人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.1.2 Word版含答案

这是一份人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第四章圆与方程4.1.2 Word版含答案，共11页。
4.1.2　圆的一般方程学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程．知识点　圆的一般方程思考1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？答案　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形．思考2　方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？答案　对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方并移项，得(x＋eq \f(D,2))2＋(y＋eq \f(E,2))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，①当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以(－eq \f(D,2)，－eq \f(E,2))为圆心，eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)为半径长的圆；②当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－eq \f(D,2)，y＝－eq \f(E,2)，它表示一个点(－eq \f(D,2)，－eq \f(E,2))；③当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形．梳理类型一　圆的一般方程的概念例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．解　由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，解得m0成立，则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．跟踪训练1　(1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________．(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．答案　(1)(－2，－4)　5　(2)9π解析　(1)由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2，得a＝2或－1.当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋eq \f(5,2)＝0，∵D2＋E2－4F＝12＋22－4×eq \f(5,2)＜0，∴a＝2不符合题意．当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.(2)圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标为(－eq \f(k,2)，－1)，由圆的性质知，直线x－y＋1＝0经过圆心，∴－eq \f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，∴圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为eq \f(1,2)eq \r(42＋22＋16)＝3，∴该圆的面积为9π.类型二　求圆的一般方程例2　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．(1)求△ABC的外接圆的方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．解　(1)设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(22＋22＋2D＋2E＋F＝0，,52＋32＋5D＋3E＋F＝0，,32＋－12＋3D－E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12.))即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.引申探究若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？解　∵kAB＝eq \f(3－2,5－2)＝eq \f(1,3)，AB的中点坐标为(eq \f(7,2)，eq \f(5,2))，∵AB的垂直平分线方程为y－eq \f(5,2)＝－3(x－eq \f(7,2))．联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－x，,y－\f(5,2)＝－3x－\f(7,2)，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(13,2)，,y＝－\f(13,2)，))即圆心C的坐标为(eq \f(13,2)，－eq \f(13,2))，r＝ eq \r(\f(13,2)－22＋－\f(13,2)－22)＝ eq \f(\r(370),2)，∴圆C的方程为(x－eq \f(13,2))2＋(y＋eq \f(13,2))2＝eq \f(185,2).反思与感悟　应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.跟踪训练2　已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq \r(3)，求圆的方程．解　方法一　(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q的坐标分别代入上式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＋20＝0，　　　 　 　　 　 　 ①,D－3E－F－10＝0. ②))令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，　　　　　　 ③由已知得|y1－y2|＝4eq \r(3)，其中y1，y2是方程③的根，∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④联立①②④解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.方法二　(几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．又圆C的半径长r＝|CP|＝eq \r(a－42＋a＋12). ①由已知得圆C截y轴所得的线段长为4eq \r(3)，而圆心C到y轴的距离为|a|，∴r2＝a2＋(eq \f(4\r(3),2))2，代入①整理得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝eq \r(13)，r2＝eq \r(37).故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.类型三　与圆有关的轨迹方程例3　已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．解　设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心坐标为C(3,3)．因为CM⊥AM，所以kCM·kAM＝－1，即eq \f(y－3,x－3)·eq \f(y＋5,x＋3)＝－1，即x2＋(y＋1)2＝25.所以弦PQ的中点M的轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．反思与感悟　求轨迹方程的三种常用方法(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明．(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得P点的轨迹方程．易错警示　在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，即应排除不合适的点．跟踪训练3　已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程．解　设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y.))∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴xeq \o\al(2,0)＋yeq \o\al(2,0)－8x0－6y0＋21＝0，∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0，即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋eq \f(21,4)＝0.1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为(　　)A．8π B．4π C．2π D．π答案　C解析　原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝eq \r(2)，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.2．若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是(　　)A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0答案　C解析　圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长．由k＝eq \f(2－0,4－3)＝2，可知C正确．3．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(　　)A．m≤2 B．m＜eq \f(1,2)C．m＜2 D．