专题5.2 平面向量共线定理与等和线-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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一、平面向量共线定理：已知，是三点共线的充要条件
证明
若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且，
证明：A，B，C三点共线是的充要条件.
证明:(1)由A，B，C三点共线.由得
.
即，共线，故A，B，C三点共线.
(2)由A，B，C三点共线.
由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得.
故.令，则有.
二、等和线相关性质
平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB时，k等于1.
2.定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
1.当等和线恰为直线AB时，k等于1.
2.定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.
2017全国3卷（理）T12
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为
A．3B．2C．D．2
【答案】A
【详解】
法一：等和线
设,，则,
设，则 ，即
而
∵PE过点C时取最大值，则，故，则
法二：如图所示，建立平面直角坐标系.
设,
易得圆的半径，即圆C的方程是，
，若满足，
则，，所以，
设，即，点在圆上，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A.
2020年江苏省高考
在中，，，，在边上（不与端点重合）．延长到，使得．当为中点时，的长度为 ；若为常数且，则的长度是 ．
【解答】解：当为中点时，
在中，，，，则，
所以，又，
所以，
即当为中点时，的长度为．
为常数且，
如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立平面直角坐标系，
则，，
由，
整理得，
，，，．
由，得，解得或（舍．
所以直线的方程为，
直线的方程为，
联立两直线方程可得，．
即，，
．
的长度是．
重点题型·归类精讲
题型一 向量共线定理：构造方程组求系数
2023·深圳二模
已知中，，，与相交于点，，则有序数对（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平面向量共线定理得到，，利用、分别表示出，再根据平面向量基本定理得到方程组，解得、，再代入计算可得.
【详解】依题意、、三点共线，故，
所以
，
又、、三点共线，故，
则
，
所以，解得，
所以，又，所以，
所以有序数对.
江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研(一)
在中，已知，，与交于点O.若，则 .
【答案】
【分析】根据向量线性运算的几何表示可得，，然后利用共线向量的推论即得.
【详解】因为，，
所以，，又，
所以，，又与交于点O，
所以，
所以，即
在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得.
【详解】
因为，所以，
则.
因为A，P，D三点共线，所以.
因为，所以.
因为E是边AB的中点，
所以.因为E，P，F三点共线，
所以，
则，解得，从而，，故.
题型二 向量共线定理：结合不等式求最值
2024届·湖南师大附中月考（二）
中，为上一点且满足，若为上一点，且满足为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最大值为1
C．的最小值为4D．的最大值为16
【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得的最大值为，判断A、B；将化为，结合基本不等式可求得其最小值，判断C；，结合可判断D.
【详解】为正实数，，
，而共线，

，
当且仅当时，结合，即时取等号，A，B错误；
，
当且仅当，即，即时取等号，
即的最小值为4，C正确；
又，
由于为正实数，，则，
则，时取最大值，
当趋近于0时，可无限趋近于0，
故，故无最大值，D错误，
如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，.若，，则的最小值是 .
【答案】
【分析】平面向量基本定理，借助三点共线，找出的关系式，的最值利用消元法求解范围即可.
【详解】平面向量基本定理，借助三点共线可知：
，
得 解得 ，所以
2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考
（多选）在三角形ABC中，点D足AB边上的四等分点且，AC边上存在点E满足，直线CD和直线BE交于点F，若，则（ ）

A．B．
C．的最小值为17D．
【答案】ABD
【分析】根据平面向量的线性运算、共线定理、数量积的运算性质逐项判断即可.
【详解】因为，所以，
所以，故A正确；
又因为，则，
因为，
所以
又三点共线，所以，整理得，故B正确；
由可得，所以，因为，当时，，故的最小值不为，故C不正确；
由于，所以，则，
所以
又，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为，故D正确
（多选）如图所示,在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F,若，，，则（ ）
A.
B.
C. 的最大值为1
D.
【答案】ABD
【解析】显然A正确，注意规律（分点恒等式）
对于B选项： , （分点恒等式）
（三点共线定理），故B正确
补充：也可以同梅涅劳斯定理求出B选项.
对于C选项：，故C错误；
对于D选项：，故D正确
题型三 等和线：求系数和最值，范围
如图正六边形ABCDEF中，P点三角形CDE内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】令,易证，，∴
如图，在直角梯形中，，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则取值范围是 ．

【答案】
【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点为圆心，且与直线相切的圆方程，设，再根据，可求出点的坐标，再根据在圆内或圆上，可得关于的一个不等关系，设，进而可得出答案.
【详解】如图所示以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为，化简得，
点到的距离，
可得以点为圆心，且与直线相切的圆方程为，
设，则，，，
，
，
可得且，的坐标为，
在圆内或圆上，
，
设，得，
代入上式化简整理得，
若要上述不等式有实数解，
则，
化简得，
解得，
即，
取值范围是．
故答案为：．

给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.
【答案】
【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证
，当时，取最大值，；
（2）取OA中点E，则
OC交BE于F，设,，易证
，当时，取最大值，.
如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】取AD中点F，则
直线FP交AE于G， 设
∵ FPG三点共线 ∴
当P在 EQ \\ac(\S\UP7(⌒),AB)中点时，G与E重合，此时t取到最小值，
在直角中，，，以为直径的半圆上有一点（包括端点），若，则的最大值为（ ）
A．4B．
C．2D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示，结合三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】依题意在直角中，，，
以为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，设是的中点，则.
，所以满足，
设（为参数，），
依题意，
即，
，
，，
所以当时，取得最大值为.
故选：C
直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ）
A. 0 B.1 C.2 D.3
【答案】BC
【解析】如图