第3节 求单调区间与极值讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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1.导数与函数的单调性
一般地，在某个区间内，如果，则函数在上单调递增；如果，则函数在上单调递减.
2.极值的概念
一般地，若比在附近的函数值都大，则称为函数的极大值，称a为的极大值点；若比在附近的函数值都小，则称为的极小值，称b为的极小值点.
3.求极值的基本步骤：
（1）求，并给出函数的定义域；
（2）解不等式和，得到的单调递增区间和单调递减区间；
（3）根据函数的单调性给出极值.
典型例题
【例1】已知函数，求的单调区间与极值.
【解析】由题意，，所以或，，从而的单调递增区间为，，单调递减区间为,故有极大值，极小值.
【答案】见解析
【反思】若题干的问题是求的单调区间，则我们在作答时，应该写“函数的单调区间是…”，且相同单调性的不同区间之间用逗号隔开；若题干的问题是讨论函数的单调性，则我们在回答时，就写“函数在…单调递增，在…单调递减”.
【例2】已知函数，求的单调区间与极值.
【解析】由题意，，所以，，从而的单调递增区间为，单调递减区间为，故有极大值，无极小值.
【例3】已知函数，求的单调区间与极值.
【解析】由题意，，所以，，从而的单调递减区间为，单调递增区间为，故有极小值，无极大值.
【例4】已知函数，求的单调区间与极值.
【解析】由题意，，
所以，或，
从而的单调递增区间为，单调递减区间为，，
故有极小值，极大值.
变式 已知函数，若和为的极值点，求的单调区间.
【解析】由题意，，且，解得：，，此时，，
所以或，或，
故的单调递减区间为，，单调递增区间为，.
强化训练
1.已知函数，求的单调区间与极值.
【解析】由题意，，所以或，，从而的单调递增区间为，，单调递减区间为，故有极大值，极小值.
2.设函数，求的极值.
【解析】由题意，，所以，
，从而在上单调递减，在上单调递增，故有极小值，无极大值.
3.求函数的单调区间.
【解析】由题意，，所以，
，故的单调递增区间为，单调递减区间为.
4.求函数的单调区间与极值.
【解析】由题意，，所以，或，从而的单调递减区间为，，单调递增区间为，
故有极小值，无极大值.
5.求函数的单调区间与极值.
【解析】由题意，，且，所以，或，从而的单调递减区间为和，单调递增区间为，故有极小值，无极大值.
6.求函数的单调区间与极值.
【解析】由题意，，
所以或，，
从而的单调递增区间为，，单调递减区间为，
故有极大值，极小值.
7.已知函数，求的单调区间.
【解析】由题意，,
所以，或，
从而的单调递增区间为，单调递减区间为和.
8.设，讨论函数的单调性.
【解析】由题意，，
所以当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增.