专题1.3 原函数与导函数混合还原问题-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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常见函数的构造
模型1.对于，构造
模型2.对于不等式，构造函数.
模型3.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型4.对于不等式，构造函数
模型5.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型6.对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
模型7.对于，分类讨论：（1）若，则构造
（2）若，则构造
模型8.对于，构造.
模型9.对于，构造.
模型10.（1）对于，即，
构造．
对于，构造．
模型11.（1） （2）
解题思路
利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别
重点题型·归类精讲
题型一 由导函数不等式构造函数解不等式
2024届·重庆市第八中学高三上学期入学测试T8
若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式
的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的结构，构造函数，判断其奇偶性及单调性，解不等式即可.
【详解】令，
因为为偶函数，即，
故，为偶函数，当时，，则在上单调递增，
因为，即，
所以，故，解，
所以不等式的解集为.
2023·南京二模T8
已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为．若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造，确定函数单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.
【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，
故.
，即，即，故，解得.
已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】构造函数，由导数确定其单调性，题设不等式化为，再利用单调性变形求解．
【详解】令，则，
∴在上是减函数，
，
不等式化为，
即，也即为，
所以，.
故答案为：，
已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造新函数，利用导数确定的单调性，从而可得时的正负，利用奇函数性质得出时的正负，然后分类讨论解不等式．
【详解】设，则，所以在上递增，
又，所以时，，此时，所以，
时，，此时，，所以，
所以时，，
因为是奇函数，所以时，，
由得或，所以或．
关键点点睛：本题考查用导数解不等式，关键是构造新函数，利用导数确定单调性后，得出的解．
已知函数的定义域为,其导函数满足,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题可得当时，，构造函数，可判断在上的单调性，进而可将不等式转化为，利用的单调性，可求出不等式的解集.
【详解】由题意知，当时，，
设，
则，
所以在上单调递减，
不等式等价于，
即为，所以，
解得.
故选：A.
2023·广州2023届综合能力测试（一）T15
已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】令函数，则，因此函数在上单调递减，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集为.
2023届广州大学附属中学高三上学期第一次月考T8
设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，由已知可得函数在上为增函数，不等式即为，根据函数的单调性即可得解.
【详解】解：令，则，
因为，
所以，
所以函数在上为增函数，
不等式即不等式，
又，，
所以不等式即为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
2023届长郡中学月考（六）·11
设函数在R上存在导函数，对任意的有，且在上，若，则实数a的可能取值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】AB
【解析】
【分析】构建，根据题意分析可得：为奇函数，在R上单调递增，利用单调性解不等式即可得结果.
【详解】
令，即，则为奇函数，
当时，，则在区间上单调递增，
故在区间上单调递增，则在R上单调递增，
∵，即，
∴，解得，
故A、B正确，C、D错误.
广州华南师大附中高三第一次月考·7
设函数是奇函数的导函数,,当时,则使得成立的x的取值范围是()
B.(0,1)∪(1,+∞)
D.(-1,0)∪(1,+∞)
【答案】 D
2022武汉高二下期中·7
定义在R上的函数满足，是的导函数，且，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．
【详解】设，，
则，
，
，
，
在定义域R上单调递增，
，，
即，
，
，
不等式的解集为
已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】构造函数，再将转化为，进而根据的单调性求解即可.
【详解】令，则，所以在上单调递增，
由，得，即，
所以，解得.
所以不等式的解集是.
已知函数的定义域是（-5，5），其导函数为，且，则不等式的解集是 .
【答案】
【分析】设，根据，得到，从而是上的增函数，将不等式转化为，即求解.
【详解】解：设，
则.
因为，
所以，
则是上的增函数.
不等式等价于，
，
即，则
解得.
故答案为：
安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质检
已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，求导得在上是减函数，由题知，所以，计算得解.
【详解】令，则在上是减函数.，
所以
得，又，所以.
已知函数是定义在R上的可导函数，其导函数为．若，且，则使不等式成立的x的值可能为( )
A．－2B．－1C．D．2
【答案】D
【分析】根据已知条件构造函数，要求解的不等式可化为，判断F(x)单调性即可求解.
【详解】设，则，
∵，∴，
∴，即在定义域R上单调递减．
∵，∴，
∴不等式等价于，即，解得，
结合选项可知，只有D符合题意．
题型二 由导函数不等式构造函数比大小
广东省四校2024届高三上学期10月联考（二）数学试题
已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，由题意可得，，所以在上递增，然后由可得答案.
【详解】因为（），
所以，所以，
令，则，，
所以在上递增，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，所以
江苏南通市部分学校3月模拟·T8
已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】令，则，
，，，在上单调递减，
，，即，，
，.
2024届湖南师范大学附属中学月考(一)·T7
已知函数的定义域为，设的导数是，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，得到，得到为增函数，得到，即可求解.
【详解】设，则，
故在定义域上是增函数，所以，
即，所以.
