第07讲三角恒等变换与解三角形（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．
知识导图
考点分类讲解
考点一：三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ；
(2)cs(α±β)＝csαcsβ∓sinαsinβ；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sinαcsα；
(2)cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
规律方法 三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cs2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cs2α＝(sin2α＋cs2α)＋cs2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
考点二：正弦定理、余弦定理及综合应用
1．正弦定理：在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝eq \f(a,2R) ，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R) ，
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．
2．余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccs A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccs A，cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc).
3．三角形的面积公式：S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A.
考向1：正弦定理、余弦定理
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.

2．在ABC中，．则A的取值范围是（ ）
A．（0，]B．[，）C．（0，]D．[，）
【答案】C
【详解】试题分析：
由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.
考点：三角形中正余弦定理的运用.
3．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【详解】由余弦定理得，
解得（舍去），故选D.
【考点】余弦定理
【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
详解：sinB=sin（A+C）=sinAcsC+csAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣csC）=0，
∴sinAcsC+csAsinC+sinAsinC﹣sinAcsC=0，
∴csAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴csA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵＜A＜π，
∴A= ，
由正弦定理可得，
∵a=2，c=，
∴sinC== ，
∵a＞c，
∴C=，
故选B．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
5．在中，,BC=1,AC=5，则AB=（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求csC,再根据余弦定理求AB.
详解：因为
所以，选A.
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
二、多选题
6．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
7．三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若面积为，则周长的最小值为12
C．当，时，D．若，，则面积为
【答案】ABD
【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.
【详解】因为，
由题意可得，
整理得，
由正弦定理边角互化得，
又由余弦定理得，所以，A正确；
当时，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即，
所以，B正确；
由当，时，，解得，C错误；
由，得，由正弦定理得解得，
又因为，
所以，D正确；
故选：ABD.
三、填空题
8．（2022·全国·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
【答案】/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.
四、解答题
9．（2022·全国·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
(1)求的面积；
(2)若，求b．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可；
（2）由正弦定理得，即可求解.
【详解】（1）由题意得，则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，则，.
考向2:解三角形中的最值与范围问题
规律方法 解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b与ab相互转化求最值范围．
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．
一、解答题
1．（2023·河南开封·一模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知条件由正弦定理得，可求；
（2）由的面积得，余弦定理求，可得的周长.
【详解】（1）由正弦定理得，则.
（2），得，
由余弦定理，
即，则，所以，
的周长为.
2．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简已知条件，然后利用整体代入法求得的单调递减区间.
（2）利用余弦定理求得，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.
【详解】（1）
令，则
所以，单调减区间是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，则，，
，所以.
3．已知中，角所对的边分别为，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，求面积的最大值以及周长的最大值.
【答案】(1)
(2)面积的最大值为，周长的最大值为
【分析】（1）利用正弦定理角化边再结合余弦定理即可求得答案；
（2）由题意利用余弦定理结合基本不等式可得，利用三角形面积公式可得面积的最大值；再用余弦定理结合基本不等式求得，即可求得三角形周长的最大值.
【详解】（1）依题意得，，
由正弦定理，得，
所以，
因为，所以.
（2）由得，，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积，
所以面积的最大值为.
又，
所以，当且仅当时，等号成立，
故的周长为，
故周长的最大值为.
4．（2023·湖南长沙·一模）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的值；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得到，再利用余弦定理求出；
（2）根据正弦定理得到，从而得到，求出，得到，，从而求出周长的取值范围.
【详解】（1），由正弦定理得：，
即，
由余弦定理得：，
因为，
所以；
（2）锐角中，，，
由正弦定理得：，
故，
则
，
因为锐角中，，
则，，
解得：，
故，，
则，
故，
所以三角形周长的取值范围是.
【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
考点三:解三角形的实际应用
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
规律方法 解三角形实际问题的步骤
①需要测量的数据有：点到，点的俯角；
点到，的俯角；，的距离 ……….
②第一步：计算. 由正弦定理 ；
第二步：计算. 由正弦定理 ；
第三步：计算. 由余弦定理
一、解答题
1．如图，某城市有一条从正西方通过市中心后转向东偏北方向的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在上分别设置两个出口在的东偏北的方向（两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于之间相距较远，计划在之间设置一个服务区．

