热点专题02 二次函数（11个热点）-九年级数学全册重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

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考点一、二次函数的概念
一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数.
其中是自变量，分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．
注意：二次函数的判断方法：
①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．
考点二、二次函数解析式
（1）一般式：（是常数，）
（2）顶点式：（是常数，），其中为顶点坐标
（3）交点式： (是抛物线与轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根 )。
考点三、与之间的关系
函数平移到的两种方法：
①（口诀:左加右减）（口诀:上加下减）；
②（口诀:上加下减）（口诀:左加右减）；
考点四、二次函数的图像性质
考点五、二次函数图象与轴的交点情况
考点六、二次函数与实际问题
解决此类问题的基本思路:
（1）理解问题;（2）分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系;
（3）利用公式或者关系列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围;
（4）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值;
（5）检验结果的合理性。
注意：最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
题型一二次函数的定义
【例1】下列各式中是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义：形如（a、b、c为常数，且）的函数，由此问题可求解．
【详解】解：A、不是二次函数，故不符合题意；
B、是二次函数，故符合题意；
C、，不是二次函数，故不符合题意；
D、当时，函数才是二次函数，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
【例2】当 时，是关于x的二次函数．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答．
【详解】解：由题意得，
解得，
，
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．
【变式1-1】下列函数一定是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】形如的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、，是一次函数，故该选项不符合题意；
B、分母上有未知数，不是二次函数，故该选项不符合题意；
C、，当时，是一次函数，故该选项不符合题意；
D、是二次函数，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解本题的关键．
【变式1-2】函数为开口向上的抛物线，则 ．
【答案】1
【分析】根据二次函数的定义和性质得到且，解方程和不等式后可得到答案．
【详解】解：∵函数为开口向上的抛物线，
∴函数是二次函数，
∴且，
由得，
由得到，
∴，
故答案为：1
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【变式1-3】已知函数（m为常数）．
(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．
(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)且．
【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；
（2）根据二次函数的定义即可解决问题．
【详解】（1）解：依题意且，
所以；
（2）解：依题意，
所以且．
【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．
题型二求二次函数解析式
【例3】下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系，其函数表达式为 ．
【答案】
【分析】根据表中y与x的数据设函数关系式为：，将表中代入函数关系式，即可得结论．
【详解】解：根据表中y与x的数据设函数关系式为：，
将表中代入函数关系式，
得，
解得，
∴函数表达式为，
当时，代入，
也适合所求得的函数关系式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数，解决本题的关键是掌握利用待定系数法求解函数解析式．
【例4】已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的表达式．
【答案】
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，设抛物线为：，再把代入，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为：，
把代入可得：
，
解得：，
∴抛物线为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，根据给定的条件设出合适的表达式是解本题的关键．
【变式2-1】抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】设抛物线关于原点对称的点是，再代入即可得出答案．
【详解】设抛物线上的点关于原点对称的点的坐标是，
可知，
所以，
代入，得，
即，
所以抛物线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求二次函数关系式，根据对称表示出坐标之间的关系是解题的关键．
【变式2-2】已知二次函数的图象经过点，且当时，y有最小值，求二次函数的解析式．
【答案】
【分析】由题意可得，二次函数的顶点为，设二次函数的解析式为：，将代入解析式求解即可．
【详解】解：由题意可得，二次函数的顶点为，
设二次函数的解析式为：
将代入解析式可得，，解得
即．
【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，解题的关键是掌握二次函数的几种表示形式，正确的设出方程进行求解．
【变式2-3】二次函数过点，，三点，求的值．
【答案】
【分析】利用待定系数法求解即可．
【详解】解：把，，代入中得：
，
解得．
∴．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数图象上的点的坐标一定满足对应的二次函数解析式是解题的关键．
题型三二次函数图象上点的坐标特征
【例5】已知点在抛物线上，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据进行讨论，然后根据函数的增减性即可得出答案
【详解】解：∵
∴或
∴或
∵抛物线的对称轴为：
∵
∴点A比点B与对称轴的距离远，
∴
∵
∴点A比点B与对称轴的距离远，
∴
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键
【例6】、、是抛物线上三点，，，的大小关系为 ．
【答案】/
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
而离直线的距离最远，点离直线最近，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
【变式3-1】若二次函数，当时，随的增大而减小，则应该满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不小于1列式计算即可得解．
【详解】解：二次函数，
二次函数的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
【变式3-2】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于正半轴，其图象上有三点，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别计算出自变量为 、-1、 对应的函数值，根据 即可得到 、、的大小关系；
【详解】解：当时，
当时，，
当时，，
二次函数的图象与y轴交于正半轴，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式
【变式3-3】若，，为二次函数图象上三点，则，，的大小关系为 ．（用 “>”号表示）
【答案】
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
而到直线的距离为
到直线的距离为，
到直线的距离为,
∴到直线的距离最远，到直线的距离最近，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型四二次函数的几何变换
【例7】将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减，据此即可求解．
【详解】解：平移后抛物线的解析式为：
即为：
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数的平移．熟记相关结论即可．
【例8】抛物线可由如何平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位，再向下平移5个单位
B．先向右平移2个单位，再向上平移5个单位
C．先向左平移2个单位，再向下平移5个单位
D．先向左平移2个单位，再向上平移5个单位
【答案】C
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【详解】解：将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可得到抛物线．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的平移和抛物线解析式，熟练掌握抛物线平移的变化规律：“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【变式4-1】将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移1个单位，再向下平移1个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移1个单位，再向下平移1个单位
【答案】C
【分析】根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，进行平移判断即可．
【详解】解：将抛物线平移后得到抛物线，平移方法为：先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握左加右减，上加下减是解题关键．
【变式4-2】若抛物线平移得到，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
【答案】D
【分析】左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．
【详解】解：A：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意；
B：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意；
C：平移后抛物线的解析式为：，即，不符合题意；
D：平移后抛物线的解析式为：，即，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查二次函数的平移．熟记相关结论即可．
【变式4-3】把的图象向上平移个单位，向左平移个单位

