人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.2.1 Word版含答案

这是一份人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程3.2.1 Word版含答案，共11页。
3.2.1　直线的点斜式方程学习目标　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一　直线的点斜式方程思考1　如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？答案　由斜率公式得k＝eq \f(y－y0,x－x0)，则x，y应满足y－y0＝k(x－x0)．思考2　经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案　斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线为x＝x0.梳理　知识点二　直线的斜截式方程思考1　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，得到的直线l的方程是什么？答案　将k及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.思考2　方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？b可不可以为负数和零？答案　y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．思考3　对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.①l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2，②l1⊥l2⇔k1k2＝－1.梳理类型一　直线的点斜式方程例1　写出下列直线的点斜式方程．(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．解　(1)由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2(x－2)．(2)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0.(3)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．反思与感悟　(1)求直线的点斜式方程(2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但直线x＝x0除外．跟踪训练1　(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．(2)直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是________．(3)一直线l1过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l2：y＝eq \f(\r(3),3)x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．答案　(1)x＝－3　(2)y－3＝－eq \f(1,2)(x－1)(3)y＋2＝eq \r(3)(x＋1)解析　(1)∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，∴直线方程为x＝－3.(2)由题意知，直线l与直线y＝2x＋1垂直，则直线l的斜率为－eq \f(1,2).由点斜式方程可得l的方程为y－3＝－eq \f(1,2)(x－1)．(3)∵直线l2的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x，设其倾斜角为α，则tan α＝eq \f(\r(3),3)，∴α＝30°，那么直线l1的倾斜角为2×30°＝60°，则l1的点斜式方程为y＋2＝tan 60°(x＋1)，即y＋2＝eq \r(3)(x＋1)．类型二　直线的斜截式方程例2　(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________．(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程．(1)答案　y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3解析　∵直线的倾斜角是60°，∴其斜率k＝tan 60°＝eq \r(3)，∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，∴直线在y轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y＝eq \r(3)x＋3或y＝eq \r(3)x－3.(2)解　由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，又因为l∥l1，所以kl＝－2，由题意知l2在y轴上的截距为－2，所以直线l在y轴上的截距b＝－2，由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.引申探究本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程．解　∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3，∴l的斜率为eq \f(1,2)，∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，直线l2：y＝4x－2，∴l在y轴上的截距为2，∴直线l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋2.反思与感悟　(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2　已知直线l的斜率为eq \f(1,6)，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．解　设直线方程为y＝eq \f(1,6)x＋b，则当x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得eq \f(1,2)·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线l的斜截式方程为y＝eq \f(1,6)x＋1或y＝eq \f(1,6)x－1.类型三　平行与垂直的应用例3　(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？解　(1)由题意可知，＝－1，＝a2－2，∵l1∥l2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－2＝－1，,2a≠2，))解得a＝－1.故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行．(2)由题意可知，＝2a－1，＝4，∵l1⊥l2，∴4(2a－1)＝－1，解得a＝eq \f(3,8).故当a＝eq \f(3,8)时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直．反思与感悟　设直线l1和l2的斜率k1，k2都存在，其方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，那么：(1)l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2；(2)k1＝k2，且b1＝b2⇔两条直线重合；(3)l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.跟踪训练3　已知直线l：y＝(a2－2)x＋2a＋9与直线y＝－eq \f(1,2)x＋1垂直，且与直线y＝3x＋5在y轴上的截距相同，求a的值．解　由题意知：(a2－2)×(－eq \f(1,2))＝－1，解得a＝±2.经检验知a＝－2符合题意．1．方程y＝k(x－2)表示(　　)A．通过点(－2,0)的所有直线B．通过点(2,0)的所有直线C．通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D．通过点(2,0)且除去x轴的所有直线答案　C解析　易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴．2．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)A．k>0，b>0 B．k>0，b