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2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2024年广东省深圳市南山区育才教育集团中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.实数P在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是( )
A. −3B. −1C. 0D. 2
2.积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养.某积木配件如图所示，则它的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.人才是深圳城市发展的重要基因，深圳人才公园是全国第一个人才主题公园，占地面积约770000平方米.数据770000用科学记数法表示为( )
A. 0.77×104B. 7.7×105C. 77×103D. 7.7×106
4.在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
5.下列运算正确的是( )
A. 5a−2a=3a2B. a2⋅a3=a6C. (b+1)2=b2+1D. (−2a)3=−8a3
6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为( )
A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°
7.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是梯形，其中AD//BC，AB=DC，燕尾角∠B=α，外口宽AD=a，榫槽深度是b，则它的里口宽BC为( )
A. btanα+aB. 2btanα+aC. btanα+aD. 2btanα+a
8.明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏.三人五个多十枚，四人八枚两个剩.问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏.若3人一组，每组5个杏，则多10个杏.若4人一组，每组8个杏，则多2个杏.有多少个牧童，多少个杏？设共有x个牧童，则下列方程正确的是( )
A. 3×5x+10=4×8x+2B. x3×5+10=x4×8−2
C. x3×5+10=x4×8+2D. x3×5−10=x4×8−2
9.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在BC边上，连接EA，EA=EC.将线段EA绕点A逆的针旋转90°，点E的对应点为点F，连接CF，则cs∠ACF的值为( )
A. 23
B. 2 55
C. 22
D. 3 1313
10.已知二次函数y=ax2−2ax+1(a≠0)经过点(−1,m)、(1,n)和(3,p)，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则a的取值范围为( )
A. a≤−13B. a<−1C. −13二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解2a2−4a+2= ．
12.“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校九年级三班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩(单位：个)如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9.则这组数据的中位数为______．
13.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在AB上，∠BCD=30°，则AD的长为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，延长AB交y轴于点D，若OC=4OB，△BOD的面积为23，则k的值为______．
15.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得AE=2CE，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接DF.若BC=4，则DF的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(12)−1−2cs45°+ 8−(π+2024)0．
17.(本小题7分)
先化简(1+1x−2)÷2x−2x2−4x+4，再从不等式组−1≤x<3中选择一个适当的整数，代入求值．
18.(本小题8分)
科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图(画图并标注相应数据)；
(2)在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占______%，所对应的圆心角度数为______；
(3)若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？
19.(本小题8分)
某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装.甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元，用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同．
(1)求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？
(2)社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠.问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，过点D作DG⊥BC于点G.交BA的延长线于点H．
(1)下列条件：
①D是AC边的中点；
②D是AE的中点；
③BA=BC．
请从中选择一个能证明直线HG是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；
(2)若直线HG是⊙O的切线，且HA=2，HD=4，求CG的长．
21.(本小题9分)
科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据.在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力)，科研人员测量出小钢球离地面高度h(米)与其运动时间t(秒)的几组数据如表：
