2024年湖南省衡阳市衡南县中考模拟数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、学校、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
3． 不能使用计算器
一、单选题（共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 如图所示的是一个正方体的表面展开图，每个面都标注了一个字，则展开前与“冷”字相对的是（ ）
A 仔B. 着C. 沉D. 细
2. 某中学初中部与高中部为进一步提高研学质量，着力培养学生的核心素养，选取了“南岳衡山”，“岳屏公园”，“夏明翰故居”，“石鼓书院”作为候选研学基地．若随机选择，则该中学初中部与高中部最终只有一个选择南岳衡山作为年研学基地的概率是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知，和的平分线相交于，，则的度数为（ ）
A 100°B. 130°C. 140°D. 160°
4. =（ ）
A. 9B. C. D.
5. 已知，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
6. 若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
7. 已知：如图，直线分别与轴，轴交于、两点，点，若在直线上取一点，在轴上取一点，连接、、NP，则最小值是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系内，矩形的顶点与原点重合，点在第二象限，点和点在第一象限，对角线的中点为点，且点在反比例函数的图像上，若点的纵坐标为4，且，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共2个小题，每小题4分，漏选记2分，错选记0分，共8分）
9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ）
A. 月测试成绩为“优秀”的学生达到人
B. 月体育测试中学生的及格率为
C. 从月到月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D. 月增长的“优秀”人数比月增长的“优秀”人数多
10. 如图，正方形，点在边上，且，，垂足为，且交于点，与交于点，延长至，使，连接，下列结论中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 如果单项式－22x2my3与23x4yn＋1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______.
12. 如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率是___________．
13. 如图，在中，若是关于的方程的两根，且的周长是10，则__________．
14. 已知点和直线，求点P到直线的距离d可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：在平面直角坐标系中，已知过点的直线的方程为，直线的方程为，记直线与直线的夹角为（为锐），则______________．
15. 定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为________________．
四、解答题（共70分）
16. （1）计算：；
（2）解不等式：；
（3）先化简再求值：，其中
17. 已知、是关于的方程的两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）已知等腰的一边长为1，若、恰好是另外两边长，求这个三角形的周长．
18. 为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．
（2）为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；
（3）经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．
①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周销售中是否需要调低午餐的单价；
②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？
19. 如图，直线经过点与y轴正半轴交于B，在x轴正半轴上有一点D，且．过D点作轴交直线于C点，反比例函数经过点C．
（1）求b和反比例函数的解析式；
（2）将点B向右平移m个单位长度得到点P，当四边形为菱形时，求出m的值，并判断点P是否在反比例函数图象上；
（3）点E是x轴上一点，且是等腰三角形，求所有点E的坐标．
20. 如图（1），在四边形中，，，，，，动点P从点D开始沿边匀速运动，动点Q从点A开始沿边匀速运动，它们的运动速度均为．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），．
‍
（1）用含t的代数式表示；
（2）当以点A，P，Q为顶点的三角形与相似时，求t的值；
（3）如图（2），延长，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的值．
21. 【材料阅读】如图1，在△ABC中，设的对边分别为a，b，c，过点A作，垂足为D，会有，则=，即，同理，．有以上三式可得：正弦定理：，通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如图2，在中，设的对边分别为a，b，c，则①
② ③
用以上的公式和定理解决问题：
【简单应用】（1）在锐角中，设对边分别为a，b，c，且，求；
（2）如图3，在中，，，求的面积与周长．
【灵活应用】（3）如图4，在中，角所对的边分别为，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长．（参考数据：）
种类
数量（份）
A
1800
2300
900