(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
(2)画出图象；
(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的的值．
【答案】(1)解析式为，顶点坐标为，对称轴为
(2)见解析
(3)当时，函数存在最大值，最大值为
【分析】（1）根据平移规律“上加下减，左加右减”写出平移后的抛物线的解析式即可；
（2）根据抛物线解析式列表，并作函数图象即可；
（3）结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：平移后的抛物线对应的函数解析式为，其顶点坐标为，对称轴为．
（2）解：列表：
描点连线：

（3）解：如图所示：当时，函数存在最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的图象和性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减；并用规律求函数解析式是解题的关键．
题型五一次函数与二次函数图象
【例9】在同一坐标系内，函数和的图象大致如图（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【详解】解：解：A、二次函数开口向下，；一次函数图象经过第一、三象限，，故此选项不符合题意；
B、二次函数开口向下，；一次函数图象经过第二、四象限，，两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，；一次函数图象经过第二、四象限，，故此选项不符合题意；
D、一次函数解析式为：，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
【例10】在平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置可得出的范围，再根据的范围判断一次函数的图象所经过的象限，由此逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、二次函数的开口向下，
，
二次函数的对称轴在轴的左侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误，不符合题意；
B、二次函数的开口向下，
，
二次函数的对称轴在轴的右侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过二、三、四象限，故B正确，符合题意；
C、二次函数的开口向上，
，
二次函数的对称轴在轴的右侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意；
D、二次函数的开口向上，
，
二次函数的对称轴在轴的左侧，
，
，
当时，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、二次函数图象综合判断，对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口，当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定抛物线对称轴的位置，当与同号时，对称轴在轴左侧，当与异号时，对称轴在轴右侧．
【变式5-1】函数与（且）在同一平面直角坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分四种情况讨论，再判断图像即可．
【详解】解：当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，三象限，
当，时，抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第一，三，四象限，
所以B不符合题意；
当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴负半轴；一次函数图像经过第二，三，四象限，
当，时，抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点在y轴正半轴；一次函数图像经过第一，二，四象限，
所以C不符合题意，D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像，一次函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键．
【变式5-2】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．反之也可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知、，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知、，由二次函数的图象可知，两者相吻合，故此选项符合题意；
C、由一次函数的图象可知、，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知、，由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数和二次函数的图象，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
【变式5-3】函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先分两种情况进行分析，当a大于0时，可以确定一次函数与二次函数的大致走向； 同理当a小于0时也可以，再结合两函数图象交于点即可得出答案．
【详解】解：当时，直线过一、三象限，抛物线开口向上；当时，直线过二、四象限，抛物线开口向下，可得B、C、D错误，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象和二次函数图象的识别，掌握一次函数图象和二次函数图象的特征是解题关键．
题型六二次函数图象与系数关系
【例11】如图是二次函数在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论序号是（ ）

A．①③④⑤B．①②③⑤C．①②③④D．①②④⑤
【答案】B
【分析】抛物线与轴交点的位置判断①；开口方向结合的符号，判断②，特殊点和对称轴，判断③④⑤．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，，对称轴为直线，
∴，
∴，故④错误；
抛物线与轴交于负半轴，
∴，故①正确；
∴，
∴；故②正确；
由图可知，当时，，故③正确；
∴，
∵，
∴，
∴；故⑤正确；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．从图象中有效的获取信息，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
【例12】如图，二次函数的图象与轴正半轴相交，其顶点坐标为，且抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间，下列结论①；②；③；④；⑤．其中正确的有( )

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①根据图示知，抛物线开口方向向下，则．
对称轴，则，
抛物线与轴交于正半轴，则，
．
故①正确；
②抛物线与轴有两个交点，
，
故②正确；
③，即时，，对称轴为直线，
当时，
故③不正确；
④顶点坐标为，则抛物线的对称轴直线，
，
．
故④正确；
根据图象，抛物线与轴的一个交点的横坐标在与之间，
∴当时，则，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点抛物线与轴交点的个数确定．
【变式6-1】已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③为任意实数；④；其中正确的结论有（ ）

A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据所给函数图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称轴为直线和开口向下，即可解决问题．
【详解】解：由图象可知，图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
∴，，，
∴，
∴．
故①错误．
∵抛物线的对称轴是直线，
∴时与时的函数值相等．
又由图象可知，
时，函数值大于．
所以时，函数值也大于．
即．
故②正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线，
所以当时，函数有最大值．
则当为任意实数时，总有，
即．
故③错误．
因为抛物线与轴有两个交点，
所以，
即．
故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，能根据所给图象得出，，的正负并巧妙的利用抛物线的对称性是解题的关键．
【变式6-2】二次函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据抛物线的开口向下可知，与y轴的交点在y轴的正半轴可知，由抛物线的对称轴可得出a、b的关系，再对四个选项进行逐一分析．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，故B正确，不符合题意；
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，，
∴当时，取得最大值为，
对于任意实数，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
当时，抛物线与y轴的交点在x轴上，即，而，
∴，
∴，故D错误， 符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键，二次函数的图象，当时，抛物线向下开口，当a与b同号时（即），对称轴在y轴左边； 当a与b异号时（即），对称轴在y轴右边．
【变式6-3】二次函数的图象如图，对称轴是直线，下列结论中正确的是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象得，，，，可得，根据可得，根据可得，当时，，把代入得，，即可得．
【详解】解：∵函数图象开口向上，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，，
∵函数图象与y轴的负半轴相交，
∴，
∴，
故A错误，
∵，
∴，
故B正确，
∵，
∴，
故C错误；
当时，，
把代入得，，
即，
故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图象与性质．
题型七二次函数与解不等式
【例13】已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ．