(1)在如图平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；科研人员发现，小钢球离地面高度h(米)与其运动时间t(秒)成二次函数关系，请求出h关于t的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)．
(2)在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度h(米)与小钢球运动时间t(秒)之间的函数关系式为h1=5t+30．
①在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相关性能数据，则能采集到该性能数据的时长为______秒；
②弹射器间隔3秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线.当两枚小钢球处于同一高度时，求此时无人机离地面的高度．
22.(本小题10分)
如图1，菱形ABCD中，∠B=α，BC=2，E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，连结AC′并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DC′，DF．
(1)填空：DC′= ______，∠APD= ______(用含α的代数式表示)；
(2)如图2，当α=90°，题干中其余条件均不变，连接BP.求证：BP= 2AF．
(3)在(2)的条件下，连接AC．
①若动点E运动到边BC的中点处时，△ACC′的面积为______．
②在动点E的整个运动过程中，△ACC′面积的最大值为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：观察数轴可知：−2∵正数>负数>0，
∴−3<−2<−1<0< 2，
∴这几个实数比P小的数是−3，
故选：A．
观察数轴判断实数P的大小，然后根据正负数的性质判断−3，−2，−1，0和 2的大小关系，从而得到答案即可．
本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握利用数轴比较有理数的大小．
2.【答案】C
【解析】解：观察图形，从左面看到的图形．
故选：C．
根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的概念是解答的关键．
3.【答案】B
【解析】解：770000=7.7×105，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：用列表法表示如下：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率P=812=23．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：5a−2a=3a，则A不符合题意；
a2⋅a3=a5，则B不符合题意；
(b+1)2=b2+2b+1，则C不符合题意；
(−2a)3=−8a3，则D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式，积的乘方法则逐项判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//OF，
∴∠1+∠OFB=180°，
∵∠1=155°，
∴∠OFB=25°，
∵∠POF=∠2=30°，
∴∠3=∠POF+∠OFB=30°+25°=55°．
故选：C．
由平行线的性质求出∠OFB=25°，由对顶角的性质得到∠POF=∠2=30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
7.【答案】B
【解析】解：过点A，D分别作BC的垂线段，垂足分别为E、F，如图，
在Rt△AEB中，
BE=AEtan∠ABC=btanα，
在Rt△DFC，CF=DFtan∠DCB=btanα，
∵AE//DF，AE=DF，
∴四边形AEFD是长方形，
∴EF=AD=a，
∴BC=BE+EF+FC=btanα+a+btanα=2btanα+a，
故选：B．
过点A，D分别作BC的垂线段，垂足分别为E、F，在Rt△AEB中，BE=AEtan∠ABC，在Rt△DFC，CF=DFtan∠DCB，推出四边形AEFD是长方形，进而BC=BE+EF+FC，进而作答．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作出正确的辅助线．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
x3×5+10=x4×8+2，
故选：C．
根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，可以列出方程x3×5+10=x4×8+2，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元一次方程．
9.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABE中，
AB2+BE2=AE2，
因为AB=4，BC=8，
则42+(8−AE)2=AE2，
解得AE=5，
所以BE=8−5=3．
过点F作BC的垂线，垂足为N，与AD交于点M，
因为AF由AE绕点A逆时针旋转90°得到，
所以AF=AE，∠FAE=90°，
所以∠BAE+∠EAM=∠EAM+∠FAM=90°，
所以∠BAE=∠MAF．
在△FAM和△EAB中，
∠BAE=∠MAF∠B=∠AMFAE=AF，
所以△FAM≌△EAB(AAS)，
所以AM=AB=4，FM=BE=3．
则FN=3+4=7，NC=8−4=4．
在Rt△FNC中，
CF= 72+42= 65．
分别过点E，F作AC的垂线，垂足为Q，P，
所以∠FAP+∠QAE=∠FAP+∠AFP=90°，
所以∠QAE=∠AFP．
在△FAP和△AEQ中，
∠FPA=∠AQE∠QAE=∠AFPAF=AE，
所以△FAP≌△AEQ(AAS)，
所以PF=AQ．
因为EA=EC，EQ⊥AC，
所以AQ=12AC=2 5，
所以PF=2 5．
在Rt△FPC中，
PC= ( 65)2−(2 5)2=3 5，
所以cs∠ACF=PCFC=3 5 65=3 1313．
故选：D．
先利用勾股定理求出AE的长，再过点F作BC的垂线，利用勾股定理可求出FC的长，最后过E，F两点作AC的垂线，求出垂线段的长即可解决问题．
本题考查旋转的性质及矩形的性质，能利用图形的旋转得出全等三角形及过点F作AC的垂线构造直角三角形是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：因为抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1，
又因为1−(−1)=3−1，
所以点(−1,m)和点(3,p)关于抛物线的对称轴对称，
则m=p．
又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，
所以m和p都是非正数，n是正数，
则a+2a+1≤0a−2a+1>0，
解得a≤−13．
故选：A．
