湖南省株洲市第十三中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若a，b，c是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对ABC，举反例判断，对D，根据指数函数的单调性判断即可
【详解】对A，当时，满足，但不成立，故A错误；
对B，当时，满足，但不成立，故B错误；
对C，当时，不成立，故C错误；
对D，∵是增函数，且，∴．
故选：D
2. 已知向量，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用坐标计算平面向量的加法即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B
3. 在三角形中，，则的大小为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：，选A
考点：余弦定理
4. 关于不等式：的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可解.
【详解】由得，
其解集等价于，
解得.
故选：B
5. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形面积为，得到，利用余弦定理得到，最后根据正弦定理求.
【详解】由，得，
因为，，所以.
由余弦定理得，解得，
所以.
故选：C.
6. 八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论：
①； ②；
③； ④.
其中正确的结论为（ ）
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，，①错误；
对于②，由正八边形性质知：，，设，
，为中点，，
，，，
又，，②正确；
对于③，，
由正八边形性质知：且，即，
，又，
，③正确；
对于④，，④正确.
故选：C.
7. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据一元二次不等式与对应方程的关系，求解的关系，再代入函数，即可分析函数的图象.
【详解】因为的解集为，所以方程的两根分别为和，且，则，，
故函数的图象开口向下，且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合.
故选：A
8. 在中，为线段上的动点，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求得，再求得，可得到，用基本不等式求的最小值.
【详解】设，
因为，所以，①
因为，且，
所以，
由正弦定理可得，②
又，所以，③
由①，②，③解得，
由余弦定理，所以，
，
因为点三点共线，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．
9. 下列四式中能化简为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据平面向量的运算法则，计算出各选项即可.
【详解】，则A正确；
，B错误；
，C错误；
，则D正确；
故选：AD.
10. 【多选题】已知，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最小值为2
D. 若向量与向量的夹角为钝角，则的取值范围为
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示，向量模和夹角的坐标表示，通过计算验证各选项中的结论.
【详解】已知，
若，则，解得，A选项正确；
若，则，解得，B选项正确；
，，
当时，有最小值，C选项错误；
当时，，，
向量与向量的夹角为，D选项错误.
故选：AB
11. 如图所示，在直角三角形中，是上一点，，，则下列说法中正确的有（ ）
A. B.
C. D. 三角形的面积
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，设表示出，利用，在三角形中，正弦定理求出的值，进而判断A；对于B，根据，即可判断B；由，判断C；利用，判断D.
【详解】设，则在直角三角形中，，
在三角形中，，
根据正弦定理可得，即，
得
，
所以，
因为，即，
所以，即，
所以，
对于A选项，，故A正确；
对于B选项，因为，所以，所以，故B错误；
对于C选项，因为，，所以由正弦定理得
，所以，故C正确；
对于D选项，因为，所以，
所以，
，故D正确，
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 已知，则的最小值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】利用基本不等式即可求值.
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：4
13. 向量在向量上的投影向量为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为，，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
14. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________
【答案】等腰三角形或直角三角形
【解析】
【分析】通过正弦定理，边化角，找到角度间的联系即可.
【详解】由及正弦定理，得
所以或，
故是等腰三角形或直角三角形．
故答案为：等腰三角形或直角三角形
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，或，．
（1）求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集运算求出；
（2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可.
【小问1详解】
因为，又，
所以.
【小问2详解】
或，所以，
因为“”是“”的充分不必要条件，
则，又，
所以.
16. 已知不等式，的解集是．
（1）求常数的值；
（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程，求出的值；
（2）依题意可得关于的不等式的解集为，则，即可求出的取值范围.
【小问1详解】
因为的解集是，
所以和为关于的方程的两根且，
所以，解得.
【小问2详解】
由（1）可得关于的不等式的解集为，
所以，解得，
即的取值范围为.
17. 已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
（1）求实数的值；
（2）若，，求的坐标；
（3）已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算以及向量共线定理求解；
（2）利用向量的坐标运算求解；
（3）利用共线向量的坐标运算求解.
【小问1详解】
．
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，
即，得．
因为，是平面内两个不共线非零向量，
所以，解得，．
【小问2详解】
．
【小问3详解】
因为四边形是平行四边形，所以,
设，则，
因为，
所以，解得，
即点的坐标为．
18. 已知△ABC内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
（1）求B的大小；
（2）若△ABC为钝角三角形，且，求△ABC的周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正余弦定理，将条件变形，求角的大小；
（2）根据正弦定理，将周长表示为三角函数，根据函数的定义域，求周长的取值范围.
【小问1详解】
根据余弦定理可知，，
所以，即，
则,，所以；
【小问2详解】
设，
根据正弦定理可知，
所以,，
所以周长
,
因为,，
所以，所以，
所以的周长为.
19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．

（1）若，，求在上的投影向量斜坐标．
（2）若，，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量模的公式、平面向量数量积的定义和运算性质，结合投影向量的定义进行求解即可；
（2）根据平面向量模的公式、平面向量数量积的定义和运算性质，结合平面向量夹角公式、函数的单调性进行求解即可.
【小问1详解】
∵若，，
所以，
，
，
，
∴在上的投影向量为
即在上的投影向量斜坐标为；
【小问2详解】
∵，
∴，，
∴，
又，，
，，
，
令，则，，
又，在上单调递增，
∴，即的最小值为.
【点睛】关键点睛：利用平面向量数量积的运算性质，结合分式型函数的单调性是解题的关键.