【答案】
【分析】解方程，得出抛物线与轴的交点坐标，进而根据函数图象即可解答．
【详解】解：当时，，
解得：
∴二次函数的图象与轴的交点为，
由函数图象可得的的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点、二次函数图象与性质，明确题意并掌握数形结合的思想是解答本题的关键．
【例14】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点．抛物线的对称轴是且经过两点，与轴的另一交点为点．

(1)求抛物线解析式．
(2)并直接写出时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出直线与坐标轴交点坐标，将坐标值代入二次函数解析式，结合对称轴组建方程组求解参数；
（2）图象法求解不等式，取图中直线（含两点）下方的抛物线对应的自变量取值．
【详解】（1）解：由，
时，时，，
∴．
∵抛物线的对称轴是且经过两点，
∴解得，
∴．
（2）根据图象，的取值范围为或．
【点睛】本题考查待定系数法求解函数解析式，图象法求解不等式；理解函数与方程、不等式的关系是解题的关键．
【变式7-1】如图，已知抛物线与直线交于，两点．则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集．
【详解】解：由图可知，当时，抛物线在直线上方，
因此不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据二次函数与一次函数图象的交点求不等式的解集，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
【变式7-2】如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为( )

A． B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据一次函数与二次函数的交点的横坐标结合函数图象即可求解．
【详解】解：∵一次函数与二次函数的图象相交于两点，
根据图象可得关于x的不等式的解集是：．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点求不等式的解集问题，数形结合是解题的关键．
【变式7-3】如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】首先确定两个图像的交点横坐标，再根据图像的位置可知，当直线在抛物线下方时，一次函数值小于二次函数值，即可求出不等式的解集．
【详解】解：观察图像可知当时，,．
在交点之间时，一次函数的图像在抛物线下方，即，
所以不等式的解集是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式与函数的关系及函数图像交点问题，理解图像点的坐标特征和数形结合思想是解题关键．
题型八利用二次函数解决最值问题
【例15】在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则m的取值范围 .
【答案】或
【分析】根据抛物线求出对称轴，与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线的表达式，分两种情况讨论：时或时，利用抛物线的性质分析求解．
【详解】解：抛物线的对称轴为：，
当时，，
抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线的表达式，
当时，且抛物线过点时，
，
解得：（不符合题意，舍去），
当抛物线经过点时，
，
解得：（不符合题意，舍去），
当且抛物线的顶点在线段上时，
，
解得：，
当时，且抛物线过点时，
，
解得：，
当抛物线经过点时，
，
解得：（舍去），
综上，的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
【例16】如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线﹒

(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
【答案】(1)
(2)存在点使的周长最小，
【分析】（1）根据对称轴，可求出的值，再代入点的坐标即可求出的值，即可解答；
（2）连接交对称轴于点，利用两点之间线段最短可得出此时的周长最小，利用二次函数图象上的点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用待定系数法求得直线的解析式，即可求出点P坐标．
【详解】（1）解：由对称轴，可得，
将代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接交对称轴于点，此时的周长最小，

根据二次函数的对称轴，利用中点公式可得点的横坐标为，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
把，代入，可得：
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
，
存在点使的周长最小，．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据待定系数法求一次函数，轴对称中最短路径问题，利用两点之间线段最短找出使得的周长最小的点的位置是解题的关键．
【变式8-1】已知二次函数，当时，的最小值为，则a的值为 ．
【答案】4或
【分析】由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得，即可求解答案．
【详解】解：的对称轴为直线，
顶点坐标为，
当时，在，函数有最小值，
∵的最小值为，
∴，
∴；
当时，在，当时，函数有最小值，
∴，
解得；
综上所述：的值为4或．
故答案为：4或．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
【变式8-2】已知二次函数（）的图象经过点（，）和（，）．
(1)求二次函数的表达式和顶点坐标．
(2)当时，y有最小值，求m的值．
【答案】(1)，顶点坐标是（，）；
(2)或．
【分析】（1）将点（，）和（，）代入，得到关于和的二元一次方程，然后求解即可；
（2）先求出二次函数的对称轴，然后根据的范围在对称轴的左侧、包含对称轴以及在对称轴的右侧三种情况展开分类讨论，结合每种情况二次函数的增减性确定取最小函数值时的取值，求出对应的m的值即可．
【详解】（1）解：将点（，）和（，）代入，得
，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴其顶点坐标是（，）；
（2）由（1）知抛物线的对称轴是直线，开口向上，
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
当，即时，
当时，y有最小值，
∴，
解得或（舍去）；
当时，当时y有最小值，
∴，
解得或（舍去）；
当且，即时y有最小值，不合题意，舍去；
综上，m的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法和二次函数的性质，能够根据函数的增减性求函数最值是解题的关键．
【变式8-3】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点是第四象限内抛物线上一动点，连接，，求的面积的最大值；
(3)当时，抛物线有最小值5，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】用待定系数法即可求解；
(2)先求直线的表达式，过点作轴交于点,由即可求解.
(3)当时, 即, 则时, 抛物线取得最小值; 当时, 即, 则时, 抛物线取得最小值，进而求解；
【详解】（1）设抛物线的表达式为：,
又∵
∴；
（2）过点作轴交于点,