已知偶函数的定义域为R，导函数为，若对任意，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】令，则，则A错误；
令，则，
当时，由，
，则在上单调递增，
又因为偶函数的定义域为R，
∴为偶函数，在上单调递增，
，，故B错误；
，，故C正确；
由题意，不妨假设(c为常数)符合题意，此时，故D错误.
设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据题意可得，从而根据单调性可得，进而得出结果.
【详解】由题意，在上的函数恒成立，
构造函数，则，
∵上，即，
∴在上单调递减，而，故
∴，可得.
设是定义在上的函数，其导函数为，满足，若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意令，进而根据题意得在上单调递减，故，进而得答案.
【详解】解：因为满足，令，
则，所以在上单调递减，
所以，即，所以.
所以.
2023届菏泽市二模T8
已知定义在R上的函数的导函数为，满足，且，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，由时，可得在上单调递增，由，可得.A选项，比较与大小即可判断选项正误；B选项，比较与大小即可判断选项正误；C选项，比较1与大小即可判断选项正误；D选项，比较与大小即可判断选项正误；
【详解】因，则，
则函数在上单调递增；
因，
则.
A选项，，故A错误；
B选项，注意到，则
，故B错误；
C选项，，故C错误；
D选项，，故D正确.
河南省洛阳市六校高三上10月联考·10
设定义在上的函数恒成立，其导函数为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，在上的函数恒成立，
构造函数，则，
∵上，即，
∴在上单调递减，而，故
∴，可得.
定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知条件构造函数，求导后结合已知可得在上为增函数，从而可比较出大小
【详解】，，
设，则，
则在上为增函数，
对于A，因为，所以，
即，得，所以A错误，
对于B因为，所以，
即，得，所以B错误，
对于C，因为，所以，
即，得，所以C错误，
对于D，因为，所以，
即，得，所以D正确，
2022湖北六校高二下期中·11
（多选）已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），其导函数是f'（x），且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．f（e）＞0D．f（e）＜0
【解答】解：令g（x）＝f（x）lnx（x＞0），
则g′（x）＝，
∴g（x）在区间（0，+∞）上单调递增，又g（1）＝f（1）ln1＝0，
∴当0＜x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，
而∈（0，1），e∈（0，+∞），
因此，g（e）＝f（e）lne＞0，
∴，f（e）＞0，
故AC正确，BD错误；故选：AC．
已知定义在上的函数的导函数都存在，若，且为整数，则的可能取值的最大值为 .
【答案】14
【分析】构建，根据题意利用导数可得在上单调递减，由，结合题意分析求解.
【详解】因为，
设函数，则，
所以在上单调递减，
则，即，
整理得，
又因为为整数，
所以的可能取值的最大值为14.
故答案为：14.
题型三 由导函数不等式构造函数结合奇偶性解不等式
经典例题
设函数是奇函数的导函数，当x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，则使得
f（x）＜0成立的x的取值范围为 ．
【解答】解：令g（x）＝（x＞0），
因为x＞0时，xf'（x）﹣f（x）＜0，
所以g′（x）＝＜0，
故g（x）在（0，+∞）上单调递减，
因为f（x）为奇函数，所以g（x）为偶函数，
根据偶函数对称性可知，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
由g（﹣1）＝﹣f（﹣1）＝0，g（1）＝f（1）＝﹣f（﹣1）＝0，
因为f（x）＜0，
所以xg（x）＜0，
可转化为或，
解得x＞1或﹣1＜x＜0，
故答案为：（﹣1，0）∪（1，+∞）
深圳第二高级中学高二下期中T15
已知为定义在上的奇函数，且（2），当时，恒成立，不等式的解集为_______________．
【答案】，，
【解答】解：令，，
当时，恒成立，即当时，，
在上单调递增，
为定义在上的奇函数，，
，
是定义在上的偶函数，在上单调递减，
（2），，
则（2），
由得或，得，
由得或，
故答案为：，，．
已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意可以设，求其导数可知在上的单调性，由是上的奇函数，可知的奇偶性，进而可知在上的单调性，
由可知的零点，最后分类讨论即可.
【详解】设，则对，，
则在上为单调递增函数，
∵函数是上的奇函数，∴，
∴，
∴为偶函数，∴在上为单调递减函数，
又∵，∴，由已知得，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
若，则；
若，则或，解得或或；
则的解集为.
故答案为：.
2023届广东佛山高三上学期期末T16
已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，
，若，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】构造新函数，利用条件求得的单调性，再根据奇偶性即可解得不等式解集.
【详解】解：构造函数，其中为奇函数且，
则，
所以，函数为奇函数，且，，
当时，，
所以，函数在上是单调递增函数，
因为函数为奇函数，故函数在上是严格增函数，
故，
当时，，可得；
当时，，可得．
综上所述，不等式的解集为．
2023·湖北省·一模T16
已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________,
【答案】
【分析】构造，得到其奇偶性和单调性，对不等式变形得到，从而得到，平方后由一次函数的性质得到不等式组，求出a的取值范围.
【详解】令，则，故为R上的偶函数，
当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
等价于，
即在上恒成立．
所以，平方后化简得到．
由一次函数性质可得，
解得，即，
故a的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若，则构造，若，则构造，
若，则构造，若，则构造.
