山东省济南市历城区2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

这是一份山东省济南市历城区2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．下列实数，-1，0，中，最小的是（ ）
A． B．-1 C．0 D．
2．2023年济南（泉城）马拉松于10月29日成功举办．图①是此次泉城马拉松男子组颁奖现场示意图．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米／分．把“450000”用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则∠2等于（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则的结果可能是（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
7．春节期间，琪琪和乐乐分别从A，B，C三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步编号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．如图，，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，连接OP；连接AB，AP，BP，过点P作于点E，于点F，则以下结论不正确的是（ ）
A．△AOB是等边三角形 B． C． D．
10．定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若点P（a，b）满足，我们把点P称作“半分点”，例如点（-3，-6）与都是“半分点”．有下列结论：
①一次函数的图象上的“半分点”是（2，4）；
②若双曲线上存在“半分点”（t，4），且经过另一点，则m的值为2；
③若关于x的二次函数的图象上恰好有唯一的“半分点”P，则n的值为4；
④若点P（2，4）是二次函数的半分点，若点Q的坐标为（m，n），则OQ的最小值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．分解因式________．
12．如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是________．
13．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根________．
14．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的的小数部分可以表示为________．
15．如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段AB，BC和射线CD组成．如果小明同学乘坐出租车5km付车费14元，那么张老师乘坐出租车里程是11km．他应该付的车费是________元．
16．如图，矩形ABCD中，，点E为AD上一动点，连接CE，将△DCE沿CE翻折得到△FCE，连接BF，点G为BF的中点，连接AG，则线段AG的最小值为________．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：
18．（6分）解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解．
19．（6分）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，，求证：．
20．（8分）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78
整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）________；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是________度；本次测试成绩更整齐的是________校（填“甲”或“乙”）；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是________校的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩达到75分（≥75分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数．
21．（8分）寒假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m／min，登山缆车的速度为60m／min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1min）
（参考数据：，，）
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，，求BC的长．
23．（10分）山东省某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A，B两种图书共300本，其中A种图书每本20元，B种图书每本30元．
（1）若购进A，B两种图书刚好花费8000元，求A，B两种图书分别购买了多少本？
（2）若购买B种图书的数量不少于A种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用．
24．（10分）直线分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数的图象交于点A（1，3）、B（3，m）．
（1）求a的值及直线的解析式；
（2）连接AO，若在射线DO上存在点E，使，求点E的坐标；
（3）如图2，将反比例函数的图象沿直线翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围．
25．（12分）
（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为________；②________°
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，，，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，，，，点D在AB边上，于点E，，将△ADE绕点A旋转，当点B，D，E三点在同一直线上时，求点C到直线DE的距离．
26．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（1，0）．过点B作直线轴，过点D作，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上的点，直线BP与DE交于点Q，当时，求点P的坐标；
（3）坐标轴上是否存在点F，使得，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
九年级质量检测数学试题（3月）参考答案
一、选择题
二、填空题
11．； 12．； 13．2； 14．； 15．27； 16．3
三、解答题
17．解：
．
18．解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：，
所有正整数解有：1、2、3．
19．证明：解法一：
∵四边形ABCD是菱形，∴，
又∵，∴，∴，
在△ADE和△CDF中，
，
∴，
∴．
解法二：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴，∴，
在△ACE和△CAF中，
，
∴，∴．
20．解：（1）72.5；135°；乙；3分
（2）甲；5分
（3）（人）
答：估计甲校能参加第二轮人数为240人
21．解：（1）如图，过点B作于点M，
由题意可知，，，，，
在Rt△ABM中，，，
∴，
∴，
答：登山缆车上升的高度DE为450m；
（2）在Rt△BDE中，，，
∴，
∴需要的时间
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4min．
22．（1）证明：如图，连接OE，
∵，∴，
∴
∵EF为⊙O的切线 ∴ ∴
∵AB是⊙O的直径，∴
∵ ∴
即
∴
（2）解：在Rt△EOF中，设半径为r，即，则，
∴，∴，
∴，
在Rt△ABC中，，，
∴，
∴．
23．解：（1）设购买了A种图书x本，B种图书y本，根据题意，得：
，
解得，
答：购买了A种图书100本，B种图书200本；
（2）设购买A种图书a本，则购买B种图书本，
根据题意，得，
解得，
∴，且a为整数，
设购买两种图书的总费用为w元，
则，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w取最小值，最小值为7500元，此时
答：当购买A、B两种图书各150本时，所需总费用最小，为7500元．
24．解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数上，
∴将点A的坐标代入，得，
∴，
又∵B（3，m）在反比例函数上，
∴．即B（3，1）
∵点A（1，3），B（3，1）在直线上
∴
∴
（2）∵直线为，∴C（0，4）．
∵，．
∴．
由题意画出图形，设E（d，0），
如图，E在射线DO上，此时可得E必在x轴负半轴，，
∴．
∴．
∴．∴E（-2，0）．
（3）
25．解：（1），60；4分
（2），，6分
（未判断，但下面证明对，此处不扣分）
证明：
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∵Rt△ABC和Rt△ADE中，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
；（建议：此问，相似证明2分，两个结论的求解各一分）
（3）情况一：如图1，由题意可知在直角△ABC和直角△ADE中，，，
∴ ∴
∵B，D，E共线 ∴△ABE为直角三角形
由勾股定理得：
∴
由（1）（2）易得：
∴，
∴；A，B，C，E四点共圆
作垂足为M
∴
在直角三角形MEC中，，
∴，即点C到直线DE的距离为
情况二：如图2
同理可得，即点C到直线DE的距离为；
综上可得：C到直线DE的距离为或．
26．解：（1）∵抛物线的对称轴交x轴于点D（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线，
∴①，
∵点A（-1，0）在抛物线上，
∴②，
由①②联立方程组，
解得：，，
∴抛物线的解析式为；
（2）设DE交y轴于G，过P作交DE于H，如图：
在中，令得，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∵，∴，即，
∴，∴，
∴，
由，D（1，0）得直线DE函数表达式为；
在中，令得；
解得或，
∴B（3，0），
在中，令得，
∴，∴，
设，则，
∴，
∵，∴，
∴
解得：或1
又∵P为第四象限抛物线上的点
∴
（3）坐标轴上存在点F，使得，理由如下：
当F在x轴上时，如图：
由（2）知，，，D（1，0），
∴，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴；
当F在y轴上时，过E作轴于T，如图：
∵，∴，
∵，∴，
∴△ETF是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，，
∴，∴；
综上所述，F的坐标为或．①第一步 原式
②第二步
③第三步
④第四步
组别
甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
统计量
平均数
众数
中位数
方差
甲
74.5
86
m
47.5
乙
73.1
84
76
23.6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
D
C
B
D
D
B