当时，,
∴点,
设直线的表达式为，
把和代入得：
，解得
∴直线的表达式为,
设点, 则点,
∴，
∵，
∴有最大值，最大值为；
（3）∵，
即抛物线的最小值是，
即和不可能在抛物线对称轴两侧；
当时, 即,
则时，抛物线取得最小值，
即,
解得:(舍去)或,
即；
当时, 即,
则时, 抛物线取得最小值,
即,
解得:或(舍去)，
综上,或；
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.
题型九二次函数新定义问题
【例17】新定义：为二次函数（，a，b，c为实数）的 “图像数”，如：的“图像数”为，若“图像数”是的二次函数的图像与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A．B．C．或2D．2
【答案】C
【分析】先根据“图像数”的定义将转换成二次函数解析式，然后把二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程解的问题即可解答
【详解】解：∵若“图像数”是的二次函数解析式为，
根据题意得，解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程解的问题是答本题的关键．
【例18】定义：如果两个二次函数的图像的开口大小相同，方向相反且顶点的横坐标、纵坐标都互为相反数，则称其中一个二次函数为另一个二次函数的美丽函数．如与互为美丽函数．
(1)求的美丽函数的表达式；
(2)若的图像的顶点为P，且经过它的美丽函数的图像的顶点Q．
①求证：这两个函数的图像的交点为P，Q；
②点M是在P，Q之间的图像的动点，轴交的图像于点N，求MN长度的最大值．
【答案】(1)
(2)①见解析，②2
【分析】（1）对一般式配方，，根据定义得解；
（2）①，得，，于是；由的图象经过点Q，求解得，于是，．验证经过点，得证结论；
②设，则，得，由点M在P，Q之间，得，故时，最大值为2．
【详解】（1）解：，
∴其美丽函数的表达式；
即；
（2）①，
∴．
∴．
∴．
∵的图象经过点Q，
∴，解得．
∴，．
对于，
当时，，
∴经过点．
∴两个函数的图像的交点为P，Q．
②由①，，，，．
设，
∵轴交的图像于点N，
∴．
∴
∵点M在P，Q之间，
∴．
∴当时，值最大，最大值为2．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质；熟练运用解析式确定点坐标，通过点坐标确定线段长是解题的关键．
【变式9-1】我们定义一种新函数：形如（且）的函数叫做“绝对值“函数．小明同学画出了“绝对值”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为，和；
②图象具有对称性，对称轴是直线；
③当或时，函数值y随x的增大而减小；
④当或时，函数的最小值是9；
⑤当与的图象恰好有3个公共点时或
其中结论正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】分别令和即可对结论①进行判断；观察函数的图象即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判断；根据函数与x轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，可对结论④进行判断；根据函数与x轴的两个交点，与平行可分两种情况进行讨论：①经过点，②与函数只有一个交点，分别求出b的值即可对结论⑤进行判断．
【详解】解：∵令，得，
令，则
解得，
∴与坐标轴的交点为，和，
∴结论①正确；
观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为，
故结论②正确；
∵函数与x轴的两个交点坐标为，，且对称轴为x=2，
∴当或时，函数值y随x值的增大而增大，
故结论③不正确；
∵当或5时，，
∴当或时，函数的最小值是0．
故结论④不正确；
∵函数与x轴的两个交点为，，
又∵与平行，
∴当与的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：
①经过点，此时b=1，
②当与函数只有一个交点时，
则方程有两个相等的实数根，
将整理得：，
∴判别式，
解得：．
故结论⑤正确，
综上所述：正确的结论是①②⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图像与坐标轴的交点，数形结合是解答本题的关键．
【变式9-2】我们定义：若点在某一个函数的图象上，且点的横纵坐标相等，我们称点为这个函数的“好点”若关于的二次函数对于任意的常数，恒有两个“好点”，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】“好点”的横纵坐标相等，即：，，整理得：，，即可求解．
【详解】解：“好点”的横纵坐标相等，
，
，
，
整理得：，
，故当时，抛物线开口向上，且与轴没有交点，
故上式成立，
，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．
【变式9-3】定义为函数的“特征数”．如函数的特征数为，函数的特征数为，若特征数为的函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为 ．
【答案】0或
【分析】先根据“特征数”的定义写出函数解析式，分与两种情况，分别求解．
【详解】解：特征数为的函数解析式为，分两种情况：
当时，，函数图象与x轴只有一个交点，符合题意，
此时；
当时，，
若函数图象与x轴只有一个交点，则的根的判别式为0，
即，
解得，
综上可知，a的值为0或，
故答案为：0或．
【点睛】本题考查一次函数、二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是注意分情况讨论，避免漏解．
题型十二次函数的实际应用
【例19】某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图②，以下简称水池2）.如果设水池的边AD加长长度DM为，加长后水池1的总面积为，设水池2的边的长为，水池2的面积为.

(1)直接写出，关于x的函数解析式.
(2)当水池1与水池2的面积相等时，求此时x的值.
(3)当时，设，求W的最大值和此时x的值.
【答案】(1)，
(2)当或时，水池1与水池2的面积相等
(3)当时，最大，最大值为
【分析】（1）根据长方形的面积公式解答即可；
（2）当时，可得关于x的方程，解方程即得答案；
（3）根据二次函数的性质求解即可
【详解】（1），
（2）当时，，
解得，，
∴当或时，水池1与水池2的面积相等；
（3）当时，，
∵，
∴当时，最大，最大值为.
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，正确理解题意、熟练掌握解一元二次方程的方法和二次函数的性质是解题的关键.
【例20】某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
(3)在试销过程中，受国家扶持，每销售一件新产品，国家补贴商场a元（），并要求包含补贴后每件的利润不高于36元，通过销售记录发现：每件补贴经费a元后，每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，求出a的取值范围．
【答案】(1)
(2)将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元
(3)
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；
（2）根据利润（售价单价）销售量，由题意可求出的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；
（3）根据包含补贴后每件的利润不高于36元及该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，即可得出关于a的不等式，解出a的解集即可得出答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：．
，
令，则，
解得：．
故y与x的函数关系式为；
（2）解：∵，
，
，
每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为；
根据题意可得：
，
解得：，
，
，
∴当时，W有最大值，
且（元）．
答：将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元；
（3）解：根据题意可知：，
解得：，即售价不能高于元，
根据题意可得：，
∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，
，
解得：，
∵，
．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．
【变式10-1】某水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过讨价还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．

