微重点04 平面向量数量积的最值与范围问题（3大考点+强化训练）-冲刺985、211名校高考数学重难点培优全攻略（新高考专用）

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考点分类讲解
考点一：求参数的最值(范围)
规律方法 利用共线向量定理及推论
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)．
(2)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
【例1】(2023·漳州模拟)已知△ABC，点D满足eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))，点E为线段CD上异于C，D的动点，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ2＋μ2的取值范围是________．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(17,9)))
【解析】由题意设eq \(CE,\s\up6(→))＝meq \(CD,\s\up6(→))，m∈(0,1)，
因为eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BD,\s\up6(→))，
所以eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(m,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))－\(AB,\s\up6(→))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(m,3)))eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(m,3)eq \(AB,\s\up6(→))，
又eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(m,3)，,μ＝1＋\f(m,3)，))
所以λ2＋μ2＝1＋eq \f(2,3)m＋eq \f(2,9)m2
＝eq \f(2,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,2)))2＋eq \f(1,2)，
又因为m∈(0,1)，由二次函数的性质得
y＝eq \f(2,9)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,2)))2＋eq \f(1,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(17,9)))，
所以λ2＋μ2的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(17,9))).
【变式1】设非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，且不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．[－1,3] B．[－1,5]
C．[－7,3] D．[5,7]
【答案】 A
【解析】∵非零向量a，b的夹角为θ，若|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝2×1×cs θ＝2cs θ，
∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|对任意的θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cs θ≥0恒成立，
∵cs θ∈[－1,1]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(13－λ2＋8－4λ≥0，,13－λ2－8＋4λ≥0，))解得－1≤λ≤3.
【变式2】（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点，若实数满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由三点共线可得，再由基本不等式，即可得到结果.
【详解】
因为，则，
由三点共线可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【变式2】．（2023高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则函数的最小值为 .
【答案】3
【分析】根据向量的线性关系及已知求得，代入已知函数并利用基本不等式求函数最小值，注意取值条件.
【详解】∵，∴，∴，
则，由于，则，
故，
当且仅当即时取等号，
∴函数的最小值为3.
故答案为：3
【变式4】(2023·深圳模拟)过△ABC的重心G的直线l分别交线段AB，AC于点E，F，若eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝μeq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ的最小值为( )
A.eq \f(2,3)＋eq \r(2) B.eq \f(2＋2\r(2),3)
C.eq \f(4,3) D．1
【答案】C
【解析】如图，若D为BC的中点，又G为△ABC的重心，则A，G，D三点共线，且eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，
因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2λ)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2μ)eq \(AF,\s\up6(→))，所以eq \f(3,2)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2λ)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,2μ)eq \(AF,\s\up6(→))，即eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3λ)eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \f(1,3μ)eq \(AF,\s\up6(→))，
又E，G，F三点共线，所以eq \f(1,3λ)＋eq \f(1,3μ)＝1，
故λ＋μ＝(λ＋μ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3λ)＋\f(1,3μ)))
＝eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(μ,λ)＋\f(λ,μ)))
≥eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×2eq \r(\f(μ,λ)·\f(λ,μ))＝eq \f(4,3)，
当且仅当λ＝μ＝eq \f(2,3)时，等号成立．
考点二：求向量模、夹角的最值(范围)
易错提醒 找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线．
【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.
【详解】因向量与共线，令，
则，而向量，为单位向量，且，
于是得
，
当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
【例2】 (1)已知e为单位向量，向量a满足(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】 C
【解析】可设e＝(1,0)，a＝(x，y)，
则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)
＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
则1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝eq \r(x＋12＋y2)＝eq \r(8x－4)，
当x＝5时，eq \r(8x－4)取得最大值6，
即|a＋e|的最大值为6.
(2)平面向量a，b满足|a|＝3|b|，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a－b))＝4，则a与a－b夹角的余弦值的最小值为________．
【答案】 eq \f(2\r(2),3)
【解析】如图所示，设a＝eq \(OA,\s\up6(→))，b＝eq \(OB,\s\up6(→))，
则a－b＝eq \(BA,\s\up6(→))，
设|b|＝m，|a|＝3m，
又|a－b|＝4，则1cs∠OAB＝eq \f(|\(OA,\s\up6(→))|2＋|\(BA,\s\up6(→))|2－|\(OB,\s\up6(→))|2,2|\(OA,\s\up6(→))|·|\(BA,\s\up6(→))|)
＝eq \f(9m2＋16－m2,24m)＝eq \f(m,3)＋eq \f(2,3m)≥2eq \r(\f(m,3)·\f(2,3m))＝eq \f(2\r(2),3)，
当且仅当eq \f(m,3)＝eq \f(2,3m)，即m＝eq \r(2)时，等号成立．
【变式1】(2023·安庆模拟)已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥eq \f(4,3)，则夹角θ的最小值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
【答案】C
【解析】由|a＋b|2＝4，
得|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cs θ＝4，
即4≥2|a|·|b|(1＋cs θ)≥eq \f(8,3)(1＋cs θ)，
当且仅当|a|＝|b|时，等号成立，
