人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.1 Word版含答案
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这是一份人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.2.1 Word版含答案，共13页。
4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断类型一 直线与圆的位置关系的判断例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝eq \f(6,\r(m2＋1))，圆的半径为r＝2.①若相交，则d＜r，即eq \f(6,\r(m2＋1))＜2，所以m＜－2eq \r(2)或m＞2eq \r(2)；②若相切，则d＝r，即eq \f(6,\r(m2＋1))＝2，所以m＝±2eq \r(2)；③若相离，则d＞r，即eq \f(6,\r(m2＋1))＞2，所以－2eq \r(2)＜m＜2eq \r(2).反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1 对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )A．相离 B．相切C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心答案 C解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，则直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交．又直线y＝kx＋1的斜率存在，则该直线必不过圆心(0,0)，故选C.类型二 切线问题eq \x(命题角度1 求切线方程)例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点A在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以eq \f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq \r(k2＋1)，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq \f(15,8).所以切线方程为－eq \f(15,8)x－y＋eq \f(15,2)－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.引申探究若本例的条件不变，求其切线长．解 因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，|AC|＝eq \r(3－42＋1＋32)＝eq \r(17)，又|BC|＝r＝1，则|AB|＝eq \r(|AC|2－|BC|2)＝eq \r(\r(17)2－12)＝4，所以切线长为4.反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目．(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为－eq \f(1,k)，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．跟踪训练2 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________．答案 x＋2y－5＝0解析 点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，可得此圆的方程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y＝5，即x＋2y－5＝0.eq \x(命题角度2 已知直线与圆相切，求圆的方程)例3 过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_______．答案 (x－3)2＋y2＝2解析 由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3. ①过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0， ②联立①②，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝0，))所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝eq \r(4－32＋1－02)＝eq \r(2)，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.反思与感悟 此类题易错点是求最值时，对参数无法破解而致错，避免此类错误的关键：一是会用公式，即会利用点到直线的距离公式求距离；二是会转化，把要求的半径最大问题，转化为求代数式的最值；三是会利用圆的标准方程写出圆的方程. 跟踪训练3 已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2答案 B解析 设圆心为C(a，－a)，则eq \f(|a＋a|,\r(2))＝eq \f(|a＋a－4|,\r(2))，解得a＝1，所以r＝eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选B.类型三 弦长问题例4 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点．若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为________．(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2eq \r(2)的圆的方程为_________________．答案 (1)eq \r(30) (2)(x－2)2＋(y＋1)2＝4解析 (1)方法一 (交点法)由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2＝8，))解得A(eq \f(1＋\r(15),2)，eq \f(1－\r(15),2))，B(eq \f(1－\r(15),2)，eq \f(1＋\r(15),2))．∴|AB|＝eq \r(\f(1－\r(15),2)－\f(1＋\r(15),2)2＋\f(1＋\r(15),2)－\f(1－\r(15),2)2)＝eq \r(30).方法二 (弦长公式)由题意知，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2＝8，))消去y，得2x2－2x－7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝1，x1x2＝－eq \f(7,2).∴|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋1)·eq \r(12＋4·\f(7,2))＝eq \r(30).方法三 (几何法)由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0，圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝eq \f(|－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，则有|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2 eq \r(8－\f(1,2))＝eq \r(30).(2)设圆的半径为r，由条件，得圆心到直线y＝x－1的距离为d＝eq \f(|2＋1－1|,\r(2))＝eq \r(2).又直线y＝x－1被圆截得的弦长为2eq \r(2)，即半弦长为eq \r(2)，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2，∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4eq \r(5)，求直线l的方程．解 方法一 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，∴直线l的斜率存在，设其方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5(1－k)＝0.如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，|OA|＝5，|AH|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2)·4eq \r(5)＝2eq \r(5).∴|OH|＝eq \r(|OA|2－|AH|2)＝eq \r(5)，∴eq \f(|51－k|,\r(k2＋1))＝eq \r(5)，解得k＝eq \f(1,2)或k＝2.∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.方法二 若直线l的斜率不存在，则l：x＝5与圆C相切，不合题意，∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，且与圆相交于A(x1，y1), B(x2，y2)两点．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－5＝kx－5，,x2＋y2＝25，))消去y，得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0，∴Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0，解得k>0.又∵x1＋x2＝－eq \f(10k1－k,k2＋1)，x1x2＝eq \f(25kk－2,k2＋1)，由斜率公式， 得y1－y2＝k(x1－x2)．∴|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2x1－x22)＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \r(1＋k2[\f(100k21－k2,k2＋12)－4·\f(25kk－2,k2＋1)])＝4eq \r(5)，两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝eq \f(1,2)或k＝2，均符合题意．故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0.反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式 |AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在)． (3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有(eq \f(|AB|,2))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq \r(r2－d2).通常采用几何法较为简便．跟踪训练4 已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.(1)证明：直线l与圆相交；(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长．(1)证明 ∵l：kx－y＋k＋2＝0，直线l可化为y－2＝k(x＋1)，∴直线l经过定点(－1,2)，∵(－1)2＋22
