人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.3.1 Word版含答案

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4.3.1　空间直角坐标系学习目标　1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标．知识点　空间直角坐标系思考1　在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？答案　三个．思考2　空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？答案　空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．梳理　(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．类型一　确定空间中点的坐标例1　已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5eq \r(2)，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标．解　因为|PO|＝eq \r(|PB|2－|OB|2)＝eq \r(169－25)＝12，所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)，－\f(5\r(2),2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5\r(2),2)，\f(5\r(2),2)，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2),2)，\f(5\r(2),2)，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5\r(2),2)，－\f(5\r(2),2)，0)).引申探究1．若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标．解　各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5,0,0)，B(0,5,0)，C(－5,0,0)，D(0，－5,0)．2．若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．解　因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以正四棱锥的高为2eq \r(23)，以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2,0)，B(2,2,0)，C(－2,2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2eq \r(23))．反思与感悟　(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．②充分利用几何图形的对称性．(2)求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．(3)坐标平面上的点的坐标特征xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．(4)坐标轴上的点的坐标特征x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．跟踪训练1　在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝eq \f(1,4)|CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E、F、G、H的坐标．解　建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的横坐标x、纵坐标y均为0，而E为DD1的中点，故E点坐标为(0,0，eq \f(1,2))．过F作FM⊥AD、FN⊥DC，由平面几何知识，得|FM|＝eq \f(1,2)，|FN|＝eq \f(1,2)，故F点坐标为(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0)．点G在y轴上，其横坐标x、竖坐标z均为0，又|GD|＝eq \f(3,4)，故G点坐标为(0，eq \f(3,4)，0)．过H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点，故K为CG的中点，故点H的坐标为(0，eq \f(7,8)，eq \f(1,2))．类型二　已知点的坐标确定点的位置例2　在空间直角坐标系Oxyz中，作出点P(5,4,6)．解　方法一　第一步：从原点出发沿x轴正方向移动5个单位．第二步：沿与y轴平行的方向向右移动4个单位．第三步：沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示)，即得点P.方法二　以O为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，且棱长分别为5,4,6，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.反思与感悟　已知点P的坐标确定其位置的方法(1)利用平移点的方法，将原点按坐标轴方向三次平移得点P.(2)构造适合条件的长方体，通过和原点相对的顶点确定点P的位置．(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面，由平面的交点确定点P.跟踪训练2　点(2,0,3)在空间直角坐标系中的(　　)A．y轴上 B．xOy平面上C．xOz平面上 D．yOz平面上答案　C解析　∵点(2,0,3)的纵坐标为0，∴此点是xOz平面上的点，故选C.类型三　空间中点的对称问题eq \x(命题角度1　关于点和线的对称问题)例3　(1)在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标是(　　)A．(0,0,0) B．(2，－1，－4)C．(6，－3，－12) D．(－2,3,12)(2)已知点A(－3,1，－4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为(　　)A．(－3，－1,4) B．(－3，－1，－4)C．(3,1,4) D．(3，－1，－4)答案　(1)C　(2)A解析　(1)根据题意知，M为线段PP3的中点，设P3(x，y，z)，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，∴P3(6，－3，－12)．故选C.(2)∵在空间直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，又点A(－3,1，－4)，∴点A关于x轴对称的点的坐标是(－3，－1,4)．故选A.反思与感悟　(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题．(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本例(2)中点A关于x轴对称，则对称点的横坐标不变，纵、竖坐标都变为其相反数．跟踪训练3　在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2,3，－4)两点的位置关于______对称．答案　y轴eq \x(命题角度2　关于平面对称)例4　在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　)A．(－1,3，－5) B．(1，－3,5)C．(1,3,5) D．(－1，－3,5)答案　C解析　∵两点关于平面xOy对称，则横坐标相同，纵坐标相同，竖坐标互为相反数，∴点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5)．故选C.反思与感悟　本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混，破解此类题关键是关于“谁”对称，“谁”不变，如本题，点P关于平面xOy对称，则对称点的横、纵坐标不变，竖坐标变为其相反数．跟踪训练4　点(1，a，b)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1,2，c)和(d，－2，－3)，则a，b，c，d的值分别是________．答案　2,3，－3,11．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是(　　)A.eq \r(a2＋b2) B．|a|C．|b| D．|c|答案　D解析　点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为(　　)A．(0，eq \f(1,2)，eq \f(1,2)) B．(eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2))C．(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，0) D．(eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，eq \f(1,2))答案　B解析　由题图得A(0,0,0)，B1(1,0,1)，所以对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为(eq \f(1,2)，0，eq \f(1,2))．