第17节 三次函数的图象性质 讲义-高考数学一轮复习导数从入门到精通

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1.对称中心：三次函数一定有对称中心，对称中心的坐标为
2．三次函数有以下6种可能的图象：
3.三次函数的零点个数：
（1）若方程的判别式，则在R上是单调函数，无极值，值域为，函数在R上有唯一的零点.
（2）若方程的判别式，则有两个零点，，它们是函数的极值点.
（i）有一个零点，如下图所示；
（ii）有两个零点，如下图所示；
（iii）有一个零点，如下图所示；
典型例题
【例1】已知函数在时有极值0，则_______.
【例2】若函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是_______.
变式1 若函数在上不是单调函数，则实数a的取值范围是_______.
变式2 若函数在上有极值点，则实数a的取值范围是_______.
变式3 若函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是_______.
【例3】已知三次函数的图象一定有对称中心，设为，记函数的导函数为，的导函数为，则有，已知函数，
则可以根据以上信息求出的值为_______.
【例4】（2020·新课标Ⅲ卷）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个零点，求k的取值范围.
【例5】已知函数，其中.
（1）若在R上单调递增，求a的值；
（2）若，讨论在区间上的零点个数.
强化训练
1．已知函数有两个极值点，，则下列结论中错误的是（ ）
A.，存在，使得
B.在上存在最大值
C.是的极大值点
D.若，则有唯一的零点
2．已知函数，其中，若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是_______.
3．若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是_______.
4.（2016·北京）设函数
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；
（3）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.
5．已知函数.
（1）若是的极值点，求k的值和的单调区间；
（2）若函数在上有且仅有两个零点，求在上的最大值.
6．已知函数，其中，
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有3个零点，，，求t的取值范围，并证明：.
7.（2011·天津）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求的单调区间；
（3）证明：对任意的，函数在上存在零点.
8．若实数满足，则称为的不动点.已知函数，其中a、b为常数.
（1）若，求的单调递增区间；
（2）若时，存在一个实数，使得既是的不动点，又是的极值点，求b的值；
（3）求证：不存在常数a和b，使得互异的两个极值点都是的不动点.
9.已知函数，其中.
（1）若，讨论函数的单调性；
（2）当且时，证明：函数有且仅有一个零点.