由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
11.【答案】2(a−1)2
【解析】解：2a2−4a+2
=2(a2−2a+1)
=2(a−1)2，
故答案为：2(a−1)2．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】10.5
【解析】解：把这组数据从小到大排列为：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，
则中位数是10+112=10.5；
故答案为：10.5．
根据中位数的定义即可得出答案．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
13.【答案】 5π6
【解析】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．
∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=90°−60°=30°，
则AD的长为30π× 5180= 5π6
故答案为： 5π6．
如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD.利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．
14.【答案】5
【解析】解：过点A作AE⊥BC于E，如下图所示：
∵等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，
∴BE=CE=12BC，
设OB=a，OD=b，
∵△BOD的面积为23，
∴12OB⋅OD=23，
∴OB⋅OD=43，
即ab=43，
∵OC=4OB=4a，
∴BC=OC−OB=3a，
∴BE=12BC=32a，
∴OE=a+32a=52a，
∵∠DOB=90°，AE⊥BC，
∴OD//AE，
∴△BOD∽△BEA，
∴OB：BE=OD：AE，
即a：32a=b：AE，
∴AE=32b，
∴点A的坐标为A(52a,32b)，
∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=52a⋅32b=154ab，
又∵ab=4/3，
∴k=154×43=5．
故答案为：5．
过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得BE=CE=12BC，设OB=a，OD=b，根据△BOD的面积为23得ab=43，再根据OC=4OB=4a得BC=3a，BE=32a，OE=52a，证△BOD和△BEA相似AE=32b，则点A(52a,32b)，将点A代入反比例函数y=kx之中即可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
15.【答案】4 55
【解析】解：如图，延长BE交CD于点G，连接FG、CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB//CD，
∴△CEG∽△AEB，
∴CGAB=CEAE=12，
∴CG=12AB=12CD，即点G为CD的中点，
∴CG=DG，
根据折叠的性质可得，BC=BF，CG=FG，
∴∠BFC=∠BCF，CG=DG=FG，
∴FG=12CD，∠GFD=∠GDF，
∴∠CFD=90°，
∵∠FCG+∠BCF=90°，
∠FCG+∠GDF=90°，
∴∠BCF=∠BFC=∠GDF=∠GFD，
∴△BCF∽△GDF，
∴CFDF=BCDG=21，
∴CF=2DF，
在Rt△CDF中，DF2+CF2=CD2，
∴DF2+(2DF)2=42，
解得：DF=4 55．
故答案为：4 55．
延长BE交CD于点G，连接FG、CF，易得△CEG∽△AEB，根据相似三角形的性质可得CG=12AB=12CD，进而得到CG=DG，由折叠可知BC=BF，CG=FG，于是∠BFC=∠BCF，CG=DG=FG，根据直角三角形斜边上的中线逆定理可得∠CFD=90°，由同角的余角相等可得∠BCF=∠GDF，进而得到∠BCF=∠BFC=∠GDF=∠GFD，则可证△BCF∽△GDF，由相似三角形的性质得到CF=2DF，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题是解题关键．
16.【答案】解：原式=2−2× 22+2 2−1
=1+ 2．
【解析】可知cs45°= 22，按照实数的运算顺序计算即可．
本题考查的是实数的运算，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(x−2x−2+1x−2)⋅(x−2)22(x−1)
=x−1x−2⋅(x−2)22(x−1)
=x−22，
由题意得：x−1≠0，x−2≠0，
∴x≠1和2，
在−1≤x<3中，x的整数解为−1，0，1，2，
当x=0时，原式=−1，
当x=−1时，原式=−1−22=−32．
【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，分别代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】40 144°
【解析】解：(1)由题知，
因为参加问卷调查的学生人数为50名，
所以50−(15+10+5)=20(名)，
即参加人工智能的学生人数为20名．
条形统计图，如图所示，
(2)因为20÷50=40%，
所以选择“创客”课程的学生占40%．
因为40%×360°=144°，
所以扇形统计图中选择“创客”课程的学生部分所对的圆心角的度数为144°．
故答案为：40，144°．
(3)550×1000=100(名)，
答：估计选择“航模”课程的学生有100名．
(1)根据参加问卷调查的人数为50名即可解决问题．
(2)根据(1)中求得的结果即可解决问题．
(3)求出样本中选择“航模”课程的百分比即可解决问题．
本题考查条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设甲种粮油套装的单价为x元，则乙种粮油套装的单价为(x−30)元，
根据题直：1200x=900x−30，
解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的根，
∴x−30=90，
答：甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元；
(2)设购买甲种粮油套装m件，购买乙种粮油套装(40−m)件，购买总花费w元，
由题意得：40−m≤3m，
解得：m≥10，
w=120×0.8m+90×0.8(40−m)=24m+2880，
∵24>0，
∴w随m的减小而减小．
当m=10时，w取得最小值3120，
∴40−m=30，
答：购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少，最少花费是3120元．
【解析】(1)设甲种粮油套装的单价为x元，则乙种粮油套装的单价为(x−30)元，根据“用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同”列出方程，解方程即可；
