第18讲 计数原理与概率（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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考点分类讲解
考点一：排列与组合问题
解决排列、组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
规律方法 排列、组合问题的求解方法与技巧
(1)合理分类与准确分步；(2)排列、组合混合问题要先选后排；(3)特殊元素优先安排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题除法处理；(7)“小集团”排列问题先整体后局部；(8)正难则反，等价转化．
【例1】(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
【答案】64
【解析】①当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,4)＝16(种)；
②当从8门课中选修3门时，
(ⅰ)若体育类选修1门，则不同的选课方案共有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,4)＝24(种)；
(ⅱ)若体育类选修2门，则不同的选课方案共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)＝24(种)．
综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24＝64(种)．
【变式1】（2024·福建漳州·模拟预测）（ ）
A．65B．160C．165D．210
【答案】C
【分析】根据排列数、组合数的公式计算可得.
【详解】.
故选：.
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）现有一项需要用时两天的活动，要从5人中安排2人参加，每天安排一人，若其中甲、乙2人在这两天都没有参加，则不同的安排方式有（ ）
A．20种B．10种C．8种D．6种
【答案】D
【分析】根据排列数的定义和公式，即可求解.
【详解】由题意可知，从除甲和乙之外的3人中选2人，安排2天的活动，有种方法.
故选：D
【变式3】（2024·四川凉山·二模）为了传承和弘扬雷锋精神，凝聚榜样力量．3月5日学雷锋纪念日来临之际，凉山州某中学举办了主题为“传承雷锋精神，践行时代力量”的征文比赛．此次征文共5个题目，每位参赛学生从中随机选取一个题目准备作文，则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分步计算原理得到总情况数，再利用排列公式得到满足题意的情况数，最后利用古典概率的计算公式即可.
【详解】甲同学可以选择一个题目共有5种选法，同理，乙、丙也有5种选法，
由分步乘法计数原理，3人到四个社区参加志愿服务共有种选法；
若甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目，共有种选法；
则甲、乙，丙三位同学选到互不相同题目的概率为.
故选：D.
考点二：二项式定理
1．求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：
(1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.
(3)代回通项公式即得所求．
2．对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解．
规律方法 二项式(a＋b)n的通项公式Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk(k＝0,1,2，…，n)，它表示的是二项式的展开式的第k＋1项，而不是第k项；其中Ceq \\al(k,n)是二项式展开式的第k＋1项的二项式系数，而二项式的展开式的第k＋1项的系数是字母幂前的常数，要区分二项式系数与系数．
【例2】（2024·贵州毕节·一模）二项式的展开式中含项的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.
【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为
，
令，解得，
所以，
所以二项式的展开式中含项的系数为.
故选：B.
【变式1】（2024·辽宁大连·一模）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据表达式特征可知利用二项式定理的逆运用可得结果.
【详解】易知
.
故选：B
【变式2】（2024·浙江温州·二模）在展开式中，的奇数次幂的项的系数和为（ ）
A．B．64C．D．32
【答案】A
【分析】设，利用赋值法计算可得.
【详解】设，
令可得，
令可得，
所以，
即在展开式中的奇数次幂的项的系数和为.
故选：A
【变式3】（2022·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】按照二项式定理直接展开判断即可.
【详解】由二项式定理可知，，故不是展开式的项.
故选：B
考点三：概率
1．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(事件A包含的样本点数,试验的样本点总数).
2．条件概率公式
设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，
则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA).
3．全概率公式
一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且它们的和i=1n Ai=Ω，P(Ai)>0，i=1，2，3，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P(B)= i=1n P(Ai)P(B|Ai). 这个公式称为全概率公式.
规律方法 求概率的方法与技巧
(1)古典概型用古典概型概率公式求解．
(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解．
(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解．
【例3】(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0