(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？
(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量（千克）与销售单价（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．
①求与之间的函数关系式；
②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)实际购进这种水果每千克20元
(2)①；②销售单价定为30元时利润最大，最大利润为1100元
【分析】（1）设实际购进这种水果每千克元，根据“原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克”列出一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）①设一次函数的解析式为，将，代入解析式，运用待定系数法进行计算即可得到答案；②设利润为，根据利润销售收入进货金额得到关于的函数关系式为，再根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设实际购进这种水果每千克元，
由题意得：，
解得：，
即实际购进这种水果每千克20元；
（2）解：①设一次函数的解析式为，
由图知，图像过点，，将其代入函数解析式可得，
解得，
与的函数关系式为；
②设利润为，由题意知
，
即，
即销售单价定为30元时利润最大，最大利润为1100元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式、二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【变式10-2】如图，小朋友燃放--种手持烟花，这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同．小朋友发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）变化的规律如下表．
(1)根据这些数据选择适当的函数表示h（米）与t（秒）之间的关系．直接写出相应的函数表达式__________；
(2)当第一发花弹发射2.2秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于19米．小朋友发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求？
【答案】(1)
(2)8.28米
(3)花弹的爆炸高度不符合安全要求
【分析】（1）根据表格中的数据，猜测函数图象为抛物线，设其解析式为，把点代入求解即可；
（2）由当第一发子弹发射后，第二发子弹发射，把代入求解即可；
（3）根据这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，发射第一发花弹的函数表达式为，可得发射第二发花弹的函数表达式为，令，求得，从而求得，即可求解．
【详解】（1）解：由表格中的数据可得，函数图象近似抛物线，
设其解析式为，
把点代入得，，
解得，
∴函数解析式为，
故答案为：；
（2）解：当第一发子弹发射后，第二发子弹发射，
把代入得，，
答：第二发花弹达到的高度为8.28米；
（3）解：∵这种烟花每隔1.6秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同，发射第一发花弹的函数表达式为，
∴发射第二发花弹的函数表达式为，
∵小朋友发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，
则令，得，
解得，
此时，
故花弹的爆炸高度不符合安全要求．
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据表格的数据求得其解析式，分析变化趋势，可以代值检验，从实际问题分析转变成数学模型，进而求解．
【变式10-3】如图，在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，如果点，分别从点，同时出发，

(1)写出的面积关于出发时间的函数解析式及的取值范围；
(2)四边形的面积随出发时间如何变化？写出函数解析式及的取值范围．
【答案】(1)
(2)四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化，
【分析】（1）根据题意，用表示出线段、，求解即可；
（2）四边形的面积为减去的面积，即可求解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，动点从点开始沿边向终点以每秒2个单位长度的速度移动，动点从点开始沿边以每秒4个单位长度的速度向终点移动，
∴，，
∴的面积关于出发时间的解析式为．
（2）解：四边形的面积随出发时间成二次函数关系变化，
．
【点睛】此题考查了二次函数与图形的应用，解题的关键是理解题意，用表示出线段、．
题型十一二次函数的综合应用
【例21】已知，抛物线经过点和．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)设点B是抛物线与x轴的另一个交点，点M是直线上方的抛物线上的一点，当的面积最大时，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，点P的坐标为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式；
（2）连接交抛物线的对称轴于点P，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 B的坐标，由点，求出直线的解析式，利用配方法求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）连接，设，根据的面积，由二次函数的性质得到当时，的面积有最大值，此时，即可得到点M的坐标．
【详解】（1）解：将点和点代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在，
连接交抛物线的对称轴于点P，此时取最小值，如图所示：

当时，，
解得，
∴点B的坐标为，
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，
设直线的解析式为
将点，代入，
得，解得，
∴直线的解析式为，
∵当时，，
∴当的值最小时，点P的坐标为；
（3）连接，

设，
的面积
，
当时，的面积有最大值，
此时，
∴点M的坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，最短路径问题与二次函数，图形面积问题与二次函数，正确掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【例22】如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与轴交于点C．

(1)在抛物线的对称轴上找一点D，使最短，求出D点坐标；
(2)P是y轴正半轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，试求P点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，根据题意得到当点B，C，D三点共线时，最短，即的长度，然后求出所在直线表达式为，然后个代入求解即可；
（2）根据题意画出图形，然后求出，，根据题意，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，连接，

∵抛物线与x轴交于点A和点B，
∴点A和点B关系对称轴对称
∵
∴当点B，C，D三点共线时，最短，即的长度，
∵抛物线
∴对称轴为
当时，
∴
当时，
解得，
∴，
设所在直线表达式为
∴，解得
∴所在直线表达式为
∴将代入得，
∴；
（2）如图所示，

∵，
∴，
∵是以为腰的等腰三角形
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式11-1】综合与探究
如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设点的横坐标为．当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数解析式为
(2)当时，有最大值，且最大值为
(3)存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且或或或
【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；
（3）根据题意可求出的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点在直线下方；第二种情况：如图所示，点在直线上方；图形结合，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，解得，，
∴二次函数解析式为．
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为．
（3）解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且，
∴令时，，则，，
∴，且
在中，，，
∴，
第一种情况：如图所述，点在直线下方，

四边形是菱形，则，，且直线的解析式为，
∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，，解得，，
∴直线的解析式为，设，过点作轴于点，
∴，，
∴，整理得，，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即；
第二种情况：如图所示，点在直线上方，