解得cs θ≤eq \f(1,2).又θ∈[0，π]，所以eq \f(π,3)≤θ≤π，
所以夹角θ的最小值为eq \f(π,3).
【变式2】(2023·杭州模拟)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为____________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，0))∪(0，＋∞)
【解析】 因为a＝(1,2)，b＝(1,1)，
所以a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，
因为a与a＋λb的夹角为锐角，
所以a·(a＋λb)>0，且a与a＋λb不共线，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋λ＋22＋λ>0，,21＋λ≠2＋λ，))
解得λ>－eq \f(5,3)且λ≠0，
所以λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,3)，0))∪(0，＋∞)．
【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为 .
【答案】
【分析】令，利用向量模的计算公式把表示成t的函数，求出函数最小值即可.
【详解】因向量与共线，令，
则，而向量，为单位向量，且，
于是得
，
当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
考点三：求向量数量积的最值(范围)
规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
【例3】 (1)(2023·开封模拟)等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且AB＝1，O为坐标原点，则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2－\r(2),4))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1＋\r(2),2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2－\r(2),4)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(2),2)，1))
【答案】 B
【解析】由题意可得△OAB为直角三角形，
且AB＝1，设eq \(AO,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))的夹角为α，
则A(cs α，0)，B(0，sin α)，
其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
如图所示，则由等腰直角三角形的性质可得C(cs α＋sin α，cs α)，
所以eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝cs α(cs α＋sin α)
＝eq \f(1,2)cs 2α＋eq \f(1,2)sin 2α＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋eq \f(1,2)，
又2α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，
则eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1＋\r(2),2))).
(2)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝eq \r(2)，则eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最大值为( )
A.eq \f(1＋\r(2),2) B.eq \f(1＋2\r(2),2) C．1＋eq \r(2) D．2＋eq \r(2)
【答案】A
【解析】连接OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，
因为|PO|＝eq \r(2)，
所以由勾股定理可得|PA|＝1，
则∠POA＝eq \f(π,4).
设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，
则－eq \f(π,4)<θ且|PD|＝eq \r(2)cs θ.
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))＝|eq \(PA,\s\up6(→))||eq \(PD,\s\up6(→))|cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))
＝eq \r(2)cs θcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋θ))
＝eq \r(2)cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs θ－\f(\r(2),2)sin θ))
＝cs2θ－sin θcs θ
＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs 2θ－eq \f(1,2)sin 2θ
＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))，
所以当θ＝－eq \f(π,8)时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))取得最大值，为eq \f(1＋\r(2),2).
【变式1】(2023·台州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内(含边界)一点，M为边BC的中点，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．[－2,6] B．[－1,9]
C．[－2,4] D．[－1,6]
【答案】B
【解析】如图，过P作PN⊥AM于N，则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))＝|eq \(AP,\s\up6(→))||eq \(AM,\s\up6(→))|cs∠PAN＝±|eq \(AN,\s\up6(→))|·|eq \(AM,\s\up6(→))|，分别过C，F作CK⊥AM，FH⊥AM，K，H为垂足，
则当N与K重合(即P与C重合)时，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))取得最大值，当N与H重合(即P与F重合)时，eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))取得最小值，
因为ABCDEF是正六边形，所以以AB为x轴，AE为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq \r(3))，F(－1，eq \r(3))，M是BC的中点，则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，eq \r(3))，eq \(AF,\s\up6(→))＝(－1，eq \r(3))，
eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(15,2)＋eq \f(3,2)＝9，eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝－eq \f(5,2)＋eq \f(3,2)＝－1，
所以eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AM,\s\up6(→))的取值范围是[－1,9]．
【变式2】(2023·邵阳模拟)已知四边形ABCD是边长为1的正方形，P为对角线AC上一点，则eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))的最小值是( )
A．0 B．－eq \f(1,4) C．－eq \f(1,2) D．－2
【答案】 B
【解析】作出如图所示的图形，
eq \(PA,\s\up6(→))·(eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PD,\s\up6(→)))＝eq \(PA,\s\up6(→))·2eq \(PO,\s\up6(→)).
令eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))，则λ∈[0,1]，
eq \(PO,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－λeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－λ))eq \(AC,\s\up6(→))，
∵eq \(PA,\s\up6(→))·2eq \(PO,\s\up6(→))＝－λeq \(AC,\s\up6(→))·2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－λ))eq \(AC,\s\up6(→))
＝(2λ2－λ)·eq \(AC,\s\up6(→))2＝4λ2－2λ，λ∈[0,1]，
∴当λ＝eq \f(1,4)时，(eq \(PA,\s\up6(→))·2eq \(PO,\s\up6(→)))min＝－eq \f(1,4).
【变式3】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M为直角外接圆O上的任意一点，，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】
根据题意，利用正弦定理求得外接圆的半径为，结合向量的数量积，化简得到，结合圆的性质，即可求解.
【详解】
设直角外接圆的半径为，
由正弦定理得，故，
所以，
当过点圆上一点作平行于的圆的切线时，此时最大，
由于到的距离为，所以的最大值为，故答案为：