(1)若在的正北方向且，求到市中心的距离和最小时的值；
(2)若在市中心的距离为，此时在的平分线与的交点位置，且满足，求到市中心的最大距离．
【答案】(1)，
(2)20
【分析】（1）利用正弦定理，将分别用表示，再利用基本不等式求的最小值；（2）先由化简得到，再根据三角形面积公式列方程得到与的函数关系，由函数单调性求得的最大值.
【详解】（1）设，在中，
在中，由正弦定理得
当且仅当，即时取到等号
到市中心的距离和最小时，．
（2），
，即
，
又
即
当时，
2．如图，游客从某旅游景区的景点处下上至处有两种路径．一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到，假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为1260，经测量，．
（1）求索道的长；
（2）问：乙出发多少后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在什么范围内？
【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）
【详解】（1）在中，因为，，
所以，，
从而．
由正弦定理，得（）．
（2）假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，
所以由余弦定理得，
由于，即，
故当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，
得（）．
乙从出发时，甲已走了（），还需走710才能到达．
设乙步行的速度为，由题意得，解得，
所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．
考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用.
【方法点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.
3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
【答案】见解析
【详解】
要求长度，需要测量的数据有：点到，点的俯角，最后通过正弦定理得到最终结果.
强化训练
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346B．373C．446D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
【点睛】本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
2．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
3．若，，且，，则的值是（ ）
A． B．
C．或D．或
【答案】A
【分析】先计算和的取值范围，根据取值范围解出和的值，再利用
求解的值.
【详解】∵，∴.
∵，∴，
∴，.
∵，∴，
∴，
∴
.
又∵，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.
4．如图，在中，，点D在线段BC上，且，，则的面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【解析】设，则，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】解：设，则．
，，，，
，同理，
其中，
，当时，，．
故选：C．
【点睛】本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
5．在中，，BC边上的高等于,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：设
,故选C.
考点：解三角形.
6．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是
，则河流的宽度BC等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，，，
所以
.
故选C.
7．已知 ∈（0，），2sin2α=cs2α+1，则sinα=
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．
【详解】，．
，又，，又，，故选B．
【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．
8．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（ ）

A．B．C．1sD．
【答案】C
【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.
【详解】因为，，，所以，又，所以，
则，由可得，
所以，，
所以，，故，
所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·海南海口·一模）如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．不存在点Q，使得
B．存在点Q，使得
C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D．对于任意点Q，都是钝角三角形
【答案】ABC
【分析】证明直线与是异面直线判断A，当与重合时，可判断BD，设（），计算出的面积的最大值和最小值后从而可得Q到的距离的最小值和最大值，从而判断C．
【详解】由平面，平面，，平面，∴直线与是异面直线，A正确；
平面，平面，则，又，与是平面内两相交直线，所以平面，又平面，所以，即当与重合时，，B正确，此时是直角三角形，D错；
设（），，，，
，
，
所以，
，
所以时，，或1时，，所以的最大值是，最小值是，
记到的距离为，，因此的最大值是，的最小值是，C正确．
故选：ABC．

10．（2024·四川成都·模拟预测）已知中，，．下列说法中正确的是（ ）
A．若是钝角三角形，则
B．若是锐角三角形，则
C．的最大值是
D．的最小值是
【答案】BC
【分析】根据为钝角时即可判断A，根据正弦定理结合三角函数的性质即可判断BCD.
【详解】对于A,若为钝角，则,故，A错误，
对于B,由正弦定理可得，
由于是锐角三角形，所以且，故，
故，进而，故B正确，
对于C, ,由于，所以时，取最大值，故最大值为，C正确，
对于D，由正弦定理可得
当时，，故D错误，
故选：BC
11．（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图，在海面上有两个观测点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某航船在处，此时测得分钟后该船行驶至处，此时测得，则（ ）