(2)设购买甲种粮油套装m件，购买乙种粮油套装(40−m)件，购买总花费w元，先根据购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，求出m的取值范围，再根据总费用=甲、乙两种粮油套装费用之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值．
本题考查了一次函数应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一次函数解析式．
20.【答案】解：(1)选择条件为：①D是AC边的中点；
证明：连接OD，
∵D是AC边的中点，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//BC，OD=12BC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥HG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线HG是⊙O的切线；
(2)解：设OA=OD=r，则OH=r+2，
在Rt△HOD中，∠ODH=90°，由勾股定理得OD2+DH2=OH2，
∴r2+42=(r+2)2，
解得：r=3，
∴OA=OD=3，OH=5，
∴BH=8，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵OD//BC，
∴∠ODA=∠C=∠OAD，
∴BC=BA=6，
∵OD//BC，
∴△HOD∽△HBG，
∴ODBG=HOHB，
∴3BG=58，
∴BG=245，
∴CG=6−245=65．
【解析】(1)连接OD，根据三角形中位线定理得到OD//BC，根据平行线的性质得到OD⊥HG，根据切线的判定定理证明结论；
(2)设OA=OD=r，则OH=r+2，在Rt△OHD中由勾股定理得求出r，再利用相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造中位线和相似三角形是解题的关键．
21.【答案】5
【解析】解：(1)画函数图象，
由函数图象可知，设h=at2+b，
将(1,35)、(2,60)分别代入h=at2+b中，
∴h关于t的函数关系式为：h=−5t2+40t；
(2)①由题意得：5t+30≤−5t2+40t，
解得1≤t≤6，
故所求时长为6−1=5秒，
故答案为：5．
②∵弹射小钢球的飞行路径为同一条抛物线h=−5t2+40t=−5(t−4)2+80，
∴第二枚小钢球的函数表达式为：h=−5(t−4−3)2+80，
当两枚小钢球处于同一高度时，即−5(t−4)2+80=−5(t−4−3)2+80，
解得t=112，
将t=112代入h1=5t+30中，得h1=57.5米．
故此时无人机离地面的高度为57.5米．
(1)先画函数图象，故设h=at2+b，将(1,35)、(2,60)即可；
(2)①由题意得：5t+30≤−5t2+40t，解得1≤t≤6，故所求时长为6−1=5秒；
②由弹射小钢球的飞行路径为同一条抛物线h=−5t2+40t=−5(t−4)2+80，得第二枚小钢球的函数表达式为：h=−5(t−4−3)2+80，当两枚小钢球处于同一高度时，即−5(t−4)2+80=−5(t−4−3)2+80，解得t=112，将t=112代入h1=5t+30中，即可得h1=57.5米．
本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是正确求函数表达式．
22.【答案】2 90°−α2 45 2 2−2
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=2，AD=DC，
∵点C关于直线DE的对称点为C′，
∴C′D=CD=2，∠CDP=∠C′DP，
∴AD=C′D，
∵F为AC′的中点，
∴AF=FC′，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△C′DF(SSS)，
∴∠ADF=∠C′DF，∠AFD=∠C′FD，
∴∠FDP=12∠ADC=12α，
∵∠AFD+∠C′FD=180°，
∴∠AFD=∠C′FD=90°，
∴∠APD=90°−α2；
故答案为：2，90°−α2；
(2)证明：如图2，作AP′⊥AP交PD的延长线于P′，
∴∠PAP′=90°，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为正方形，
在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90°，
∴∠PAP′=∠BAD=90°，
∴∠PAP′−∠DAP=∠BAD−∠DAP，
∴∠DAP′=∠BAP，
由(1)可知：∠APD=45°，
∴∠P′=45°，
∴AP=AP′，PF=DF，
在△BAP和△DAP′中，
BA=DA∠BAP=∠DAP′AP=AP′，
∴△BAP≌△DAP′(SAS)，
∴BP=DP′，
在Rt△DFP中，根据勾股定理得：
DP2=PF2+DF2=2PF2，
∴DP= 2PF，
∴PDPF= 2，
∵DF⊥AP，AP′⊥AP，
∴DF//AP′，
∴PDDP′=PFAF，
∴PDBP=PFAF，
∴BPAF=PDPF= 2，
∴BP= 2AF；
(3)①如图，过点C′作C′H⊥AC于点H，
∵E为BC的中点，
∴CE=1，
∴DE= DC2+CE2= 22+12= 5，
∵S△DCE=12DC⋅CE=12CM⋅DE，
∴MC=DC⋅CEDE=2×1 5=25 5，
∴ME= CE2−CM2= 55，CC′=2MC=45 5，
∵AD=CD=2，
∴AC=2 2，
∵AD//EC，
∴△CEN∽△ADN，
∴CNAN=CEAD=12，
∴CN=13AC=23 3，
∴MN= CN2−CM2=2 515，
∵∠MCN=∠C′CH，∠C′HC=∠NMC=90°，
∴△CMN∽△CHC′，
∴MNC′H=CNC′C，
∴2 515C′H=2 234 55，
∴C′H=2 25，
∴S△ACC′=12AC⋅CH=12×2 2×2 25=45，
故答案为：45；
②在动点E的整个运动过程中，当C′点恰好在对角线BD上时，△ACC′面积达到最大值．
∵BD=AC=2 2，DC′=2，
∴BC′=2 2−2，
∴C′O=BO−BC′= 2−(2 2−2)=2− 2，
∴S△ACC′=12AC⋅C′O=12×2 2×(2− 2)=2 2−2，
即△ACC′面积的最大值为2 2−2，
故答案为：2 2−2．
(1)由菱形的性质得出AB=CD=2，AD=DC，由轴对称的性质得出C′D=CD=2，∠CDP=∠C′DP，证明△ADF≌△C′DF(SSS)，由全等三角形的性质得出∠ADF=∠C′DF，则可得出结论；
(2)过A点作AP′⊥AP交PD延长线于P′，证明△BAP≌△DAP′(SAS)，由全等三角形的性质得出BP=DP′，则可得出结论；
(3)①过点C′作C′H⊥AC于点H，证明△CEN∽△ADN，求出CN=13AC，MN，证明△CMN∽△CHC′，由相似三角形的性质，求出C′H，根据三角形的面积公式可得出答案；