四边形是菱形，，，且，，
∴直线的解析式为，
设，
∴，整理得，，解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即，
∴设所在直线的解析式为，把点代入得，，
∴直线的解析式为，
根据题意，设，
∴，整理得，，
∴，即，，
∴或，
综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键．
【变式11-2】如图，抛物线l的顶点C在y轴上，点A，B为抛物线上关于y轴对称的两点，线段交y轴于点D，，，．

(1)求抛物线l的函数表达式；
(2)将抛物线l平移到抛物线，设平移后点A，B的对应点为，，若点A落在直线上，且以A、B、、为顶点的四边形是菱形，试确定平移后抛物线的表达式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意求出、、三点的坐标，抛物线的对称轴为轴，设出抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据平移的性质和以、、、为顶点的四边形是菱形，求出，坐标，即可得出平移的方向和长度，从而写出平移后的抛物线解析式．
【详解】（1）由图知点在轴的正半轴，且，
点的坐标为，
点和点关于轴对称，且与轴交于点，，，
、、三点的纵坐标为4，，
点的坐标为，
点在点的左侧，
，，
设抛物线的函数表达式为，
将，代入得：，
解得：．
抛物线的函数表达式为；
（2）将拋物线平移后，点A落在直线上，即点在上，
点的横坐标为1，
，
平移后的，
根据平移的性质可知，平移后的要么在直线上，要么在与直线平行的平行线上，
即，和不可能互为对角线，
，，
以、、，为顶点的四边形是平行四边形，
要满足以、、，为顶点的四边形是菱形，
则和为菱形的边，且．
，
，
设，则，
，
即，
解得，
①当时，点坐标为，点的坐标为，相对于，，
，，
抛物线向右平移了3个单位长度，向上平移了个单位长度，
则抛物线的解析式为：；
②当时，，，相对于，
，，
抛物线向右平移了3个单位，向下平移了个单位，
则抛物线的解析式为：．
综上所述，平移后抛物线的表达式为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式、菱形的性质、二次函数图象的平移等知识点，解题时注意数形结合和分类讨论等数学思想的运用．
【变式11-3】如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标；
(3)在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】（1）根据抛物线经过，两点，列方程组，解之即可得到答案；
（2）令，则，求得，作，垂足为，得到，根据平行线的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，设点横坐标为，得到方程，求得，，当时，，当时，，于是得到答案；
（3）求得，设，分两种情况①当时，②当时，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解： 抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式是；
（2）解：令，则，
，
如图，作，垂足为，

则，
，
，，
又是中点，
，
，
，
设点横坐标为，则，
解得：，，
当时，，
当时，，
点的坐标是：，；
（3）解：令，则，
，
，
设，
，
，
①当时，

，
，
解得：，（舍去），
当时，，
；
②当时，

，
，
解得：，
当时，，
；
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键
一、单选题
1．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）已知二次函数，下列叙述错误的是（ ）
A．图象开口向上B．图象的对称轴为直线
C．函数有最小值D．时，函数值y随自变量x的增大而减小
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质即可进行判断．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；故A、C正确；
∵，
∴图象的对称轴为直线，故B正确；
∴当时，函数值y随自变量x的增大而增大，故D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟知二次函数的性质是解题的关键．
2．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线解析式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
所得新抛物线的解析式为．
故选：A．
【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是掌握抛物线的平移规律．
3．（2022秋·陕西延安·九年级校考期末）如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，当函数值时，自变量的取值范围是（ ）

A． B．C．D．或
【答案】D
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于和两点，函数开口向下，
∴函数值时，自变量x的取值范围是或，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，以及这些点代表的意义及函数特征．
4．（2022春·黑龙江绥化·八年级统考期末）图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽，如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，可设此函数解析式为：，利用待定系数法求解．
【详解】解：设此函数解析式为：，
由题意得：在此函数解析式上，
则
即得，
那么．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，关键是借助二次函数解决实际问题．
5．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）下表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的两组对应值：
下列各选项中可能错误的是（ ）
A．这个函数的图象开口方向无法确定
B．这个函数的图象对称轴是直线
C．如果时，函数y的值算的增大而或小，那么这个函数有最大值
D．二次函数与轴一定有两个交点
【答案】D
【分析】根据抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点，利用待定系数法，可得抛物线解析式为，进而判断各选项．
【详解】解：抛物线经过点，，
抛物线对称轴为直线，
故选项B正确；
设这个函数的解析式为，
代入点，得，
故这个函数的解析式为，
不能确定的值，即这个函数的图象开口方向无法确定，
故选项A正确；
如果时，函数y的值算的增大而或小，
这个函数的图象开口向下，
故选项C正确；
时，，
，不能确定与的大小．
故选项D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
6．（2023秋·新疆伊犁·九年级校考期末）已知抛物线的顶点为，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②；③；④方程一定有实数根，其中正确的结论为（ ）
A．②③B．①③C．①②③D．①②
【答案】C
【分析】抛物线与轴的交点个数，判断①，对称轴结合特殊点，判断②，对称性和特殊点，判断③；图象法判断④．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，所以①正确；
∵抛物线的顶点为，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，即，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点和之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，
∴当时，，
∴，所以③正确；
∵抛物线的顶点为，
∵当时，二次函数有最大值为3，
∴方程有两个相等的实数根，
∵，
∴方程没有实数根，所以④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
7．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）直线l过点且与y轴垂直，若二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由直线l：，化简抛物线可得，令，利用判别式，解出，由对称轴在y轴右侧可求即可解答．
【详解】解：∵直线l过点且与y轴垂直，
∴直线l为，
∵化简抛物线可得，
∴令，即，
∵二次函数（其中x是自变量）的图像与直线l有两个不同的交点，
∴，
∴，
又∵对称轴在y轴右侧，
，
∴，
∴．
故选择D．
【点睛】本题主要考查二次函数与直线的交点问题、抛物线对称轴、一元二次方程的根的判别式等知识点，掌握二次函数与直线的交点问题转化为一元二次方程实根问题是解题关键．
8．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，正方形边长为4，E、F、G、H分别是上的点，且．设A、E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】解：正方形边长为4，
，
是的二次函数，函数的顶点坐标为，开口向上
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意
但是的顶点在轴上，故B不符合题意，只有A符合题意
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
二、填空题
9．（2022秋·福建龙岩·九年级校联考期中）二次函数的图象如图，则一次函数的图象不经过第 象限．

