2024年湖北省襄阳市谷城县部分学校中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答．）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解本题的关键．根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，解答即可．
【详解】解：的相反数是，
故选：A．
2. 下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念判断各项即可．
【详解】A. 是轴对称图形，符合题意；
B. 不是轴对称图形，不符合题意；
C. 不是轴对称图形，不符合题意；
D. 不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形．
3. 关于x的某个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意知，不等式的解集为，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，整式的运算，根据二次根式的加法法则，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选B．
5. 一个不透明口袋中装有四个相同的小球，它们分别标号为，，，．从中同时摸出两个，则下列事件为随机事件的是（ ）
A. 两个小球的标号之和等于B. 两个小球的标号之和大于
C. 两个小球的标号之和等于D. 两个小球的标号之和大于
【答案】C
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A．两个小球的标号之和等于是不可能事件，不合题意；
B．两个小球的标号之和大于是必然事件，不合题意；
C．两个小球的标号之和等于是随机事件，符合题意；
D．两个小球的标号之和大于是不可能事件，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件，理解概念并运用概念解决实际问题．
6. 将一个直角三角板和一把矩形直尺按如图放置，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，过C作，得到，根据平行线性质求出，，根据，即可求出答案．
【详解】解：过C作，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴．
故选C．
7. 如图，小明从O点出发，前进6米后向右转，再前进6米后又向右转，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ）
A. 72米B. 108米C. 144米D. 120米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形的外角和，根据题意得到走过的轨迹为一正多边形，根据正多边形的外角和为360度，求出边数，即可．
【详解】解：按照题意可知小明走一圈回到O点，他走过的轨迹为一正多边形，设此多边形为正n边形，
∵此正n边形的一个外角为，
∴，
∴． 即他走过的正多边形为正18边形．
∵正多边形的边长为6米，
∴正多边形的周长为（米）．
即他第一次回到出发点时一共走了米．
故选B．
8. 用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
【详解】A、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
9. 如图，点A，B，C，D在上，，，，则的长为（ ）

A. B. 10C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等；先判断是圆的直径，再根据同弧所对的圆周角相等，可得，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，

，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
故选A．
10. 如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象有下列结论：①且；②；③关于的一元二次方程的两根分别为和1；④若点，，均在二次函数图象上，则，其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，根据图象判断①，特殊点判断②，对称性结合图象法求一元二次方程的根，判断③，增减性判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①正确；
∵图象过，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，
∴图象与轴的另一个交点为，
∴关于的一元二次方程的两根分别为和1；故③正确；
∵，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴；故④错误；
故选C．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置上．）
11. 地球上陆地的面积约为149 000 000平方千米，把数据149 000 000用科学记数法表示为___．
【答案】1.49×108
【解析】
【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．
【详解】解：∵149 000 000一共9位，
∴149 000 000=1.49×108．
故答案为：1.49×108
12. 若，，则的值为_______．
【答案】90
【解析】
【分析】将变形得到，再把，代入进行计算求解．
【详解】解：∵，，
∴