A．观测点位于处的北偏东方向
B．当天10：00时，该船到观测点的距离为
C．当船行驶至处时，该船到观测点的距离为
D．该船在由行驶至的这内行驶了
【答案】ACD
【分析】利用方位角的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．
【详解】A选项中，,，
因为在D的正北方向，所以位于的北偏东方向，故A正确.
B选项中，在中，，，则,又因为，
所以km,故B错误.
C选项中，在中，由余弦定理，得
，即km，故C正确.
D选项中，在中，，，则.
由正弦定理，得AC=km，故D正确.
故选：ACD．
三、填空题
12．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，可求出；再根据为钝角限定出，利用正弦定理可得，可得其范围是.
【详解】根据题意可得面积，
可得，即，
又易知为锐角，可得；
由正弦定理可得，
因为为钝角，可得，所以；
可得，因此；
故答案为：；；
13．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线的焦点为，位于第一象限的点在上，为坐标原点，且满足，则外接圆的半径为 .
【答案】
【分析】根据题意得出抛物线的焦点坐标和点，再利用三角形面积公式即可求解.
【详解】由题可得，由，可得点的横坐标为，所以，
所以，
设外接圆的半径为，
则由正弦定理可得，
所以外接圆的半径为.
故答案为：.
14．（2024高三·江苏·专题练习）的内角所对边分别为，点O为的内心，记△OBC，的面积分别为，，，已知，，若为锐角三角形，则 AC的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先根据得到，由余弦定理可得，再结合正弦定理以及锐角三角形的条件求AC的取值范围即可.
【详解】设的内切圆半径为r，因为，
所以，化简得：，
所以，因为，所以，所以，
因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，，解得：，
所以，所以AC的取值范围为．
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）在凸四边形中，记，四边形的面积为S．已知．
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)若，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设．在和中，利用余弦定理得到求解．
（2）连接，由和的面积分别为，从而求解．
（3）由（2），当时，,即,．其中，．方法一，设，用导数法求解．方法二，利用均值不等式求解.
【详解】（1）解：设．在和中，
由余弦定理得：．
整理得．
因为，所以,
代入上式得．
（2）连接，和的面积分别为．如图示：
因为，所以,
从而．
所以
．
所以，．
（3）由（2），当时，,即,
而．其中，．
方法一：设．
则．
当时，；当时，．
则在单调递增，在单调递减．
所以，所以,等号成立条件是，此时．
综上，四边形面积的最大值是．
方法二：根据均值不等式，
．
等号成立条件是,即,此时．
综上，四边形面积的最大值是．
16．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据三角恒等变换将化为一般式，再利用整体法，结合正弦函数单调性，即可求得值域；
（2）根据题意，求得，利用等面积法和余弦定理，求得，再求三角形面积即可.
【详解】（1）
,
当时，，又，故，
又在上单调递增，在单调递减，且，
故函数在上的值域为.
（2）由（1）知，，由其最小正周期为，
可得，又，解得，则；
由，即，又，可得，则，即；
为的平分线，故可得，
则，即，；
在三角形中由余弦定理可得，即，
将代入上式可得：，即，
解得，或（舍去）；
故的面积为.
17．（2024·福建厦门·二模）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且.
(1)证明：是倍角三角形；
(2)若，当取最大值时，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明；
（2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可.
【详解】（1）因为，
又,所以，
则，
又由余弦定理知，，
故可得，
由正弦定理，,
又,
代入上式可得,
即，
，
则有,
故是倍角三角形.
（2）因为，所以,
故，则，又，
又，则,
则
,
设，，
则
令得或者（舍），
且当时，，
当时，，
则在上单调递增，
在上单调递减，
故当时，取最大值，
此时也取最大值，
故为所求.
18．（23-24高三下·天津·开学考试）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△的面积为.
(1)求；
(2)若，求；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式求解；
（2）根据和求出，再结合正弦定理即可求解；
（3）利用二倍角公式和两角和的余弦公式求解.
【详解】（1）由余弦定理知：
∵在△中，，∴，即
又∵，∴.即
∴；
（2）由（1）知，则角为锐角，
∵，∴ ，
由正弦定理知：，则，，
∴
又∵，，，
∴；
（3）由（2）知，，
所以，.
所以.
19．（2024高三·江苏·专题练习）中，角 的对边分别为，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题.①；②；③的面积为，求的取值范围.
【答案】
【分析】选①②时，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换即可求得；选③时，龙三角形面积公式结合余弦定理即可求得；利用三角恒等变换化简为只含有一个角的三角函数的形式，结合正弦函数性质，即可得答案；
【详解】选择①：因为，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，所以 ，即，
因为，所以，所以，
所以，即；
选择②：因为，所以，
由正弦定理得 ，
因为，所以，所以 ，
所以，
因为，所以，所以，即；
选择③：由，
可得 ，即，
所以，由于，故.
显然，不管选择哪个条件，都有，
所以

，
因为，所以，
所以，所以，
即的取值范围为.