第11讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（2大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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考点分类讲解
考点一：空间直线、平面位置关系的判定
判断空间直线、平面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题．
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断．
规律方法 对于线面关系的存在性问题，一般先假设存在，然后再在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足，则假设成立；若得出矛盾，则假设不成立．
【例1】（多选）(2023·广州模拟)已知直线m与平面α有公共点，则下列结论一定正确的是( )
A．平面α内存在直线l与直线m平行
B．平面α内存在直线l与直线m垂直
C．存在平面β与直线m和平面α都平行
D．存在过直线m的平面β与平面α垂直
【变式1】（2024·吉林白山·二模）已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列说法正确的是（ ）
A．“//”是“”的充分不必要条件
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若异面，则有公共点
D．若有公共点，则有公共点
【变式2】（2024·江西鹰潭·一模）设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
【变式3】（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知平面，交于直线 ，直线，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
考点二：空间平行、垂直关系
平行关系及垂直关系的转化
考向1 平行、垂直关系的证明
规律方法 (1)证明线线平行的常用方法
①三角形的中位线定理；②平行公理；③线面平行的性质定理；④面面平行的性质定理．
(2)证明线线垂直的常用方法
①等腰三角形三线合一；②勾股定理的逆定理；③利用线面垂直的性质证线线垂直．
【例2】(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高．
【变式1】（2023·全国·模拟预测）已知是两个不同的平面，是平面外两条不同的直线，给出四个条件：①；②；③；④，以下四个推理与证明中，其中正确的是 .（填写正确推理与证明的序号）
（1）已知②③④，则①成立
（2）已知①③④，则②成立
（3）已知①②④，则③成立
（4）已知①②③，则④成立
【变式2】（23-24高三上·辽宁·期末）如图，在五棱锥中，平面，，，，，，.

(1)求证：平面平面；
(2)已知直线与平面所成的角为，求点到平面的距离.
考向2 翻折问题
翻折问题，关键是分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变，一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决．
易错提醒 注意图形翻折前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系．
【例3】（多选）(2023·山东名校大联考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折的过程中，下面四个命题中正确的是( )
A．BM的长是定值 B．点M的运动轨迹在某个圆周上
C．存在某个位置，使DE⊥A1C D．A1不在底面BCD上时，MB∥平面A1DE
【变式1】（多选）（23-24高三上·福建莆田·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，为中点，现分别沿将翻折，使点重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（ ）

A．三棱锥的体积为
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角为
D．三棱锥外接球的表面积为
【变式2】（多选）（2024高三·全国·专题练习）M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）
A．平面ABD
B．异面直线AC与MN所成的角为定值
C．设菱形ABCD边长为a，，当二面角为120°时，棱锥的外接球表面积为
D．若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则∠ABC的取值范围是
【变式3】（多选）（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，平面四边形ABCD中，是等边三角形，且，M是AD的中点．沿BD将翻折，折成三棱锥，翻折过程中下列结论正确的是（ ）
A．当平面平面BDC时，三棱锥的外接球的表面积是
B．棱CD上存在一点N，使得平面ABC
C．存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角
D．三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为
强化训练
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南京·期中）设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
2．（2024·山东烟台·一模）设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若与所成的角相等，则
C．若，则
D．若，则
3．（22-23高三下·河北承德·阶段练习）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
4．（2023·河南新乡·二模）在如图所示的正方体或正三棱柱中，M，N，Q分别是所在棱的中点，则满足直线BM与平面CNQ平行的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·浙江嘉兴·二模）已知正方体的棱长为为空间内一点且满足平面，过作与平行的平面，与交于点，则（ ）
A．1B．C．D．
6．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．E．均不是
7．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（ ）
A．B．
C．D．
8．（22-23高三·江西·期中）如图，在棱长为2的正方体中，点满足，，其中，在下列说法中正确的是（ ）
①存在，使得
②存在，使得平面
③当时，取最小值
④当时，存在，使得
A．①②B．②③C．③④D．②④
二、多选题
1．（2023·安徽安庆·三模）如图，已知四边形是以为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线翻折到在翻折的过程中，下列结论中正确的是（ ）

A．
B．与可能垂直
C．四面体的体积的最大值是
D．直线与平面所成角的最大值是
2．（2023·全国·模拟预测）在直角梯形中，，，，，，在上，，在上，．将沿直线翻折至的位置，将四边形沿翻折至四边形的位置，使，则（ ）
A．与所成的角为
B．平面平面
C．直线与平面所成的角为
D．四棱锥的体积
3．（2023·浙江嘉兴·模拟预测）如图，在中，，，，过中点的直线与线段交于点．将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点，是直线上异于的任意一点，则（ ）

A．
B．
C．点的轨迹的长度为
D．直线与平面所成角的余弦值的最小值为
三、填空题
1．（22-23高三·全国·课时练习）若直线l与直线m垂直，平面，则l与的位置关系是 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）以下四个命题中，真命题的个数为 ．
（1）不共面的四点中，其中任意三点不共线；
（2）若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
（3）若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
（4）依次首尾相接的四条线段必共面．
3．（2023高三·全国·专题练习）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，∥，则；
②若，，∥，则；
③若∥，，则∥；
④若，，则∥.
其中正确命题的序号有 ．
四、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且．求证：；

2．（2024高三·全国·专题练习）在正方体中，E和F分别为BC和的中点．
(1)判断直线EF和直线的位置关系，并说明理由；
(2)判断直线和直线的位置关系，并说明理由．
3．（23-24高三上·福建龙岩·期中）如图，在正三棱锥中，分别为的中点．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)若四边形为正方形，求直线与平面所成角的正弦值．
4．（2024高三·全国·专题练习）如图，四面体中，，，，为的中点．

(1)证明：平面平面；
(2)设，，点在上；
①点为中点，求与所成角的余弦值；
②当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
5．（2023高三·全国·专题练习）利用定义法、向量法证明直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．