②在动点E的整个运动过程中，当C′点恰好在对角线BD上时，△ACC′面积达到最大值．求出C′O，由三角形面积公式可得出答案．
此题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．运动时间t(秒)
0
1
2
3
4
5
6
…
高地面高度h(米)
0
35
60
75
80
75
60
…
1.实数P在数轴上对应的点如图所示，下列各数中比实数P小的是( )
A. −3B. −1C. 0D. 2
2.积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养.某积木配件如图所示，则它的左视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.人才是深圳城市发展的重要基因，深圳人才公园是全国第一个人才主题公园，占地面积约770000平方米.数据770000用科学记数法表示为( )
A. 0.77×104B. 7.7×105C. 77×103D. 7.7×106
4.在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
5.下列运算正确的是( )
A. 5a−2a=3a2B. a2⋅a3=a6C. (b+1)2=b2+1D. (−2a)3=−8a3
6.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若∠1=155°，∠2=30°，则∠3的度数为( )
A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°
7.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面ABCD是梯形，其中AD//BC，AB=DC，燕尾角∠B=α，外口宽AD=a，榫槽深度是b，则它的里口宽BC为( )
A. btanα+aB. 2btanα+aC. btanα+aD. 2btanα+a
8.明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏.三人五个多十枚，四人八枚两个剩.问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏.若3人一组，每组5个杏，则多10个杏.若4人一组，每组8个杏，则多2个杏.有多少个牧童，多少个杏？设共有x个牧童，则下列方程正确的是( )
A. 3×5x+10=4×8x+2B. x3×5+10=x4×8−2
C. x3×5+10=x4×8+2D. x3×5−10=x4×8−2
9.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E在BC边上，连接EA，EA=EC.将线段EA绕点A逆的针旋转90°，点E的对应点为点F，连接CF，则cs∠ACF的值为( )
A. 23
B. 2 55
C. 22
D. 3 1313
10.已知二次函数y=ax2−2ax+1(a≠0)经过点(−1,m)、(1,n)和(3,p)，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则a的取值范围为( )
A. a≤−13B. a<−1C. −13
11.因式分解2a2−4a+2= ．
12.“每天一节体育课”成深圳中小学生标配，某校九年级三班随机抽取了10名男生进行引体向上测试，他们的成绩(单位：个)如下：7，11，10，11，6，14，11，10，11，9.则这组数据的中位数为______．
13.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在AB上，∠BCD=30°，则AD的长为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，延长AB交y轴于点D，若OC=4OB，△BOD的面积为23，则k的值为______．
15.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得AE=2CE，连接BE，将△BCE沿BE翻折得到△BFE，连接DF.若BC=4，则DF的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：(12)−1−2cs45°+ 8−(π+2024)0．
17.(本小题7分)
先化简(1+1x−2)÷2x−2x2−4x+4，再从不等式组−1≤x<3中选择一个适当的整数，代入求值．
18.(本小题8分)
科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础，某学校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出)．
请你根据以上信息解决下列问题：
(1)参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图(画图并标注相应数据)；
(2)在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占______%，所对应的圆心角度数为______；
(3)若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？
19.(本小题8分)
某社区采购春节慰问礼品，购买了甲、乙两种类型的粮油套装.甲种粮油套装单价比乙种粮油套装单价多30元，用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同．
(1)求甲、乙两种粮油套装的单价分别是多少元？
(2)社区准备再次购买甲种和乙种粮油套装共40件，购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，且商家给出了两种粮油套装均打八折的优惠.问购买甲种和乙种粮油套装各多少件时花费最少？最少花费是多少元？
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，过点D作DG⊥BC于点G.交BA的延长线于点H．
(1)下列条件：
①D是AC边的中点；
②D是AE的中点；
③BA=BC．
请从中选择一个能证明直线HG是⊙O的切线的条件，并写出证明过程；
(2)若直线HG是⊙O的切线，且HA=2，HD=4，求CG的长．
21.(本小题9分)
科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据.在地面用弹射器(高度不计)竖直向上弹射一个小钢球(忽略空气阻力)，科研人员测量出小钢球离地面高度h(米)与其运动时间t(秒)的几组数据如表：
(1)在如图平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；科研人员发现，小钢球离地面高度h(米)与其运动时间t(秒)成二次函数关系，请求出h关于t的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)．
