的距离为r。根据以上信息可求出（ ）
A．月球的第一宇宙速度为gr
B．“嫦娥六号”绕月运行的动能为mgR22r
C．月球的平均密度为3g4πGR3
D．“嫦娥六号”绕月运行的周期为2πr3gR
【解答】解：A、设月球的质量为M。在月球表面，忽略自转，根据重力等于万有引力有GMmR2=mg
解得：GM＝gR2
对于近月卫星，根据万有引力提供向心力，有
GMmR2=mv12R
可得月球的第一宇宙速度为：v1=gR，故A错误；
B、“嫦娥六号”绕月运行时，根据万有引力提供向心力，有
GMmr2=mv2r
解得：v=gR2r
“嫦娥六号”绕月运行的动能为：Ek=12mv2=mgR22r，故B正确；
C、由GMmR2=mg得月球的质量为M=gR2G，月球的平均密度为ρ=MV=M43πR3=3g4πGR，故C错误；
D、“嫦娥六号”绕月运行时根据万有引力提供向心力，有
GMmr2=m4π2T2r
解得“嫦娥六号”绕月运行的周期为T=2πr3gR2，故D错误。
故选：B。
（2023•河北模拟）如图所示，Ⅰ为北斗卫星导航系统中的静止轨道卫星，其对地张角为2θ；Ⅱ为地球的近地卫星。已知地球的自转周期为T0，万有引力常量为G，根据题中条件，可求出（ ）
A．地球的平均密度为3πGT02sin3θ
B．卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为sin22θ
C．卫星Ⅱ的周期为T0sin3θ
D．卫星Ⅱ运动的周期内无法直接接收到卫星发出电磁波信号的时间为(π+2θ)T02πsin3θ
【解答】解：C、设地球质量为M，卫星Ⅰ、Ⅱ的轨道半径分别为r和R，卫星Ⅰ为地球同步卫星，周期为T0。设近地卫星Ⅱ的周期为T。
根据开普勒第三定律r3T02=R3T2
由题图得：sinθ=Rr
可得卫星Ⅱ的周期为T=T0sin3θ，故C错误；
A、对于卫星Ⅱ，根据万有引力提供向心力得：GMmR2=m(2πT)2R
地球的平均密度为ρ=MV=3M4πR3
联立以上各式，可得地球的平均密度为ρ=3πGT02sin3θ，故A正确；
B、对于不同轨道卫星，根据牛顿第二定律得：GMmr2=ma，得a=GMr2
所以卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度之比为aⅠaⅡ=R2r2=sin2θ，故B错误；
D、当卫星Ⅱ运行到与卫星Ⅰ的连线隔着地球的区域内，其对应圆心角为π+2θ时，卫星Ⅱ无法直接接收到卫星Ⅰ发出电磁波信号，设这段时间为t。若两卫星同向运行，则有
（ωⅡ﹣ωⅠ）t＝π+2θ
又ωⅡ=2πT=2πT0sin3θ，ωⅠ=2πT0
解得：t=(π+2θ)T0sin3θ2π(1-sin3θ)
若两卫星相向运行，则有
（ωⅡ+ωⅠ）t＝π+2θ
结合ωⅡ=2πT=2πT0sin3θ，ωⅠ=2πT0
解得：t=(π+2θ)T0sin3θ2π(1+sin3θ)，故D错误。
故选：A。
（2024•安徽二模）2023年9月5日傍晚5点30分左右，一颗命名为“合肥高新一号”的卫星，从海上发射基地飞向太空，成为中国低轨卫星物联网的一部分。假设此卫星在赤道平面内绕地球做圆周运动，离地面高度等于地球半径R，运行方向与地球自转方向相同。已知地球自转周期为T0，地球两极处重力加速度为g，万有引力常量用G表示。下列说法正确的是（ ）
A．地球的平均密度为3πGT02
B．卫星做圆周运动的周期为2π2Rg
C．赤道表面的重力加速度为g-2π2T02R
D．若赤道上有一卫星测控站，忽略卫星信号传输时间，卫星与测控站能连续通信的最长时间为T0⋅4π2Rg3(T0-4π2Rg)
【解答】解：A．根据万有引力提供向心力：GMm(2R)2=m(2πT)2⋅2R，结合ρ=MV=M43πR3可得
中心天体密度公式：ρ=24πGT2，其中周期T为此卫星的运动周期，而非地球自转周期T0，故A错误；
B．设地球质量为M，卫星A的质量为m，根据万有引力提供向心力，且在地球表面万有引力等于重力有
GMm(2R)2=m(2πT)2⋅2R
m0g=GMm0R2
联立解得：T=4π2Rg，故B错误；
C．两极处有：m0g=GMm0R2
赤道处有：m0g'=GMm0R2-m04π2T02R
联立解得：g'=g-4π2T02R，故C错误；
D．如图下所示，卫星的通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星A和地面测控站B不能一直保持直接通讯，设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2θ时就不能通讯，
由图可得：csθ=R2R，
根据ω=2πT，结合卫星A和地面测控站B的角度关系有：2πTt-2πT0t=2θ
联立解得：t=T0⋅4π2Rg3(T0-4π2Rg)，故D正确。
故选：D。
（2023•高州市一模）理论研究表明，任一星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系为v2=2v1，已知某星球的半径为地球半径的一半，其表面的重力加速度大小为地球表面重力加速度的18，地球的第一宇宙速度为7.9km/s，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度约为（ ）
A．2.8km/sB．3.95km/sC．5.59km/sD．15.8km/s
【解答】解：根据重力等于向心力，得 m•18g＝mv12R2，得 v1=gR4
地球的第一宇宙速度v'1=gR
由题意得该星球的第二宇宙速度为：v2=2v1
代入数据解得：v2＝2.8km/s，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2023•天津一模）如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．太阳对各小行星的引力相同
B．各小行星绕太阳运动的周期均小于一年
C．小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值
D．小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值
