河南省郑州外国语学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（原卷版+解析版）

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（120分钟 150分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，若，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（ ）
A. 内心、重心、垂心B. 重心、内心、垂心
C. 内心、垂心、重心D. 重心、垂心、内心
7. 在中，若，，，三角形有唯一解，则整数构成的集合为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知外接圆半径为，，为锐角，则下列正确的是（ ）
A.
B. 周长的最小值为
C. 的取值范围为
D. 的最大值为
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在中，，，，则的面积可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若复数的共轭复数为，则
B. 若是关于的方程的一个根，则
C. 若复数满足，则的最大值为
D. 已知是方程在复数域的一个根，则
11. 在中，角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则，
B. 若为斜三角形，则
C. 若为的最小内角，则
D. 若，外接圆半径为，内切圆半径为，则
12. 对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量，满足，与的夹角，且和都在集合中．给出以下命题，其中一定正确的是（ ）
A 当时，则
B 当时，则
C. 当时，则的取值个数最多为个
D. 当时，则取值个数最多为个
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 数学家欧拉发现任意三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，后人称这条线为欧拉线，已知外心，垂心，则重心的坐标为_________
14. 在平面直角坐标系中，，，，若三点能构成三角形，则实数的取值范围满足的集合为__________
15. 在平面凸四边形中，，分别为，中点. 若，，且，则________
16. 郑州二七塔是为了纪念二七大罢工而修建，是中国建筑独特的仿古联体双塔，小米同学为了测量二七塔的塔高，在塔底所在的水平面内取点，测得塔顶的仰角为，前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，再前进米后到达点，测得塔顶的仰角为，则塔高_________米.（参考数据：，最终结果保留整数，即结果精确到）
四、解答题：本题共5小题，共70分．其中第17题12分，第18， 19题每题13分，第20题15分，第21题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知平面向量，.
（1）当实数m为何值时，与垂直；
（2）若与所成的角为锐角，求实数k的取值范围.
18. 求解下面两题
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）已知的方程有实数根，求的值.
19. 的内角所对的边分别为，且
（1）若，求在上的投影向量；（用向量表示）
（2）若，，为的平分线，为中线，求的值.
20. 在斜中，角所对的边分别为，已知
（1）若，求，，的值；
（2）若，求的最小值.
21. 郑州市中原福塔的塔座为鼎，寓意为鼎立中原，从上空俯瞰如一朵盛开的梅花，寓意花开五福，福泽中原，它是美学与建筑的完美融合.绿地中心千玺广场“大玉米”号称中原第一高楼，璀璨繁华的外表下包含浓郁的易学设计理念，流露出馥郁的古香.这两座塔都彰显了中华文化丰富的内涵与深厚的底蕴.小米同学积极开展数学研究性学习，用以下方法测量两座塔的高度.
（1）为测量中原福塔高度，小米选择视野开阔的航海东路上一条水平基线，使共线，在三点用测角仪测得的仰角分别为，其中测角仪的高度为米，为了测量距离，小米骑共享单车，速度为，从到耗时，从到耗时为原来的倍，求塔高.（参考数据：取，）

（2）为测量千玺广场“大玉米”高度，小米选择一条水平基线，使三点共线，在两点用测角仪测得的仰角分别为，，在处测得的仰角为，测角仪高度忽略不计.小米使用智能手机运动测距功能，从河南艺术中心音乐厅入口台阶处运动到水景露天剧场的处，测得距离.
①试用，，，表示塔高；
②若，，，米，求千玺广场“大玉米”的实际高度.
（参考数据：取，，）