(2)在弹射小钢球的同一时刻，无人机开始保持匀速竖直上升，无人机离地面高度h(米)与小钢球运动时间t(秒)之间的函数关系式为h1=5t+30．
①在小钢球运动过程中，当无人机高度不大于小钢球高度时，无人机可以采集到某项相关性能数据，则能采集到该性能数据的时长为______秒；
②弹射器间隔3秒弹射第二枚小钢球，其飞行路径视为同一条抛物线.当两枚小钢球处于同一高度时，求此时无人机离地面的高度．
22.(本小题10分)
如图1，菱形ABCD中，∠B=α，BC=2，E是边BC上一动点(不与点B，C重合)，连接DE，点C关于直线DE的对称点为C′，连结AC′并延长交直线DE于点P，F是AC的中点，连接DC′，DF．
(1)填空：DC′= ______，∠APD= ______(用含α的代数式表示)；
(2)如图2，当α=90°，题干中其余条件均不变，连接BP.求证：BP= 2AF．
(3)在(2)的条件下，连接AC．
①若动点E运动到边BC的中点处时，△ACC′的面积为______．
②在动点E的整个运动过程中，△ACC′面积的最大值为______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：观察数轴可知：−2
∴−3<−2<−1<0< 2，
∴这几个实数比P小的数是−3，
故选：A．
观察数轴判断实数P的大小，然后根据正负数的性质判断−3，−2，−1，0和 2的大小关系，从而得到答案即可．
本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握利用数轴比较有理数的大小．
2.【答案】C
【解析】解：观察图形，从左面看到的图形．
故选：C．
根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的概念是解答的关键．
3.【答案】B
【解析】解：770000=7.7×105，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：用列表法表示如下：
共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率P=812=23．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】解：5a−2a=3a，则A不符合题意；
a2⋅a3=a5，则B不符合题意；
(b+1)2=b2+2b+1，则C不符合题意；
(−2a)3=−8a3，则D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式，积的乘方法则逐项判断即可．
本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//OF，
∴∠1+∠OFB=180°，
∵∠1=155°，
∴∠OFB=25°，
∵∠POF=∠2=30°，
∴∠3=∠POF+∠OFB=30°+25°=55°．
故选：C．
由平行线的性质求出∠OFB=25°，由对顶角的性质得到∠POF=∠2=30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出∠OFB的度数，由对顶角的性质得到∠POF的度数，由三角形外角的性质即可解决问题．
7.【答案】B
【解析】解：过点A，D分别作BC的垂线段，垂足分别为E、F，如图，
在Rt△AEB中，
BE=AEtan∠ABC=btanα，
在Rt△DFC，CF=DFtan∠DCB=btanα，
∵AE//DF，AE=DF，
∴四边形AEFD是长方形，
∴EF=AD=a，
∴BC=BE+EF+FC=btanα+a+btanα=2btanα+a，
故选：B．
过点A，D分别作BC的垂线段，垂足分别为E、F，在Rt△AEB中，BE=AEtan∠ABC，在Rt△DFC，CF=DFtan∠DCB，推出四边形AEFD是长方形，进而BC=BE+EF+FC，进而作答．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作出正确的辅助线．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，
x3×5+10=x4×8+2，
故选：C．
根据若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，可以列出方程x3×5+10=x4×8+2，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元一次方程．
9.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABE中，
AB2+BE2=AE2，
因为AB=4，BC=8，
则42+(8−AE)2=AE2，
解得AE=5，
所以BE=8−5=3．
过点F作BC的垂线，垂足为N，与AD交于点M，
因为AF由AE绕点A逆时针旋转90°得到，
所以AF=AE，∠FAE=90°，
所以∠BAE+∠EAM=∠EAM+∠FAM=90°，
所以∠BAE=∠MAF．
在△FAM和△EAB中，
∠BAE=∠MAF∠B=∠AMFAE=AF，
所以△FAM≌△EAB(AAS)，
所以AM=AB=4，FM=BE=3．
则FN=3+4=7，NC=8−4=4．
在Rt△FNC中，
CF= 72+42= 65．
分别过点E，F作AC的垂线，垂足为Q，P，
所以∠FAP+∠QAE=∠FAP+∠AFP=90°，
所以∠QAE=∠AFP．
在△FAP和△AEQ中，
∠FPA=∠AQE∠QAE=∠AFPAF=AE，
所以△FAP≌△AEQ(AAS)，
所以PF=AQ．
因为EA=EC，EQ⊥AC，
所以AQ=12AC=2 5，
所以PF=2 5．
在Rt△FPC中，
PC= ( 65)2−(2 5)2=3 5，
所以cs∠ACF=PCFC=3 5 65=3 1313．
故选：D．
先利用勾股定理求出AE的长，再过点F作BC的垂线，利用勾股定理可求出FC的长，最后过E，F两点作AC的垂线，求出垂线段的长即可解决问题．
本题考查旋转的性质及矩形的性质，能利用图形的旋转得出全等三角形及过点F作AC的垂线构造直角三角形是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：因为抛物线的对称轴为直线x=−−2a2a=1，
又因为1−(−1)=3−1，
所以点(−1,m)和点(3,p)关于抛物线的对称轴对称，
则m=p．
又因为m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，
所以m和p都是非正数，n是正数，
则a+2a+1≤0a−2a+1>0，
解得a≤−13．
故选：A．
由这三个点在抛物线上的位置即可解决问题．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
11.【答案】2(a−1)2
【解析】解：2a2−4a+2
=2(a2−2a+1)
=2(a−1)2，
故答案为：2(a−1)2．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的关键．