2023淄博市二模T8
已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.
【详解】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
总结：题目本身不难，要注意定义域上的细节
广东省梅州市2022-2023学年高二下学期期末
已知是定义在R上的偶函数，当时，有恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据导数的和运算法则，构造新函数，研究其单调性、奇偶性得到值的大小.
【详解】设，则，
因为当时，有恒成立，所以时，，
所以在单调递减；
又是定义在R上的偶函数，则，
故为偶函数，
则，A选项错误；
，B选项错误；
，C选项错误；
，D选项正确；
2023届第七次百校大联考T8
已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
解析：当时，，所以当时，，令，则当时，，故在时，单调递增，又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，故在上单调递增，因为，所以，当时，可变形为，即，因为在上单调递增，所以，解得，故；当时，可变形为1)，即，因为在上单调递增，所以，解得，故无解．
综上不等式的解集为．
2023届梅州二模T8
设函数在R上存在导数，对任意的，有，且在上．若，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形成，从而得到，即可求出结果.
【详解】因为，所以，得到，
令，所以，
则为奇函数，且，
又当时，，所以由奇函数的性质知，在上单调递减，
又，所以，即，
所以，即
2023届湖南湘考王3月模拟T8
设定义在R上的函数满足，且当时，，其中为函数的导数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
解析：构造函数，，
，即为奇函数
当时，在上单调递减，故在上单调递减，
，，，，
，故选D
2023届邵阳三模T8
定义在上的可导函数f（x）满足，且在上有若实数a满足，则a的取值范围为（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数法的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.
【详解】由，得.
令，则，即为偶函数.
又时，.
所以在上单调递减.
由，得，即.
又为偶函数，
所以，
所以，即，解得，
所以a的取值范围为.
2023届广东佛山·华南师大附中南海实验强化考（三）T8
设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造，将不等式转化为，利用导函数和奇偶性研究在上的单调性即可求解.
【详解】令，则当时，
所以在上为减函数，
又因为，所以，
所以为奇函数，所以在上单调递减且连续，
若，则，即，
所以，解得，
是定义域为上的奇函数，，当时，有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数，根据条件确定导数的符号，得到的单调性，利用单调性解不等式.
【详解】令，则，
故函数在上单调递减，
又为奇函数，所以，
因为，
所以当时，，即，
当时，，即，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三）T8
已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意构造函数，通过导数研究函数的单调性和奇偶性，将不等式等价转化为，分情况讨论并求解即可.
【详解】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关于的不等式，最后结合单调性求解即可
【详解】当时，，∴，
令，∴在上单调递减，
又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，
∵，∴，
当，即时，，∴；
当，即时，，∴，则.
故不等式的解集为.
题型四 由等式构造函数
2024届山西大学附属中学10月月考T11
（多选）已知函数的定义域为，其导函数为.若，且，则（ ）
A．是增函数B．是减函数
C．有最大值D．没有极值
【答案】AD
【分析】利用导数的运算法则，引入函数，由得其递增，从而可确定的正负得的单调性，从而判断各选项．
【详解】因为，所以，设，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，又因为，所以，所以当时，，当时，，，当时，，，，，故恒成立；当时，，，，，故恒成立.所以在上恒成立，故在上单调递增.
故选：AD.
河北省石家庄市部分学校2023届高三联考（二）
设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上．若．则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先构造函数可得在上单调递增，在上单调递减，将不等式等价转化为，利用函数的单调性和奇偶性得到，解之即可.
【详解】因为,所以,
设可得,为偶函数
在上有，，
故在上单调递增，根据偶函数的对称性可知，在上单调递减，
由得
，
即，，
即，,解得.
山东省德州市2022-2023学年高二下学期期末
（多选）上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极小值
B．有两个零点
C．若，恒成立，则
D．若，，，，则
【答案】AD
【分析】首先根据题意构造，结合，求得；
对于A，通过导数与函数极值点的关系求解即可；
对于B，令直接求解即可；
对于C，通过研究函数在的单调性与最值情况即可；
对于D，先大致研究函数图像变化趋势，假设，并假设正确，通过转化，从而证明与0的关系，进而证明原不等式正确即可.
【详解】因为，所以，
令，则，
所以设，所以，
又因为，所以；
对于A，因为，所以，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，故A正确；
对于B，令，得，
所以有一个零点，故B错误；
对于C，因为在单调递增，所以时，，
所以，故C错误；
对于D，因为在单调递减，在单调递增，
且唯一零点为，当时，且，
所以若，，，，
可以设，
假设正确，下证明，即证，
因为，在单调递减，
所以即证，即证，
构造，
则，
因为，所以，，，则，
所以在上单调递增，所以，
即得证，原式成立，故D正确.
（多选）已知为函数的导函数，若，，则下列结论错误的是
A．在上单调递增B．在上单调递减
C．在上有极大值D．在上有极小值
【答案】ABC
【解析】由，可知，则，即．
设，则由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得极小值．