【答案】三
【分析】由二次函数的图象可判断出b、c的符号，再进行判断一次函数的图象所在的象限，即可求解．
【详解】解：∵对称轴，
∴，
∵二次函数的图象与y轴交于正半轴，
∴
∴一次函数与y轴的交点在x轴的上方，且，经过二、四象限，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴不经过第三象限，
故答案为：三．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象的性质，掌握二次函数及一次函数图象的性质是解题关键．
10．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔·九年级校考期中）抛物线如图所示，则一元二次方程的解为 ．

【答案】
【分析】根据图像中二次函数与轴的交点，即可得到答案．
【详解】解：由图象可得二次函数与轴的交点为，
故的解为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元二次方程的根，熟知上述概念是解题的关键．
11．（2022秋·河北邯郸·九年级校考期中）如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；如此进行下去．

（1）点的坐标是 ．
（2）若在第段抛物线上，则 ．
【答案】
【分析】求出拋物线与x轴的交点坐标，由旋转的性质即可确定的坐标；观察图形可知第偶数号抛物线都在轴下方，然后求出抛物线的表达式，再将的横坐标代入计算即可得解．
【详解】解：令，则 ，
解得 ，即 ，，
由旋转得：，
∴的坐标为，
，
故答案为： ．
由图可知，抛物线在轴下方，相当于抛物线向右平移个单位得到，
抛物线解析式为 ，
，在第段拋物线上，
．
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标及函数图象的旋转，找出相应规律求解是解题关键．
12．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离为 m．
【答案】10
【分析】推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：当时，
解得：（不合题意，舍去），
则铅球推出的距离为是10m
故答案为：10
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
13．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为 ．（用“＜”连接）
【答案】
【分析】由二次函数的性质可得，，开口向下，对称轴为，则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可．
【详解】解：抛物线
则，开口向下，对称轴为，
则抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
，，到对称轴的距离分别为：、、
则
故答案为：
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据开口方向确定出抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小以及正确求得点到对称轴的距离．
14．（2021秋·福建莆田·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点，，，…都是“梦之点”．已知关于的方程的两根分别为，2，若二次函数（，是常数，）的图象上存在两个不同的“梦之点”，则“梦之点”是 ．
【答案】，
【分析】根据“梦之点”定义得出这样的点都在直线上，根据二次函数（，是常数，）的图象上存在两个不同的“梦之点”， 令，整理得：，根据关于的方程的两根分别为，2，得出关于x的方程的两根分别为，2，即可得出结果．
【详解】解：∵横坐标与纵坐标相等的点都在直线上，
又∵二次函数（，是常数，）的图象上存在两个不同的“梦之点”，
∴令，
整理得：，
∵关于的方程的两根分别为，2，
∴关于x的方程的两根分别为，2，
∴“梦之点”是，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，一元二次方程解的定义，二次函数的性质，解题的关键是根据题意得出“梦之点”都在直线上．
15．（2023春·山东淄博·九年级统考期中）若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】先根据根的判别式得出，求出，令，根据二次函数的性质得出此二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标，从而得出只要使二次函数在的范围内与x轴有交点，则关于的一元二次方程在的范围内有解，得出使时，且顶点在x轴上或x轴下方即可，即，解得：，即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
令，
则此二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
只要使二次函数在的范围内与x轴有交点，则关于的一元二次方程在的范围内有解，
∴使时，且，
即，
解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次函数的性质，解题的关键是将一元二次方程方程的解抽象为二次函数与x轴的交点坐标的横坐标．
16．（2020秋·福建龙岩·九年级龙岩初级中学校考期中）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的上的一个动点，是线段的中点，连接．则线段的最大值是_________．

【答案】
【分析】连接，由抛物线关于y轴对称，得到，因此是的中位线，得到，当过时，长最大，长最大，求出B的坐标是，得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：连接，

∵抛物线关于y轴对称，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴当长最大，长最大，
当过时，长最大，
当时，
∴，
∴B的坐标是，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的半径是2，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形中位线定理，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，点与圆的位置关系，关键是明白当过时，长最大，由三角形中位线定理即可求解．
三、解答题
17．（2023秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）已知二次函数.
(1)在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
(2)当时，结合函数图象，直接写出y的取值范围.
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先解方程得抛物线与x轴的交点坐标为，再确定抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；
（2）当时，函数有最大值为4；当时，，即可得出结论．
【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；
根据对称轴为直线，得抛物线必过点，
当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，；
过以上五点描点、连线作出抛物线，如图，
（2）解： 抛物线的顶点坐标为，且，
当时，y有最大值为4；
当时，，
当时，．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
18．（2023春·河北沧州·九年级校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与y轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大并求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
【答案】(1)
(2)点的坐标为：，四边形的面积的最大值为
【分析】（1）将、的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于的面积为定值，当四边形的面积最大时，的面积最大；过作y轴的平行线，交直线于，交轴于，求得直线的解析式，可设出点的横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式求出、的纵坐标，即可得到的长，以为底，点横坐标的绝对值为高即可求得的面积，由此可得到关于四边形的面积与点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形的最大面积及对应的点坐标．
【详解】（1）解：将、两点的坐标代入得，
，
解得：，
所以二次函数的表达式为：；
（2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，与交于点，