强化训练
单选题
1．（2023·陕西咸阳·模拟预测）已知向量，，且，，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】求出的值，写出的表达式，即可求出最小值.
【详解】由题意，
∵，
∴，
∵，
∴，，
当时，取得最小值，
∴的最小值为，
故选：A.
2．（23-24高三上·江西吉安·期中）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为1
C．的最大值为16D．的最小值为4
【答案】D
【分析】AB选项，根据向量基本定理和共线定理得到，从而利用基本不等式求出的最大值为；CD选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值，得到答案.
【详解】AB选项，因为，所以，
故，
因为三点共线，设，即，
故，
令，故，
为正实数，由基本不等式得，解得，
当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，AB错误；
CD选项，，
当且仅当，即时，等号成立，C错误，D正确.
故选：D
3．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据在线段上得到，结合已知条件得到，和的关系式，最后转化为二次函数求最小值.
【详解】在线段上，，，
为线段的一个三等分点，，，
，
由平面向量基本定理得，，
，
当时，取得最小值.
故选：C.
4．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量，的夹角为，，且，则夹角的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用向量数量积运算律及题设可得，注意等号成立条件，结合已知不等条件求范围，即可得最小值.
【详解】由有，即，
前一个等号成立条件为，整理得.
由于，所以，于是夹角为的最小值为.
故选：C
5．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量满足，若在方向上的投影与在方向上的投影之和等于，则夹角的余弦值的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
利用基本不等式得到，再利用投影的定义，结合数量积的运算法则得到夹角的余弦值关于的表达式，从而得解.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，取等号，
设的夹角为，由题意得，
因为向量非零且不垂直，所以且，
所以，
所以夹角的余弦值的最小值为.
故选：A.
6．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）已知是圆：的直径，、是圆上两点，且，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意设弦的中点为，然后利用平面向量的数量积从而求解.
【详解】由题意知，不妨设弦的中点为，因为，则为等边三角形，所以可得，
则，设与的夹角为，
所以，
因为，所以的最小值为，故D正确.
故选：D.
7．在中，点为边上的中点，点满足，点是直线，的交点，过点做一条直线交线段于点，交线段于点（其中点，均不与端点重合）设，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意作交于F，可推出，利用向量的线性运算推出，结合题意推出，根据三点共线可得，结合“1”的妙用，即得，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】作交于F，连接 ，则∽，故，
由于点为边上的中点，故，
，故，又∽，故，
故，
则
,
由于，，故，
因为三点共线，故，
所以，
当且仅当，结合，即时等号成立，
即的最小值为，
故选：B
8．（23-24高三上·陕西安康·阶段练习）已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】
由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
综上，.
因为，所以三点共线，则，即.
因为均为正数，所以，则，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故选：B
二、多选题
1．（2024·河南·模拟预测）已知是坐标原点，平面向量，，，且是单位向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若A，B，C三点共线，则
C．若向量与垂直，则的最小值为1
D．向量与的夹角正切值的最大值为
【答案】AD
【分析】
根据给定条件，用坐标表示向量，再结合向量的坐标运算逐项计算判断即得.
【详解】在平面直角坐标系中，令，
由，，得，，则，
对于A，，因此，A正确；
对于B，由三点共线，得，即，
于是，解得，即，B错误；
对于C，，由向量与垂直，得，
而，则，
当且仅当时取等号，C错误；
对于D，令向量与的夹角为，，当时，，，
当时，不妨令，，则，，显然，
，
当且仅当时取等号，D正确.