m≤eq \f(1,2)答案　B解析　由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，即m＜eq \f(1,2).4．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　)A．－2,4,4 B．－2，－4,4C．2，－4,4 D．2，－4，－4答案　A解析　由方程得圆心坐标为(－a，eq \f(b,2))，半径为r＝ eq \f(\r(4a2＋b2－4c),2).由已知，得－a＝2，eq \f(b,2)＝2，eq \f(\r(4a2＋b2－4c),2)＝2，解得a＝－2，b＝4，c＝4.5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．解　设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝eq \f(x0＋x,2)，3＝eq \f(y0＋y,2)，于是有x0＝8－x ，y0＝6－y. ①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋yeq \o\al(2,0)＝4， ②把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D2＋E2－4F是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数．2．待定系数法求圆的方程如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D、E、F.3．求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)．(2)列出点M满足条件的集合．(3)用坐标表示上述条件，列出方程f(x，y)＝0.(4)将上述方程化简．(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．课时作业一、选择题1．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)A．2 B.eq \f(\r(2),2) C．1 D.eq \r(2)答案　D解析　因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝eq \f(|1＋2－1|,\r(2))＝eq \r(2).2．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)答案　D解析　原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋a＝0，,y＋b＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－a，,y＝－b.))∴方程表示点(－a，－b)．3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq \r(5)为半径的圆的方程为(　　)A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0答案　C解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,x＋1＝0，))得C(－1,2)．∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r＞0)的圆，则该圆的圆心在(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　D解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，又方程可化为(x＋eq \f(a,2))2＋(y－a)2＝－eq \f(3,4)a2－3a，故圆心坐标为(－eq \f(a,2)，a)，r2＝－eq \f(3,4)a2－3a.由r2＞0，即－eq \f(3,4)a2－3a＞0，解得－4＜a＜0，故该圆的圆心在第四象限．5．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是(　　)A．m＞0 B．m＜eq \f(1,2)C．0＜m＜eq \f(1,2) D．0≤m≤eq \f(1,2)答案　C解析　x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为(x－eq \f(1,2))2＋(y＋eq \f(1,2))2＝eq \f(1,2)－m，则eq \f(1,2)－m＞0，解得m＜eq \f(1,2).因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m＞0，即m＞0，所以0＜m＜eq \f(1,2).故选C.6．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　)A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝1答案　C解析　设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，∵Q(3,0)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋3,2)，,y＝\f(y1＋0,2)，))∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P在圆x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.7．已知三点A(1,0)，B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)A.eq \f(5,3) B.eq \f(\r(21),3) C.eq \f(2\r(5),3) D.eq \f(4,3)答案　B解析　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0，,4＋3＋2D＋\r(3)E＋F＝0，))解得D＝－2，E＝－eq \f(4\r(3),3)，F＝1.即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x－eq \f(4\r(3),3)y＋1＝0.∴圆心坐标为(1，eq \f(2\r(3),3))，∴圆心到原点的距离为 eq \r(12＋\f(2\r(3),3)2)＝eq \f(\r(21),3).8．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2＋2x－3＝0D．x2＋y2－4x＝0答案　D解析　设圆心C的坐标为(a,0)，a>0，∴d＝eq \f(|3a＋4|,5)＝2，∴a＝2，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.二、填空题9．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.答案　－2解析　由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心(－1，－eq \f(a,2))，则－1＋eq \f(a,2)＋2＝0，得a＝－2.10．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为_____．答案　(0，－1)解析　因为r＝eq \f(1,2)eq \r(k2＋4－4k2)＝eq \f(1,2)eq \r(4－3k2)，所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y2＋2y＝0，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．11．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．答案　(－∞，1)解析　由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，所以圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此得a－b＜1.三、解答题12．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程．解　圆心C的坐标为(－eq \f(D,2)，－eq \f(E,2))，因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2. ①又r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)，所以D2＋E2＝20. ②由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又圆心在第二象限，所以－eq \f(D,2)0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4，))所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.四、探究与拓展13．若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　)A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)答案　D解析　曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则曲线C表示的是以(－a,2a)为圆心，2为半径的圆．要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a,2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径．易知圆心到两坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a|>2，故a>2.14．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆．(1)求t的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程；(3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，由二次函数的图象，解得－eq \f(1,7)