3．如图所示，点P′在x轴的正半轴上，且|OP′|＝2，点P在xOz平面内，且垂直于x轴，|PP′|＝1，则点P的坐标是________．答案　(2,0,1)4．点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______；点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________．答案　(1,1，－1)　(－1，－1,1)解析　点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1)．5．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中，|AA1|＝2|AB|＝4，点E在CC1上且|C1E|＝3|EC|.试建立适当的坐标系，写出点B，C，E，A1的坐标．解　以点D为坐标原点，射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题设知，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,4)．1．空间中确定点M的坐标的三种方法(1)过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的横坐标和纵坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标．(2)构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．2．求空间对称点的规律方法(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．课时作业一、选择题1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是(　　)A．(1,0,0) B．(1,0,1) C．(1,1,1) D．(1,1,0)答案　C解析　点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.2．在空间直角坐标系中，已知点P(1，eq \r(2)，eq \r(3))，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　)A．(0，eq \r(2)，0) B．(0，eq \r(2)，eq \r(3))C．(1,0，eq \r(3)) D．(1，eq \r(2)，0)答案　B3．在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是(　　)A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对答案　C解析　当三个坐标均相反时，两点关于原点对称．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(　　)A．7 B．－7 C．－1 D．1答案　D解析　∵点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)，∴c＝－3，e＝4，则c＋e＝1.5．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为(　　)A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面答案　A解析　点P(1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1，y,2)的集合为垂直于xOz平面的一条直线，故选A.6．如图，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝eq \f(1,3)|BD′|，则P点的坐标为(　　)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3)))答案　D解析　连接BD，点P在xDy平面的射影落在BD上，∵|BP|＝eq \f(1,3)|BD′|，∴Px＝Py＝eq \f(2,3)，Pz＝eq \f(1,3)，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(1,3))).二、填空题7．在空间直角坐标系中，自点P(－4，－2,3)引x轴的垂线，则垂足的坐标为________．答案　(－4,0,0)解析　过空间任意一点P作x轴的垂线，垂足均为(a,0,0)的形式，其中a为点P在x轴上的分量，所以垂足的坐标为(－4,0,0)．8．已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2，－3，－5)，B(－1,3,2)，对角线的交点是E(4，－1,7)，则C，D的坐标分别为________．答案　(6,1,19)，(9，－5,12)解析　由题意知，E为AC与BD的中点，利用中点坐标公式，可得C(6,1,19)，D(9，－5,12)．9．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，则线段AA3的中点M的坐标为________．答案　(－4,0,0)解析　由题意知A1(4，－2，－3)，则A1关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3)，则A2关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)．由中点坐标公式，得M(－4,0,0)．10．如图所示的是棱长为3a的正方体OABC－O′A′B′C′，点M在B′C′上，且|C′M|＝2|MB′|，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为________．答案　(2a,3a,3a)解析　∵|C′M|＝2|MB′|，∴|C′M|＝eq \f(2,3)|B′C′|＝2a，∴点M的坐标为(2a,3a,3a)．11．在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为________、________.(填序号)答案　④　②解析　由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.三、解答题12.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(2)求点N的坐标．解　(1)由题意知，A(0,0,0)．由于点B在x轴的正半轴上，且AB＝4，所以B(4,0,0)．同理可得D(0,3,0)，A1(0,0,5)．由于点C在坐标平面xOy内，且BC⊥AB，CD⊥AD，所以C(4,3,0)．同理可得B1(4,0,5)，D1(0,3,5)．与点C的坐标相比，点C1的坐标只有竖坐标与点C不同，且CC1＝AA1＝5，所以C1(4,3,5)．(2)由(1)知，C(4,3,0)，C1(4,3,5)，则CC1的中点N的坐标为(4,3，eq \f(5,2))．13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AD|＝|AA1|＝2，|AB|＝4，DE⊥AC，垂足为E，求点E的坐标．解　如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D(0,0,0)，B1(2,4,2)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，设点E的坐标为(x，y,0)．在坐标平面xDy内，直线AC的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,4)＝1，即2x＋y－4＝0，∵DE⊥AC，∴直线DE的方程为x－2y＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0，,x－2y＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(4,5)，))∴E(eq \f(8,5)，eq \f(4,5)，0)．四、探究与拓展14．如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．答案　(eq \f(a,3)，eq \f(b,3)，eq \f(c,3))解析　由题知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)．由重心坐标公式得G的坐标为(eq \f(a,3)，eq \f(b,3)，eq \f(c,3))．15．如图所示，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．解　因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE与两圆所在的平面也都垂直．又因为AB＝AC＝6，BC是⊙O的直径，所以△BAC为等腰直角三角形且AF⊥BC，BC＝6eq \r(2).以O为原点，OB，OF，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，E，F各个点的坐标分别为A(0，－3eq \r(2)，0)，B(3eq \r(2)，0,0)，C(－3eq \r(2)，0,0)，D(0，－3eq \r(2)，8)，E(0,0,8)，F(0,3eq \r(2)，0)．