，设直线的解析式为：，
则，
解得：，
∴直线的解析式为：，
则点的坐标为；
当，
解得：，，
∴，，
，
当时，四边形的面积最大，
此时点的坐标为：，四边形的面积的最大值为．
【点睛】此题考查了二次函数综合应用，求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标等，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
19．（2022秋·江西南昌·九年级校考期中）某滨江公园一处喷水景观，喷出的水柱的轨迹呈抛物线形状，数学小组对此展开测量：测得喷水头P距地面1.1m，水柱轨迹点在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.6m；将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱轨迹点到喷水头的水平距离，是水柱轨迹点到地面的高度．

(1)求抛物线的表达式．
(2)现有另一水柱从距点P高0.2m的Q处喷出，其轨迹的解析式为，落点恰好为A点右边的B点处．
①求；
②水柱，两者的最大高度相差多少？
【答案】(1)
(2)①2米；②1.3米
【分析】（1）根据顶点式求解即可；
（2）①先求出的函数表示式，再求出抛物线与x轴的交点A、B的坐标，进而求解；
②利用抛物线的性质求出的顶点，进一步即可求出答案．
【详解】（1）根据题意可得：抛物线的顶点坐标是，
故抛物线的解析式是，
把点代入，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是；
（2）①由题意可得：，
代入，得，
∴，
当时，，
解得：，
∴，即，
令，
解得：，
∴，即，
∴米；
②∵，
∴的最大高度是3.6米，
∵，
∴的最大高度是4.9米，
∴水柱，两者的最大高度相差1.3米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意、求出抛物线的解析式是解题的关键．
20．（2021秋·陕西渭南·九年级校考期中）如图，已知抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．

(1)求、、三点的坐标；
(2)若点为线段上的一点（不与、重合），轴，且交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标．
【答案】(1)，，
(2)点坐标为
【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点的坐标，令则可求得、的坐标；
（2）由、的坐标可求得直线的解析式为，则可表示出点坐标，从而可用表示出的长，再利用二次函数的性质可求得线段的长度最大时的值，可求得点坐标．
【详解】（1）解：对于，令，则，
∴，
令，则，
解得：，，
∴，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为；
（2）设的解析式为，过点和，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵轴，
∴点的坐标为，
∴，
∴当时，最大，
此时点坐标为．
【点睛】本题考查二次函数图像与坐标轴的交点坐标，待定系数法确定一次函数解析式，二次函数的最值等知识．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．
21．（2022春·福建福州·八年级校考期末）已知抛物线．
(1)求证：该抛物线与x轴总有交点；
(2)若抛物线与x轴交于A、B两点，且，对于该抛物线上的任意两点，，当时，总有．
①求该抛物线的函数解析式；
②若直线与抛物线交于P，Q两点（P，Q都不与A，B重合），直线，分别与y轴交于点M，N，设M，N两点的纵坐标分别为m，n，求证：为定值．
【答案】(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1），即可证明该抛物线与轴总有交点；
（2）①由，可得或，又对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有，所以当时，随的增大而增大，所以．将点坐标代入解析式可得出和的值即可得出结论；②设出点和点的坐标，可得出直线和直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式，根据根与系数的关系可得，．所以．
【详解】（1）解：，
，
该抛物线与轴总有交点；
（2）①，
或，
对于该抛物线上的任意两点，，，，当时，总有，
当时，随的增大而增大，
．
．
又，
．
该抛物线的解析式为．
②证明：该抛物线的解析式为．
直线与抛物线交于，两点，
可设，
，
直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
，，，，
．
令，
整理得，
，．
．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，根与系数的关系等知识，本题计算量较大，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
22．（2022秋·福建福州·九年级校考期中）某超市销售一款洗手液，这款洗手液成本为每瓶16元，当销售单价定为每瓶20元时，每天可售出60瓶．市场调查反应，销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶．若设这款洗手液的销售单价上涨x元，每天的销售利润为y元．
(1)每天的销售量为________瓶，每瓶洗手液的利润是________元．（用含x的代数式表示）；
(2)若这款洗手液的日销售利润y达到300元，则销售单价应上涨多少元？
(3)当销售单价上涨多少元时（物价部门规定销售单价不得高于23元），这款洗手液每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】(1)，
(2)销售单价应上涨2元或6元
(3)当销售单价上涨3元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利为315元．
【分析】（1）根据销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶，则每天的销售量为瓶，每瓶洗手液的利润为元；
（2）利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（3）利用这款洗手液的日销售利润=每瓶洗手液的利润×每天的销售量列出函数解析式，根据函数的性质求函数最值．
【详解】（1）设这款洗手液的销售单价上涨x元，根据销售单价每上涨1元，则每天少售出5瓶，每天的销售量为瓶；
每瓶洗手液的利润为元；
（2）依题意得：，
整理得：，
解得：．
答：销售单价应上涨2元或6元；
（3）由题意得：，
∵，∴当时y随x的增大而减小，
∵销售单价不得高于23元
∴当时，y最大，最大值为315．
答：当销售单价上涨3元时，这款洗手液每天的销售利润y最大，最大利润为315元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．
的符号
开口方向
向上
向下
对称轴
直线
直线
顶点坐标
增减性
当时，随的增大而减小﹔
当时随的增大而增大
当时随的增大而增大，
当时随的增大而减小
最值
当时，有最小值
当时，有最大值
判别式
一元二次方程
的根的情况
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
二次函数的图象
抛物线与轴的交点
，
没有交点
x
…
0
1
3
…
y
…
0
3
4
0
…
···
···
···
···
t/秒
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
h/米
1.8
7.3
11.8
15.3
17.8
19.3
19.8
19.3
17.8
…
…
0
…
…
…