【解答】解：A、根据万有引力定律F＝GMmr2可知，由于各小行星的质量和到太阳的距离不同，万有引力不一定相同，故A错误。
B、设太阳质量为M，小行星质量为m，由万有引力提供向心力，则GmMr2=m4π2T2r，则各小行星做匀速圆周运动周期T＝2πr3GM，由于各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径，所以，各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期一年，故B错误。
C、向心加速度a=GMr2，内侧小行星到太阳的距离小，向心加速度大，故C正确。
D、由GMmr2=mv2r得小行星的线速度v=GMr，小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径，线速度小于地球绕太阳公转的线速度，故D错误。
故选：C。定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(4π2r3,GT2)
只能得到中心天体的质量
r、v
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
M＝eq \f(rv2,G)
v、T
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝eq \f(v3T,2πG)
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝eq \f(gR2,G)
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)
当r＝R时ρ＝eq \f(3π,GT2)
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝eq \f(GMm,R2)
M＝ρ·eq \f(4,3)πR3
ρ＝eq \f(3g,4πGR)
物理量
推导依据
表达式
最大值或最小值
线速度
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
v＝ eq \r(\f(GM,r))
当r＝R时有最大值，v＝7.9 km/s
角速度
Geq \f(Mm,r2)＝mω2r
ω＝ eq \r(\f(GM,r3))
当r＝R时有最大值
周期
Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r
T＝2π eq \r(\f(r3,GM))
当r＝R时有最小值，约85 min
向心
加速度
Geq \f(Mm,r2)＝man
an＝eq \f(GM,r2)
当r＝R时有最大值，最大值为g
轨道
平面
圆周运动的圆心与中心天体中心重合
共性：距地面越高，轨道半径大，运动越慢，周期越长——高轨低速（线速度、角速度 加速度）长周期
【例题】（2023•浙江模拟）2022年11月底，中国空间站迎来全面建造完成关键一役。随着神舟十五号乘组3名航天员进入空间站，我国首次实现空间站6个型号舱段组合体结构和6名航天员在轨驻留的“6+6”太空会师。如图，有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，假设就是神舟十五号，卫星b处于离地约300km的轨道上正常运动，假设就是神舟十四号，c是地球同步卫星，d是某地球高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，地球表面重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．神舟十四号的向心加速度大于神舟十五号的向心加速度
B．同步卫星在相同时间内转过的弧长最长
C．四颗卫星中，神舟十五号离地心最近，所以它的角速度最大
D．地球高空探测卫星最高，故发射它的能量一定最大
【解答】解：根据万有引力提供向心力可得GMmr2=ma=mv2r=mrω2，解得：a=GMr2，v=GMr，ω=GMr3
A、a和c的角速度相等，且a的轨道半径小于c的轨道半径，根据a＝rω2可知：a的向心加速度小于c的向心加速度；
由于b的轨道半径小于c的轨道半径，根据a=GMr2可知b的向心加速度大于c的向心加速度，综上可知a的向心加速度小于b的向心加速度，故A正确；
B、a和c的角速度相等，且a的轨道半径小于c的轨道半径，根据v＝rω可知va＜vc；对于b、c、d，由于rb＜rc＜rd，根据v=GMr可知vb＞vc＞vd，综上可知b的线速度最大，其在相同时间内转过的弧长最长，故B错误；
C、a和c的角速度相等，由于rb＜rc＜rd，根据ω=GMr3可知ωb＞ωc＞ωd，综上可知b的角速度最大，故C错误；
D、d星的轨道半最大，发射卫星时需要克服万有引力做功，但各个卫星的质量大小未知，发射d星所需要的能量不一定最大，故D错误。
故选：A。
相关试卷
小题精练12 恒定电流功率问题——2024年高考物理题型突破限时精练： 这是一份小题精练12 恒定电流功率问题——2024年高考物理题型突破限时精练，文件包含小题精练12恒定电流功率问题原卷版docx、小题精练12恒定电流功率问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
小题精练11 静电场问题——2024年高考物理题型突破限时精练： 这是一份小题精练11 静电场问题——2024年高考物理题型突破限时精练，文件包含小题精练11静电场问题原卷版docx、小题精练11静电场问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
小题精练10 动量和能量问题——2024年高考物理题型突破限时精练： 这是一份小题精练10 动量和能量问题——2024年高考物理题型突破限时精练，文件包含小题精练10动量和能量问题原卷版docx、小题精练10动量和能量问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
