专题3.3 立体几何中的平行，垂直通关训练-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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目录
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc149915762" 题型一 平行，垂直的相关证明 PAGEREF _Tc149915762 \h 2
\l "_Tc149915763" 题型二 由平行关系确定点的位置 PAGEREF _Tc149915763 \h 6
\l "_Tc149915764" 题型三 由平行关系确定动点的轨迹再求最值 PAGEREF _Tc149915764 \h 8
\l "_Tc149915765" 题型四 由垂直关系确定动点的轨迹或位置 PAGEREF _Tc149915765 \h 10
\l "_Tc149915766" 题型五 由垂直关系确定动点的轨迹再求最值 PAGEREF _Tc149915766 \h 12
重点题型·归类精讲
题型一 平行，垂直的相关证明
【例题】线面平行证明方法讲解（中位线法，平行四边形法，构造平行平面法）
母题：如图，P是四边形ABCD所在平面外的一点，AB∥CD，CD＝2AB，E是PC的中点．
方法一：作相交平面找线
（1）证明BE//平面PAD；
（2）若F是DC的中点，证明PA//平面BEF
（3）方法三：BE//平面PAD（反向平移法：构造面面平行）
四边形法证平行
如图，在正方体中，E，F分别是，CD的中点，求证：平面．
中位线法证平行
如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，M为PB上靠近B的三等分点，求证：平面ACM.
做平行平面法证平行
如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是△的中线，点E是棱的中点，证明：∥平面．
构造2个平面的交线：线线平行线面平行
如图，三棱柱中，E，P分别是和CC1的中点，点F在棱上，且，证明：平面EFC．
如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且PD⊥面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． 证明：l∥CB
线面垂直
如图，在四棱锥中，，，，，点为的中点，且平面．求证：平面；
异面直线垂直
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的点，．证明：；
（杭州二模）在三棱锥中,底面△ABC为等腰直角三角形,. 求证：AC⊥SB
面面垂直
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC
题型二 由平行关系确定点的位置
四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为线段，上的点，，若平面，则 .
如图1所示，在矩形中，，，点为线段上一点，，现将沿折起，将点折到点位置，使得点在平面上的射影在线段上，得到如图2所示的四棱锥，在图2中，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.
如图，在四棱锥中，已知底面是菱形，且对角线与相交于点，点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？请说明理由．
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
如图，在正方体中，点为线段上的动点，，分别为棱，的中点，若平面，则 ．
题型三 由平行关系确定动点的轨迹再求最值
山东省枣庄市2023届高三二模
如图，在棱长为1的正方体中，M是的中点，点P是侧面上的动点，且．平面，则线段MP长度的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
如图，在正方体中，，分别是棱，的中点，点在正方形内，若，平面，则的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．3
如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为
A．B．1C．2D．
如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
已知正方体的棱长为2，点，分别是棱，的中点，则点到平面的距离是 ；若动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则线段的长度范围是 ．
在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为BD1，B1C1的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MP//平面CND1，则下列说法正确的是（ ）
A．点P可以是棱BB1的中点B．线段MP的最大值为32
C．点P的轨迹是正方形D．点P轨迹的长度为2+5
题型四 由垂直关系确定动点的轨迹或位置
如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为
A．B．
C．D．
棱长为1的正方体中为正方体表面上的一个动点，且总有，则动点的轨迹的长度为
A．B．C．D．
正四棱锥底面边长为2，高为1，是边的中点，动点在四棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为
A．B．C．D．
如图，在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持与垂直，则动点的轨迹为 ．
如图，在棱长为1的正方体中，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
题型五 由垂直关系确定动点的轨迹再求最值
如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为 ．
已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，若，则的最小值为
A．B．C．D．
已知点在正方体的侧面内（含边界），是的中点，，则的最大值为 ；最小值为 ．
如图，直三棱柱中，侧棱长为2，，，点是的中点，是侧面（含边界）上的动点，要使平面，则线段的长的最大值为
A．B．C．D．
如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则△面积的最大值为
A．B．C．D．