第30节 带三角函数的导数题 讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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带有三角函数的导数题，处理方法与指数、对数、多项式函数有类似的地方，也有不同之处.在研究带三角部分的函数的零点、单调性时，除了常规的那些方法之外，还要适时运用下面的几个技巧：
1.和的有界性：例如当时，x，，这些部分都会不断增大，趋于，而，则始终在内震荡，利用这一特征，我们可以抓住函数的各个部分之中影响函数值的主要部分，放缩掉次要部分，进而分区间进行讨论.这是三角类导数题相比其它导数题最主要的独特特征.
2．取点技巧：在论证函数零点时，往往需要取点，而三角函数的取点，很多时候可以考虑取一些特殊的角，如、、等.
3．三角不等式：，熟悉这一不等式及其图形背景，解决问题时可用于适度放缩.
典型例题
【例1】已知函数，
（1）求和的最小值；
（2）证明：
【解析】解：（1）由题意，，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在上的最小值为，又当时，，所以的最小值为，另一方面，，所以在上单调递增．故.
（2）要证，只需证，即证，
设，
则，由（1）知当时，，所以，而，
所以在上恒成立，故在上单调递增，结合知，
所以，故不等式成立.
【例2】已知函数，为的导函数.
（1）证明：在上存在唯一的零点；
（2）判断的零点个数，并给出证明.
【解析】解法1：（1）由题意，的定义域为，，
，当时，，所以在上单调递减，
又，，所以在上存在唯一的零点.
（2）设在上的零点为，
由（1）可得当时，，单调递增；当时，，单调递减，，因为，所以，故，而，所以，又，所以在上有一个零点，又，所以在上有一个零点，
另一方面，当时，，所以在上没有零点，
当时，易证,，所以，
而，，所以，故在上没有零点，
综上所述，在定义域上有且仅有2个零点.
解法2：（1）由题意，的定义域为，，，当时，，所以在上单调递减，
又，，所以在上存在唯一的零点.
（2）设在上的零点为，
由（1）可得当时，，单调递增；当时，，单调递减，，，所以在上有一个零点，又，所以在上有一个零点，
当时，，易证，
所以，从而恒成立，故在上没有零点，
当时，，
设，则，所以在上单调递减，
结合知，所以，故在上没有零点，综上所述，在定义域上有且仅有2个零点.
【例3】已知函数，其中a为非零常数.
（1）若函数在上单调递增，求a的取值范围；
（2）设，且，证明：当时，在上恰有两个极值点.
【解析】（1）由题意，，因为在上单调递增，所以恒成立，即，所以，因为，，所以,又当时，，所以的最大值是0，因为，所以，故实数a的取值范围是.
（2）由（1）知
设，则，，
当时，，，所以；
当时，，所以在上单调递减，又，，所以在上有一个零点，又且，所以，从而在上的零点就是，且当时，，当时，；
当时，易得，所以在上单调递增，
因为，所以在上有一个零点，记作，
且当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以在上恒成立；
综上所述，当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，，又，且，所以，，
，
从而在和上各有一个零点，分别记作和，
则，或，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故在上恰有两个极值点.
强化训练
1.已知函数
（1）讨论在上的单调性；
（2）当时，判断的零点个数，并说明理由.
【解析】（1）由题意，，且当时，，
当时，，所以，从而在上单调递增；
当时，，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，，
所以，，从而在上单调递增，
又，，所以在上有唯一的零点，记作，且，，故在上单调递减，在上单调递增，因为，，所以有且仅有1个零点.
2．已知函数，其中，且在上的最大值为.
（1）求a的值；
（2）判断在上的零点个数，并给出证明.
【解析】（1），显然在上恒成立，
所以当时，，故在上单调递增，
从而，解得：，符合题意，
当时，，所以在上单调递减，从而，不合题意，当时，，不合题意，
综上所述，实数a的值为1.
（2）由（1）知，且在上单调递增，
又，，所以在上有一个零点，
而在上单调递减，又，，所以在上有一个零点，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，，所以在上有一个零点，
综上所述，在上有且仅有2个零点.
3．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）由题意，
所以
，
故的单调递增区间是，单调递减区间是，其中.
（2），设，
则，，所以在上单调递增，
且，
当时，，所以恒成立，故在上单调递增，
又，所以恒成立，即，满足题意；
当时，，所以恒成立，故在上单调递减，
又，所以当时，，，不合题意；
当时，，，所以在上有唯一的零点，记作，
且，，所以在上单调递减，
结合可得当时，，即，不合题意；
综上所述，实数a的取值范围是.
4．已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，证明：有且仅有2个零点.
【解析】（1）当时，，，，当时，，，所以，故在上单调递增，
结合知，所以在上单调递增，
当时，，，所以，从而在上单调递减，综上所述，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意，，，
当时，，所以在上单调递增，
又，所以，故恒成立，从而在上单调递增，结合知在上有且仅有一个零点，
当时，，，所以，从而在上单调递增，
又，，所以在上有一个零点，
且当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以在上有一个零点，
当时，，所以无零点，
综上所述，有且仅有2个零点.
5.已知函数
（1）当时，设，证明：；
（2）若恰有2个零点，求a的最小整数值.
【解析】（1）当时，，，，所以在上单调递增，
又，所以恒成立.
（2）当时，，
当时，，，所以，从而，当时，设，则，，所以在上单调递减，又，所以，从而在上单调递减，因为，所以，即，故，所以当时，恒成立，从而没有零点；
当时，，，
，所以在上单调递减，
又，，
所以在上有1个零点，记作，则，，
从而在上单调递增，在上单调递减，
因为，，，所以在和上各有1个零点，从而共有2个零点，故a的最小整数值为2.
6.已知函数
（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；
（2）若，讨论在上的零点个数.（参考数据：）
【解析】（1）由题意，，，所以，，
一方面，，所以，另一方面，切点在切线上，所以.
（2）由（1）可得，设，则，
，所以在上单调递增，由于，所以，，从而在上有唯一的零点，记作，且，，故在上单调递减，在上单调递增，，，当时，，所以在上有唯一的零点，记作，
且当时，，所以，当时，，所以，
从而在上单调递减，在上单调递增，
又，，所以有且仅有1个零点，
当时，，又，所以在上有2个零点，记作，，且当或时，，所以，当时，，所以，从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，所以共有2个零点.