12.【答案】10.5
【解析】解：把这组数据从小到大排列为：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14，
则中位数是10+112=10.5；
故答案为：10.5．
根据中位数的定义即可得出答案．
此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
13.【答案】 5π6
【解析】解：如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD．
∵∠BCD=30°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOD=90°−60°=30°，
则AD的长为30π× 5180= 5π6
故答案为： 5π6．
如图，圆心为O，连接OA，OB，OC，OD.利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心O的位置，属于中考常考题型．
14.【答案】5
【解析】解：过点A作AE⊥BC于E，如下图所示：
∵等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，
∴BE=CE=12BC，
设OB=a，OD=b，
∵△BOD的面积为23，
∴12OB⋅OD=23，
∴OB⋅OD=43，
即ab=43，
∵OC=4OB=4a，
∴BC=OC−OB=3a，
∴BE=12BC=32a，
∴OE=a+32a=52a，
∵∠DOB=90°，AE⊥BC，
∴OD//AE，
∴△BOD∽△BEA，
∴OB：BE=OD：AE，
即a：32a=b：AE，
∴AE=32b，
∴点A的坐标为A(52a,32b)，
∵点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=52a⋅32b=154ab，
又∵ab=4/3，
∴k=154×43=5．
故答案为：5．
过点A作AE⊥BC于E，根据等腰三角形的性质得BE=CE=12BC，设OB=a，OD=b，根据△BOD的面积为23得ab=43，再根据OC=4OB=4a得BC=3a，BE=32a，OE=52a，证△BOD和△BEA相似AE=32b，则点A(52a,32b)，将点A代入反比例函数y=kx之中即可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数图象上的点，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的解析式，熟练掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
15.【答案】4 55
【解析】解：如图，延长BE交CD于点G，连接FG、CF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB//CD，
∴△CEG∽△AEB，
∴CGAB=CEAE=12，
∴CG=12AB=12CD，即点G为CD的中点，
∴CG=DG，
根据折叠的性质可得，BC=BF，CG=FG，
∴∠BFC=∠BCF，CG=DG=FG，
∴FG=12CD，∠GFD=∠GDF，
∴∠CFD=90°，
∵∠FCG+∠BCF=90°，
∠FCG+∠GDF=90°，
∴∠BCF=∠BFC=∠GDF=∠GFD，
∴△BCF∽△GDF，
∴CFDF=BCDG=21，
∴CF=2DF，
在Rt△CDF中，DF2+CF2=CD2，
∴DF2+(2DF)2=42，
解得：DF=4 55．
故答案为：4 55．
延长BE交CD于点G，连接FG、CF，易得△CEG∽△AEB，根据相似三角形的性质可得CG=12AB=12CD，进而得到CG=DG，由折叠可知BC=BF，CG=FG，于是∠BFC=∠BCF，CG=DG=FG，根据直角三角形斜边上的中线逆定理可得∠CFD=90°，由同角的余角相等可得∠BCF=∠GDF，进而得到∠BCF=∠BFC=∠GDF=∠GFD，则可证△BCF∽△GDF，由相似三角形的性质得到CF=2DF，再根据勾股定理即可求解．
本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、勾股定理，正确作出辅助线，构造相似三角形解决问题是解题关键．
16.【答案】解：原式=2−2× 22+2 2−1
=1+ 2．
【解析】可知cs45°= 22，按照实数的运算顺序计算即可．
本题考查的是实数的运算，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述知识点是解题的关键．
17.【答案】解：原式=(x−2x−2+1x−2)⋅(x−2)22(x−1)
=x−1x−2⋅(x−2)22(x−1)
=x−22，
由题意得：x−1≠0，x−2≠0，
∴x≠1和2，
在−1≤x<3中，x的整数解为−1，0，1，2，
当x=0时，原式=−1，
当x=−1时，原式=−1−22=−32．
【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，分别代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，熟记分式的混合运算法则是解题的关键．
18.【答案】40 144°
【解析】解：(1)由题知，
因为参加问卷调查的学生人数为50名，
所以50−(15+10+5)=20(名)，
即参加人工智能的学生人数为20名．
条形统计图，如图所示，
(2)因为20÷50=40%，
所以选择“创客”课程的学生占40%．
因为40%×360°=144°，
所以扇形统计图中选择“创客”课程的学生部分所对的圆心角的度数为144°．
故答案为：40，144°．
(3)550×1000=100(名)，
答：估计选择“航模”课程的学生有100名．
(1)根据参加问卷调查的人数为50名即可解决问题．
(2)根据(1)中求得的结果即可解决问题．
(3)求出样本中选择“航模”课程的百分比即可解决问题．
本题考查条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键．
19.【答案】解：(1)设甲种粮油套装的单价为x元，则乙种粮油套装的单价为(x−30)元，
根据题直：1200x=900x−30，
解得：x=120，
经检验，x=120是原方程的根，
∴x−30=90，
答：甲、乙两种粮油套装的单价分别是120元和90元；
(2)设购买甲种粮油套装m件，购买乙种粮油套装(40−m)件，购买总花费w元，
由题意得：40−m≤3m，
解得：m≥10，
w=120×0.8m+90×0.8(40−m)=24m+2880，
∵24>0，
∴w随m的减小而减小．
当m=10时，w取得最小值3120，
∴40−m=30，
答：购买甲种粮油套装10件和乙种粮油套装30件时花费最少，最少花费是3120元．
【解析】(1)设甲种粮油套装的单价为x元，则乙种粮油套装的单价为(x−30)元，根据“用1200元购买甲种粮油套装和用900元购买乙种粮油套装的数量相同”列出方程，解方程即可；
