热点专题06反比例函数（9个热点）-九年级下册数学重难热点提升精讲与过关测试（人教版）

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考点一、反比例函数的定义
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.
一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.
注意：
（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是，故函数图象与轴、轴无交点；
（2）可以写成()的形式，自变量的指数是，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.
（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.
考点二、反比例函数的图像和性质
1.反比例函数的图象及性质
2.画反比例函数的图象的基本步骤：
（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；
（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；
（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交
考点三、实际问题与反比例函数
1.待定系数法：若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可．
2.列方程法：若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于因变量（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．
题型一反比例函数的定义
【例1】下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（ ）
①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系；
②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系；
③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系；
④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【例2】若函数是反比例函数，则 ．
【变式1-1】下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】若是关于的反比例函数，则常数 ．
【变式1-3】已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式．
题型二待定系数法求解析式
【例3】反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
【例4】如图，反比例函数的图象与直线交于点，直线：分别交两函数图象于点和点，过点作交反比例函数图象于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，求点的坐标．
【变式2-1】如图，是面积为4的等腰三角形，底边在x轴上，若反比例函数图象过点B，则它的解析式为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接、，求的面积．
【变式2-3】在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点B，若点B恰好在反比例函数的图象上，则此反比例函数的表达式为 ．
题型三反比例函数的图象的判断问题
【例5】在同一平面直角坐标系中，二次函数 与反比例函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【例6】函数与()在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-1】函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-2】已知在同一直角坐标系中，二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式3-3】函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C．
D．

题型四反比例函数的增减性问题
【例7】对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，随的增大而减小
B．图象分布在第二、四象限
C．图象经过点
D．若点都在图象上，且，则
【例8】若点，，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【变式4-1】从下列4个函数：①；②；③；④中任取一个，函数值随自变量的增大而增大的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【变式4-2】当反比例函数的自变量满足时，函数值满足，则的值为（ ）
A．B．或2C．或D．2或
【变式4-3】已知反比例函数的图象上两点．若，则m的取值范围是 ．
题型五图形面积与比例系数
【例9】如图，在反比例函数的图象上，有，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，则 ．
【例10】如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则 ．
【变式5-1】如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点B，作轴交函数的图象于点C，连接，四边形的面积为 ．
【变式5-2】如图，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图像上，顶点在反比例函数的图像上，点在轴的正半轴上，则平行四边形的面积是 ．
【变式5-3】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D．
(1)求一次函数的解析式；
(2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
(3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标．
题型六一次函数与反比例函数的交点问题
【例11】已知反比例函数与正比例函数图象交于，两点，若，则的值为 ．
【例12】已知点、点都在反比例函数图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S，求S；
(3)一次函数的图象过点P、Q，求一次函数的表达式，并根据图象直接写出不等式的解集．
【变式6-1】如图，直线与双曲线交于点A，将直线向右平移3个单位后，直线与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则 ．

【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，两条平行直线和分别与反比例函数的图象相交于点．已知直线经过点，且．

(1)求的值；
(2)求的值，并直接写出：当时，不等式的解集．
【变式6-3】如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)若这两个函数图象的另一个交点为C，点B在x轴上，且，求点B的坐标；
(3)若点在该反比例函数图象上，且它到x轴距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围．
题型七反比例函数的实际应用
【例13】受北京冬奥会影响，小勇爱上了滑雪运动．一天，小勇在滑雪场训练滑雪，他从滑雪道顶端匀速滑到终点．第一次用了秒；第二次比第一次速度提高了米秒，用了秒．
(1)求小勇第一次训练的速度是多少米/秒？
(2)求所用时间秒与速度米秒的函数关系式；若要使所用时间不超过秒，则速度应不低于多少米/秒？
【例14】学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”（）与放学后时间（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象趋势．若“拥挤指数”，校门外呈现“拥挤状态”，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．
(1)求该二次函数的解析式和k的值；
(2)“拥挤状态”持续的时间是否超过15分钟？请说明理由．
【变式7-1】为了更好助推乡村振兴，今年水果上市期间，某单位驻村工作队立足本地特色，在打通为农服务“最后一公里”上主动作为，在村里成立村级供销合作社，帮助果农进行销售，该村水果月销售额y（万元），在成立村级供销合作社前是反比例函数图象的一部分，成立村级供销合作社后是一次函数图象的一部分．
(1)当时，求y与x的关系式，并求出该种水果4月份的销售额；
(2)该村水果有多少个月的月销售额不超过90万元？
【变式7-2】制作一种工艺品时，需先将材料加热到，再进行后续操作．设整个过程所用时间为x（分钟），材料的温度为y（），材料加热过程中，温度y是时间x的一次函数，工艺品制作过程中，y是x的反比例函数，材料加热与工艺品制作过程中，y与x的函数图象如图所示．
(1)求工艺品制作过程中y与x的函数关系式；
(2)若此工艺品在制作过程中温度不能低于，那么只加热一次后，最多几分钟后就得停止工艺品的制作？
【变式7-3】大约在两千四五百年前，如图①墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图②，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当时，．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若小孔到蜡烛的距离为，求火焰的像高；
(3)若火焰的像高不得超过，求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米？
题型八反比例函数的存在性问题
【例15】如图，已知反比例函数与一次函数交于，N两点．