．
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式是解答关键．
13. 深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：“香港回归”和“改革开放”发生于新中国成立以后．
将“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”分别记，，，
列表如下：
共有6种等可能的结果，其中八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的结果有：，，共2种，
八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为．
故答案为：．
14. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列出的分式方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
15. 如图，矩形中，，，在边上，且，将沿直线折叠，得到，连接，则面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形与折叠问题，辅助线构造相似得出对应边等量关系以及解直角三角形是解题关键．
过点F作，易证，得出对应边的等量关系，设，，，解直角三角形，计算出的长度，从而求算面积．
【详解】解：如图：过点F作，延长交与点，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
根据翻折的性质得出： ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
设 ，则
∴
在直角三角形中有：即：
解得：（舍）
∴
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并且写在答题卡上每题对应的答题区域内．）
16. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，先进行乘方，零指数幂，去绝对值和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
17. 如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．
求证：BC = CE．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
又∵F是CD的中点，即DF=CF，
∴△ADF≌△ECF，
∴AD=CE，
∴BC=CE．
【点睛】1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定与性质
18. 如图，港口A在观测站O的正东方向，，某船从港口A出发，沿北偏东方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东的方向，求该船航行的距离（即的长）．
【答案】该船航行的距离为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点作，分别解和，求出的长即可．
【详解】解：过点作，
由题意，得：，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
答：该船航行的距离为．
19. 央视热播节目“朗读者”激发了学生阅读兴趣．某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度；
（4）若该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
【答案】（1）200；（2）补图见解析；（3）126；（4）300人
【解析】
【分析】（1）由76÷38%，可得总人数；
（2）结合扇形图，分别求出人数，再画图；
（3）先算社科类百分比，再求小说百分比，再求对应圆心角；
（4）用社科类百分比×2500可得．
【详解】解：（1）此次共调查的人数人；
（2）生活类的人数人，
小说类的人数为人，
补全图形，如下图：
（3）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
故答案为：126
（4）由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
∴该校共有学生2500人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：
2500×12%=300人．
故：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为300人.
【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，解题关键是从统计图获取信息．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B．
（1）求反比例函数和直线的表达式；
（2）连接，，求的面积；
【答案】（1）反比例函数为，直线的表达式为
（2）15
【解析】
【分析】本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求得反比例函数为，进而求得的坐标，然后吧的坐标代入即可求得直线的解析式；
（2）作轴，交于点，则，然后根据求得即可；
【小问1详解】
解：点在反比例函数第一象限的图象上，
，
反比例函数，
将点先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点，
点恰好落在反比例函数第三象限的图象上，
，
，
，
代入得，
，
直线的表达式为；
【小问2详解】
作轴，交于点，则，
，
点、关于原点对称，
，
；
21. 如图，是的外接圆，为的直径，点E为上一点，交的延长线于点F，与交于点D，连接，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，含30度角的直角三角形：
（1）连接，先根据圆周角定理及已知条件得出，进而得出，再由，根据平行线的性质得出，然后根据直径所对的是直角，即可得出答案；
（2）根据圆周角定理，得到，进而推出，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，再根据等角对等边，即可的出结果。
【小问1详解】
证明：连接．

∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
即．
∵是直径，
∴，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
22. 某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于30元/斤．
（1）每日销售量（斤）与售价（元/斤）之间满足如图函数关系式．求与之间的函数关系式；
（2）若每天销售利润率不低于，且不高于，求每日销售的最大利润；
（3）该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少元（），已知每日最大利润为2592元，求的值．
【答案】（1）
（2）每日销售的最大利润为1600元
（3）的值为6
【解析】
【分析】本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键．
（1）由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，把和代入即可求出结果；
（2）由每天销售利润率不低于，且不高于可求出的取值范围，设每日销售利润为元，利用二次函数模型即可求出最大利润；
（3）设成本每斤减少元后每日销售利润为元，由和确定当时，利润最大，从而得出关于的方程，解出方程即可求得的值．
【小问1详解】
解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为，
由题意得：当时，；当时，；
，
解得：，．
，
答：与之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意得：，
解得：，
设每日销售利润为元，
，
，
开口向下，
对称轴为直线，，
随的增大而增大，
当时，利润最大为（元，
答：每日销售的最大利润为1600元；
【小问3详解】
解：设成本每斤减少元后每日销售利润为元，则
，
对称轴为：直线，
，
，
，
当时，利润最大，
，
解得：或（不合题意舍去），
答：的值为6．
23. （1）【问题探究】如图1，点F是正方形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明；
（2）【知识迁移】如图2，点F是平行四边形边上一点，射线交对角线于点E，交的延长线于点G．证明：
（3）【拓展应用】如图3，是的中线，点E是上一点，过点C作，连接并延长交于点F，交于点G，若，求的值．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质，构造相似三角形．
（1）根据正方形的性质，得到，进而得到，推出，即可得证；
（2）同法（1），即可得证；
（3）倍长中线，构造平行四边形，同法（2）得到，推出，证明，得到即可．
【详解】解：（1）∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）延长至点，使，连接，
∵为三角形的中线，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴三点共线，
同法（2）可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为P．
（1）当时，写出此时抛物线的顶点P坐标；
（2）若抛物线与轴交于点，求出的取值范围；
（3）当时，函数的最大值为，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质：
（1）将代入解析式，将一般式转化为顶点式即可得出结果；
（2）将，代入解析式，转化为二次函数求最值即可；
（3）根据增减性，分两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：当时，函数可化为：；
∴顶点为；
【小问2详解】
把，代入解析式，得：，
∴当时，有最小值为，
∴；
【小问3详解】
∵，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∴对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大，
①当，即：或（不符合题意，舍去）时，
当时，，
∴或，均不符合题意；
②当，即：时，
当时，，
∴；
综上：．