(2)设购买甲种粮油套装m件，购买乙种粮油套装(40−m)件，购买总花费w元，先根据购买乙种粮油套装不超过甲种粮油套装的3倍，求出m的取值范围，再根据总费用=甲、乙两种粮油套装费用之和列出函数解析式，再由函数的性质求最值．
本题考查了一次函数应用、分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找出数量关系，正确列出一次函数解析式．
20.【答案】解：(1)选择条件为：①D是AC边的中点；
证明：连接OD，
∵D是AC边的中点，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD//BC，OD=12BC，
∵DG⊥BC，
∴OD⊥HG，
∵OD是⊙O的半径，
∴直线HG是⊙O的切线；
(2)解：设OA=OD=r，则OH=r+2，
在Rt△HOD中，∠ODH=90°，由勾股定理得OD2+DH2=OH2，
∴r2+42=(r+2)2，
解得：r=3，
∴OA=OD=3，OH=5，
∴BH=8，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∵OD//BC，
∴∠ODA=∠C=∠OAD，
∴BC=BA=6，
∵OD//BC，
∴△HOD∽△HBG，
∴ODBG=HOHB，
∴3BG=58，
∴BG=245，
∴CG=6−245=65．
【解析】(1)连接OD，根据三角形中位线定理得到OD//BC，根据平行线的性质得到OD⊥HG，根据切线的判定定理证明结论；
(2)设OA=OD=r，则OH=r+2，在Rt△OHD中由勾股定理得求出r，再利用相似三角形的性质求解即可．
本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造中位线和相似三角形是解题的关键．
21.【答案】5
【解析】解：(1)画函数图象，
由函数图象可知，设h=at2+b，
将(1,35)、(2,60)分别代入h=at2+b中，
∴h关于t的函数关系式为：h=−5t2+40t；
(2)①由题意得：5t+30≤−5t2+40t，
解得1≤t≤6，
故所求时长为6−1=5秒，
故答案为：5．
②∵弹射小钢球的飞行路径为同一条抛物线h=−5t2+40t=−5(t−4)2+80，
∴第二枚小钢球的函数表达式为：h=−5(t−4−3)2+80，
当两枚小钢球处于同一高度时，即−5(t−4)2+80=−5(t−4−3)2+80，
解得t=112，
将t=112代入h1=5t+30中，得h1=57.5米．
故此时无人机离地面的高度为57.5米．
(1)先画函数图象，故设h=at2+b，将(1,35)、(2,60)即可；
(2)①由题意得：5t+30≤−5t2+40t，解得1≤t≤6，故所求时长为6−1=5秒；
②由弹射小钢球的飞行路径为同一条抛物线h=−5t2+40t=−5(t−4)2+80，得第二枚小钢球的函数表达式为：h=−5(t−4−3)2+80，当两枚小钢球处于同一高度时，即−5(t−4)2+80=−5(t−4−3)2+80，解得t=112，将t=112代入h1=5t+30中，即可得h1=57.5米．
本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是正确求函数表达式．
22.【答案】2 90°−α2 45 2 2−2
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=2，AD=DC，
∵点C关于直线DE的对称点为C′，
∴C′D=CD=2，∠CDP=∠C′DP，
∴AD=C′D，
∵F为AC′的中点，
∴AF=FC′，
∵DF=DF，
∴△ADF≌△C′DF(SSS)，
∴∠ADF=∠C′DF，∠AFD=∠C′FD，
∴∠FDP=12∠ADC=12α，
∵∠AFD+∠C′FD=180°，
∴∠AFD=∠C′FD=90°，
∴∠APD=90°−α2；
故答案为：2，90°−α2；
(2)证明：如图2，作AP′⊥AP交PD的延长线于P′，
∴∠PAP′=90°，
∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为正方形，
在正方形ABCD中，DA=BA，∠BAD=90°，
∴∠PAP′=∠BAD=90°，
∴∠PAP′−∠DAP=∠BAD−∠DAP，
∴∠DAP′=∠BAP，
由(1)可知：∠APD=45°，
∴∠P′=45°，
∴AP=AP′，PF=DF，
在△BAP和△DAP′中，
BA=DA∠BAP=∠DAP′AP=AP′，
∴△BAP≌△DAP′(SAS)，
∴BP=DP′，
在Rt△DFP中，根据勾股定理得：
DP2=PF2+DF2=2PF2，
∴DP= 2PF，
∴PDPF= 2，
∵DF⊥AP，AP′⊥AP，
∴DF//AP′，
∴PDDP′=PFAF，
∴PDBP=PFAF，
∴BPAF=PDPF= 2，
∴BP= 2AF；
(3)①如图，过点C′作C′H⊥AC于点H，
∵E为BC的中点，
∴CE=1，
∴DE= DC2+CE2= 22+12= 5，
∵S△DCE=12DC⋅CE=12CM⋅DE，
∴MC=DC⋅CEDE=2×1 5=25 5，
∴ME= CE2−CM2= 55，CC′=2MC=45 5，
∵AD=CD=2，
∴AC=2 2，
∵AD//EC，
∴△CEN∽△ADN，
∴CNAN=CEAD=12，
∴CN=13AC=23 3，
∴MN= CN2−CM2=2 515，
∵∠MCN=∠C′CH，∠C′HC=∠NMC=90°，
∴△CMN∽△CHC′，
∴MNC′H=CNC′C，
∴2 515C′H=2 234 55，
∴C′H=2 25，
∴S△ACC′=12AC⋅CH=12×2 2×2 25=45，
故答案为：45；
②在动点E的整个运动过程中，当C′点恰好在对角线BD上时，△ACC′面积达到最大值．
∵BD=AC=2 2，DC′=2，
∴BC′=2 2−2，
∴C′O=BO−BC′= 2−(2 2−2)=2− 2，
∴S△ACC′=12AC⋅C′O=12×2 2×(2− 2)=2 2−2，
即△ACC′面积的最大值为2 2−2，
故答案为：2 2−2．
(1)由菱形的性质得出AB=CD=2，AD=DC，由轴对称的性质得出C′D=CD=2，∠CDP=∠C′DP，证明△ADF≌△C′DF(SSS)，由全等三角形的性质得出∠ADF=∠C′DF，则可得出结论；
(2)过A点作AP′⊥AP交PD延长线于P′，证明△BAP≌△DAP′(SAS)，由全等三角形的性质得出BP=DP′，则可得出结论；
(3)①过点C′作C′H⊥AC于点H，证明△CEN∽△ADN，求出CN=13AC，MN，证明△CMN∽△CHC′，由相似三角形的性质，求出C′H，根据三角形的面积公式可得出答案；
②在动点E的整个运动过程中，当C′点恰好在对角线BD上时，△ACC′面积达到最大值．求出C′O，由三角形面积公式可得出答案．
此题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．运动时间t(秒)
0
1
2
3
4
5
6
…
高地面高度h(米)
0
35
60
75
80
75
60
…
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