故选：AD
2．（2024·广东·模拟预测）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．存在最大值
D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】以为基底，表示与，验证选项A；定义法求向量数量积验证选项B；以点为原点建立平面直角坐标系，，利用向量的坐标运算求的最大值和的最值，验证选项CD.
【详解】对A：因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对B：，
则
，故B正确；
对C、D：如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值，故C正确；
因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故D错误.
故选：ABC.
3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，，P为的中点，点Q满足，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则四面体的体积为定值
B．若的外心为O，则为定值2
C．若，则点Q的轨迹长度为
D．若且，则存在点，使得的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，取的三等分点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断；对于B，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断；由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断；对于D，把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，再由勾股定理和余弦定理求出长度.
此时有最小值.
【详解】对于A，取的三等分点分别为，如图所示，

因为，所以，
令，，则，所以．
因为，
所以的面积为定值，点P到平面的距离也是定值，故A正确．
对于B，

若的外心为O，过点O作于点H，则H是的中点．
因为，
所以，故B错误．
对于C，

在平面中作，
显然平面，由长度和角度，可得．
在中，，
所以，则点Q在以为圆心，为半径的圆上运动．
设此圆与交于点，因为且，
所以，则点Q的轨迹长度是．故C正确．
对于D，若且，则点Q与点P重合．
把沿着进行翻折，使得，A，B，P四点共面，

此时有最小值AP（这里和后面的A均为翻折后的点）．
在中，，，，满足勾股定理，
所以，从而，
在中，由余弦定理得，故D正确．
故选：ACD
【点睛】本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.
三、填空题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是 .
【答案】
【分析】根据数量积的定义和运算律可得，结合二次函数分析求解.
【详解】由题意可知：，
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是.
故答案为：.
2．（23-24高三上·山西太原·期末）已知非零向量，夹角为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据向量数量积的运算，结合二次函数求最值得解.
【详解】因为非零向量与的夹角为，所以，
，
令，，
则，当且仅当即时等号成立.
3．（2024高三·全国·专题练习）在四边形中，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】构造正方形和圆弧，根据矩形大法可知，，数形结合得到最小值.
【详解】如图所示，构造正方形，边长为，
以为圆心，为半径在正方形内部作作圆，
显然在圆弧上，根据矩形大法可知，，
故当，，三点共线时，取得最小值，
由于，，
故最小值为.
故答案为：
四、解答题
1．如图，在△ABC中，，，，D为BC的中点，E为AB边上的动点（不含端点），AD与CE交于点O，.

(1)若，求的值；
(2)求的最小值，并指出取到最小值时x的值.
【答案】(1)4
(2)的最小值为，此时
【分析】（1）设，根据向量的运算得到，，因为A，O，D三点共线，所以，解得，即可得到答案；
（2）设，因为E，O，C三点共线，得，根据题意得到，设，结合基本不等式求解最小值即可.
【详解】（1）设，因为，
即：，
所以，
因为A，O，D三点共线，所以，解得，
所以，所以.
（2）设，所以，
因为E，O，C三点共线，所以，得，
所以，，
，
，
设，
则，
当且仅当，时取等号.
综上：的最小值为，此时.
2．（22-23高三·北京·阶段练习）已知非零平面向量，的夹角为，.
(1)证明：；
(2)设，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先将条件等式两边同时平方，根据向量的数量积运算求得.再将平方即可证明结论成立；
（2）将平方可得，然后根据二次函数的性质求解最值即可.
【详解】（1）由可得，所以.
又因为，的夹角为，故.
联立两式可得，结合是非零向量可得.
所以，则.
（2），
所以当时，取最小值，即取最小值.
3．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知
(1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；
(2)若函数，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.
（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.
【详解】（1）当 时， ，与的夹角为钝角，
于是，且与不共线，
则 ，解得，又，即，
则有，又当与共线时，，解得，
因此与不共线时，，
所以的取值范围是.
（2）依题意，当时，
，
令，则，
于是，而函数在上为增函数，
则当时，y有最小值，
所以的最小值为
4．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧（含端点）上的动点．记（，均为实数）．

(1)若O到弦AB的距离是，求的取值范围；
(2)若，向量和向量的夹角为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定，根据数量积的运算律求得则，，可得，即可求得答案；
（2）将平方可得，根据数量运算律求出，以及求得向量和向量的模，即可求得的表达式，结合余弦函数性质利用函数单调性即可求得答案.
【详解】（1）由题意知O到弦AB的距离是，则，
故，且，
记劣弧的中点为D，

则，
，
两式相加得，
故，
由于，故，
即的取值范围为；
（2）设，
由可得，
即，结合可得，
故，
而，
由于向量和向量的夹角为，
故
，
令，则在上单调递增，
则，
即得最小值为.
5．（2022高三·全国·专题练习）如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．
(1)求的值；
(2)求面积的最小值，并指出相应的的值．
【答案】(1)
(2)时，取得最小值．
【分析】
（1）由正三角形的中心的性质，有，又三点共线，所以；
（2）面积表示为的函数，通过换元和基本不等式，求最小值.
【详解】（1）
延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，
则，
由，，得，
又三点共线，所以，即．
（2）
是边长为1的正三角形，则，
．
由，则，
，，解得，
．
设，则，
则，当且仅当，即时取等号，
所以当，即时，取得最小值．
【点睛】方法点睛：
应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．求算式的限值范围，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.