(1)求M，N两点的坐标；
(2)求的面积？
(3)若反比例函数在第一象限上存在一点P，使得是以为腰的等腰三角形，求P点坐标？
【例16】已知点A是反比例函数的图象与正比例函数图象在第三象限的交点，轴于点B，等腰直角三角形的面积等于4．
(1)求反比例函数与正比例函数的表达式；
(2)直线：图象分别交反比例函数与正比例函数的图象于点N、M，若，求点M的坐标；
(3)在（2）问条件下，点P是反比例函数图象第一象限分支上一动点，连接，是否存在直线，作于点Q，使得？若存在求出的表达式，若不存在请说明理由．
【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点与轴交于点，交轴交于点．

(1)求，的值；
(2)若点是反比例函数的图象上的一动点，连接，，当的面积等于时，求的坐标；
(3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的坐标．
【变式8-2】如图，直线与双曲线（）交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且．
(1)求k的值并直接写出点B的坐标；
(2)P是x轴上的一点，Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点G是直线上的动点，连接，，若三角形的面积为6，求点G的坐标．
【变式8-3】如图，是的直径， ，与相交于点E，D 是的中点，直线与直线相交于点F．

(1)求证：是的切线．
(2)已知，当长度变化时，的长也随之变化．
①当 时，
②在整个变化过程中，的长是否存在最大值？ 判断并说明理由．
题型九反比例与几何的综合
【例17】如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点A作轴于点．

（1）的值为 ；
（2）若的面积为，则 ．
【例18】如图，直线与双曲线交于，两点，与轴，轴分别交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设点是轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点的坐标；
(3)将直线向下平移个单位后，与双曲线有唯一交点，的值为______．
【变式9-1】如图，平面直角坐标系中有一，，点坐标为，，边与轴交于点，且，反比例函数与的图象分别经过点和点，则 ．

【变式9-2】如图，矩形中，，，点E是的中点，连接，点P是线段上的一动点，从E向B运动，连接，点M是的中点，连接，反比例函数的图像经过点M，当取得最小值时，k的值是 ．
【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，长方形的边分别在轴、轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过线段的中点．
(1)求的值；
(2)若点在反比例函数的图象上运动（不与点重合），过作轴于点，记的面积为，求关于的解析式，并写出的取值范围．
一、单选题
1．下列函数中，y是x反比例函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．在同一直角坐标系中，函数与 的图象大致是（ ）
A． B．

C．
D．

3．在函数的图象上有三点，，．则下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，为轴上一点，的面积为，则的值为( )
A．B．C．D．
5．如图，P，Q是反比例函数图象上的两个点，分别过P，Q作x轴，y轴的垂线，构成图中的三个相邻且不重叠的小矩形，其面积分别表示为，，，已知，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．如图，甲所示的是一款酒精浓度监测仪的简化电路图，其电源电压保持不变，为定值电阻，为酒精气体浓度传感器气敏电阻，的阻值与酒精浓度的关系如图乙所示，当接通电源时，下列说法正确的是（ ）
A．当酒精浓度增大时，的阻值增大
B．当酒精浓度增大时，电压表的示数与电流表的示数的比值不变
C．当酒精浓度增大时，电流表的示数变小
D．当酒精浓度增大时，电压表的示数变小
7．我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质：
①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到；
②的图象关于点对称；
③的图象关于直线对称；
④若，根据图象可知，的解集是．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．①②④
8．如图，点，B均为双曲线在第一象限上的点，且，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图像位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
10．若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为 ．
11．如图，已知反比例函数，，点A在y轴的正半轴上，过点A作直线轴，且分别与两反比例函数的图象交于点C和点B，连接，，若的面积为9，，则 ．
12．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
13．如图，点是双曲线上一点，射线与另一支曲线交于点轴，垂足为点．有以下结论：①；②点坐标为；③面积为；④随的增大而增大，其中正确的结论是 （填入正确答案的序号）．

14．如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点的反比例函数的表达式是，则图象经过点的反比例函数的表达式是 ．
15．定义，若，则的取值范围是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，过点的直线轴，分别交反比例函数和的图象于点，，且，．

（1）的值为 ；
（2）若直线与直线交于点，当点，，中其中两点关于第三点对称时，的值为 ．
三、解答题
17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于这两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求的面积．
(3)根据图象直接写出的x的取值范围．
18．如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于、两点，，轴，交轴于点．
(1)若，则 ．
(2)若，则点坐标 ；当 时，的取值范围 ．
(3)点在第一象限反比例函数图像上，，设，，用含或的式子表示和长，并求值．
19．某种原料需要达到60℃及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度y（℃）与时间x（min）之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是反比例函数图象的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
(1)填空：a的值为 ；
(2)在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间．
20．如图，已知，，连接，以为边在第一象限内作正方形，直线与反比例函数相交于，两点，连接，交轴于点．

(1)求的值及直线的解析式；
(2)求的面积．
21．如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，．
(1)分别求出两个函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
(3)连接，，求的面积；
(4)点是反比例函数上一点，轴交直线于，且请直接写出点的坐标．
反比例函数的图象是双曲线
图象
性质
（1）图象分别位于第一、三象限；
（2）在每个象限内，值随值的增大而减小
（1）图象分别位于第二、四象限；
（2）在每个象限内，值随值的增大而增大
对称性
反比例的图像关于原点的对称