专题6.1 三角函数恒等变换求值·中档题-【模型技巧】备考2024高考数学二轮复习重难点突破专题（新高考专用）

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知识点一．两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
知识点二．二倍角公式
①；
②；
③；
补充：2倍角公式变形（扩角降幂）
；
知识点三．辅助角公式
（其中）．
【常见式子变形】
，具体是选还是要看题目给出的范围
③
2023新高考二卷T7：配完全平方公式
1．已知为锐角，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为，而为锐角，
解得：．
2023·新高考I卷T8——和差公式+二倍角公式
2．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
2022·新高考II卷T6
3．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +csα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +csβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换

所以
即
2018全国II卷（理）T15——一题多解
4．已知，，则 ．
【答案】
【分析】方法一：将两式平方相加即可解出．
【详解】［方法一］：【最优解】
两式两边平方相加得，．
［方法二］： 利用方程思想直接解出
，两式两边平方相加得，则．
又或，所以．
［方法三］： 诱导公式+二倍角公式
由，可得，则或．
若，代入得，即．
若，代入得，与题设矛盾．
综上所述，．
［方法四］：平方关系＋诱导公式
由，得．
又，，即，则．从而．
［方法五］：和差化积公式的应用
由已知得
，则或．
若，则，即．
当k为偶数时，，由，得，又，所以．
当k为奇数时，，得，这与已知矛盾．
若，则．则，得，这与已知矛盾．
综上所述，．
【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；
方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；
方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；
方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；
方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦．
重点题型·归类精讲
题型一 知1求2
长沙市明德中学2023-2024学年高三上学期入学考试T8
已知，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知条件算出即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，
所以，
所以.
2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考
已知，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则 .
【答案】
【分析】根据已知得，且，应用差角正弦公式求角的大小.
【详解】由题设，，即，
而，故，则，
所以，则
题型二 结合平方公式，
2024届·湖南长郡中学阶段考
已知，且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】法1：展开，结合平方公式；法2：换元+诱导公式.
【详解】，
,
，
又，则，即
所以，
因为，所以，.
由平方可得，即，符合题意.
综上，.
湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考T7
已知，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.
【详解】因为，
且，则，可得，
所以；
又因为，
且，可得，
所以；
综上所述：.
已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由，，两式同时平方再求和，求出的关系式，代入，即可求出结果.
【详解】由，，将两个等式两边平方相加，得，，，，即，代入，得，即.故选A
2023·浙江杭州二模
已知，，则 ．
【答案】0
【分析】将平方，结合可得，
利用二倍角余弦公式将化简求值，可得答案.
【详解】将平方得，
结合可得，即，
则
2024届·浙江省Z20名校联盟第一次联考题
已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.
【详解】将平方得，
所以，则．
所以，
从而．
联立，得．
所以，．
故
题型三 和差公式
2024届·长沙一中校月考（三）
已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】由两角和与差公式化简后求解．
【详解】由，可得，即，
故.又，故，
即，代入可得.
故
云南师范大学附属中学2024届高三高考适应性月考卷（一）数学试题
设，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到，进一步即可判断正确答案.
【详解】
即
即
又，，
则
所以，故正确.
2024届·重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考
已知角，均在内，，，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由同角的平方关系可得，再由余弦的和差角公式，即可得到结果.
【详解】因为，且，所以，
因为，所以，所以为钝角，
所以，
则
，且，则
2024届·重庆市第八中学校适应性月考（一）
已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到，得到，再由，结合正弦函数的性质，即可求解
【详解】由
，
所以，可得，即，即，
因为，可得，所以，所以
已知，都是锐角，，则= .
【答案】2
【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.
【详解】法1：.
，
.
法2：由，令，
则，
则
题型四 2倍角公式
2023届广州市一模
若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由及二倍角的余弦公式可得，根据两角和的余弦公式可得，由诱导公式及的范围即可求解.
【详解】，.
由，可得，
即.
，
，
，，且，
根据函数易知：，即得：.
（2023秋·浙江绍兴高三校考）（ ）
A．1B．C．D．-1
【答案】B
【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.
【详解】
岳阳市高二下期末
已知，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角为，然后再由正切的二倍角公式求．
【详解】
，
∴．
2024届广东实验中学校考
若两个锐角，满足，则 .
【答案】
【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角，的关系，代入即可求解.
【详解】因为，
所以
所以，
因为，为锐角，所以有，
所以，即，
所以，即，
因为，为锐角，所以有，即，
所以
2024届·广州市越秀区高三月考（十月）
已知，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由倍角余弦公式并整理得，结合角的范围得，进而求，应用倍角正切公式求值即可.
【详解】由，即，
所以或，又，则，
所以，则，
由.
2024届·广州市天河区高三综合测试（一）
若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为，得出，再根据二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】由，
所以，即，
武汉市硚口区2024届高三上学期起点质量检测T15
已知.则 .
【答案】
【分析】根据辅助角公式可得，再根据二倍角与诱导公式求解即可.
【详解】即，故.
故.
则.
题型五 统一角度化简
2024届·重庆市第一中学校高三上学期9月月考
若，则 .
【答案】
【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.
【详解】，
则
.
2023届·江苏省七市三模
已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用和差角公式展开，得到，即可得到，再利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以
若，则实数的值为（ ）
A．3B．C．2D．4
【答案】A
【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.
【详解】因为，
即，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，所以
题型六 和差公式+倍角公式
2023湖南省五市十校高二下期末
已知均为锐角，，且，则 .
【答案】
【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得，再利用两角和与差的余弦公式求得，根据二倍角公式即可得结果.
【详解】，
因为，则，因此，
而，从而，
因此，
则.
故答案为：.
2024届·重庆市巴蜀中学适应性月考（二）T11
（多选）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根据，判断的范围，再根据，求出，再由，求出，，，从而得出答案.
【详解】因为，所以，
又，所以，，由，得.
对于A选项，若，则，又，所以，
而矛盾，所以.故A错误；
对于B选项，根据A选项知， ，则，又，
所以，而，所以，
这样，故B正确；
对于C选项，根据A选项知，，
再根据B选项中，，
知，从而，
则，
又，，，
所以，故C正确；
对于D选项，根据C选项知，
所以，
又，
解得，故D错误
2024·江苏省海安高级中学高三上学期10月月考
已知角θ的大小如图所示，则＝（ ）

A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义可得进而又和差角公式得，又二倍角和齐次式即可求解.
【详解】由图可知
所以，
则
已知，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】注意到，后结合，，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.
【详解】因，则，又，
则，得.
因，则.
又，则，结合，则，得，
则.
又注意到，
则
.