第19讲 随机变量及其分布（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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考点分类讲解
考点一：分布列的性质及应用
离散型随机变量X的分布列为
则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn.
(5)若Y＝aX＋b，
则E(Y)＝aE(X)＋b，
D(Y)＝a2D(X)．
规律方法 分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1的性质可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
【例1】（2024·广东·一模）已知随机变量的分布列如下：
则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用离散型随机变量的分布列的性质、期望和方差公式，结合充分条件必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意可知，
若，则，得，
故充分性满足；
若，则，解得或.
当时，，此时，
当时，，此时，
则或，故必要性不满足.
故选：A.
【变式1】（2024高三·全国·专题练习）设随机变量X的分布列如下：
则p为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分布列的性质，即可求解.
【详解】由分布列的性质可知，，得.
故选：B
【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知离散型随机变量的分布列为：
则 ．
【答案】/
【分析】根据题意知，求出，然后可求解.
【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得，
所以.
故答案为:.
【变式3】（2024高三·全国·专题练习）设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
则 ．
【答案】/
【分析】由题意表中概率之和为1，且每个概率不少于0且不超过1，由此即可列方程求解.
【详解】∵，∴，解得或（舍去），∴．
故答案为：.
考点二：随机变量的分布列
1．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0