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初中17.1 勾股定理精品课后复习题
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这是一份初中17.1 勾股定理精品课后复习题，文件包含专题171勾股定理举一反三人教版原卷版docx、专题171勾股定理举一反三人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20255" 【题型1 利用勾股定理求线段长】 PAGEREF _Tc20255 \h 1
\l "_Tc27933" 【题型2 利用勾股定理求面积】 PAGEREF _Tc27933 \h 2
\l "_Tc18288" 【题型3 利用勾股定理解决折叠问题】 PAGEREF _Tc18288 \h 3
\l "_Tc18691" 【题型4 利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】 PAGEREF _Tc18691 \h 5
\l "_Tc19035" 【题型5 利用勾股定理证明线段的平方关系】 PAGEREF _Tc19035 \h 6
\l "_Tc19725" 【题型6 勾股定理验证方法的应用】 PAGEREF _Tc19725 \h 7
\l "_Tc9716" 【题型7 勾股树问题】 PAGEREF _Tc9716 \h 9
\l "_Tc22711" 【题型8 勾股定理在格点中的应用】 PAGEREF _Tc22711 \h 11
\l "_Tc9912" 【题型9 直角三角形中的分类讨论思想】 PAGEREF _Tc9912 \h 12
\l "_Tc28106" 【题型10 利用勾股定理解决动点问题】 PAGEREF _Tc28106 \h 13
【知识点 勾股定理】
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角
边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
【题型1 利用勾股定理求线段长】
【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A．26B．213C．10D．16
【变式1-1】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC的长．
【变式1-2】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB长比AC长大1，BC=15，D是AB上一点，BD=9，CD=12．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC长．
【变式1-3】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，连接OP2，得OP2=3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OP102=__．
【题型2 利用勾股定理求面积】
【例2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC∠ACB=90°的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若S1=3，则S2的值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【变式2-1】（2023春·北京昌平·八年级校考阶段练习）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，灰色部分面积记为S1，黑色部分面积记为S2，白色部分面积记为S3，则（ ）
A．S1=S2B．S2=S3C．S1=S3D．S1=S2−S3
【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．9
【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别 为 a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次为 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝( )
A．a＋bB．b＋cC．a＋cD．a＋b＋c
【题型3 利用勾股定理解决折叠问题】
【例3】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A'DE，A'E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则DE为（ ）
A．2B．25C．22D．4
【变式3-2】（2023春·福建厦门·八年级校考阶段练习）如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得到的，首先将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C 落在斜边上的点 C' 处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC' 的延长线上的点 A' 处．若图中 ∠C=90∘，DE=3cm，BD=4cm，则 DC' 的长为______．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级阶段练习）有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm．
①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD =_________cm．
②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM2、BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【题型4 利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】
【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读一段文字，再回答下列问题，已知在平面内两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间距离公式为P1P2=(x2−x1)2+(y2−y1)2，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，两点间距离公式可化简为|x2−x1|或|y2−y1|．
(1)已知A(3,5)，B(−2,−1)，则A、B两点间的距离为 ；
(2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为−1，则A，B两点间的距离为 ；
(3)已知A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为5.且A，B两点间的距离为3，则点B的横坐标为 ；
(4)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6)，B(−3,2)，C(3,2)，请判定此三角形的形状，并说明理由．
【变式4-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，Rt△AOB的顶点A2，1，B−2，n分别在第一，二象限内，∠AOB=90°，则n的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式4-2】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，已知点P(m,2n2−4)，且实数m，n满足m−n2+4=0，则点P到原点O的距离的最小值为______．
【变式4-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）阅读理解：说明代数式x2+1+(x−3)2+4的几何意义，并求它的最小值．
解：x2+1+(x−3)2+4=(x−0)2+1+(x−3)2+22．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，则(x−0)2+12可以看成点P与点A(0,1)的距离，(x−3)2+22可以看成点P与点B(3,2)的距离，所原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A′，则PA=PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3,CB=3，所以由勾股定理得A′B=32，即原式的最小值为32．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式(x−1)2+1+(x−2)2+9的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)，点B__________的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式x2+49+x2−12x+37的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)．与点A__________、点B__________的距离之和．（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式x2+49+x2−12x+37的最小值．
【题型5 利用勾股定理证明线段的平方关系】
【例5】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AB=5，OA=3，OC=4，则BC=______；
（2）若AD=2，BC=5，则AB2+CD2=______；
（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，则m，n，c，d之间的数量关系是______．
【变式5-1】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A=90°，则（ ）
A．a2+b2=c2B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2D．a+c=b
【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是________（填写数字序号即可）．
【变式5-3】（2023春·湖北·八年级校考期中）已知如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上．
求证：（1）AD2−AB2=BD⋅CD；
（2）若D在CB上，结论如何，试证明你的结论．
【题型6 勾股定理验证方法的应用】
【例6】（2023春·山西太原·八年级统考期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，则长方形的面积为______.
【变式6-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为S1,S2,S3,S4，若S1+S4=135,S3=49，则S2=（ ）
A．184B．86C．119D．81
【变式6-2】（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（ ）
A．3B．4C．22D．32
【变式6-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成． 将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1,S2，S3． 若S1+S2+S3=18， 则正方形EFGH的面积为_______．
【题型7 勾股树问题】
【例7】（2023春·全国·八年级阶段练习）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，⋯按此规律继续下去，则S2022的值为（ ）
A．122022B．122021C．222022D．222021
【变式7-1】（2023春·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A8A9=1 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 OA3⋅OAn 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-2】（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．
【变式7-3】（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=__________．
【题型8 勾股定理在格点中的应用】
【例8】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2、13、17，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．并求出它的面积．
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为5a、22a、17a（a＞0），请利用图③的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
(4)若△ABC三边的长分别为m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这个三角形的面积．
【变式8-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A．B．2C．4D．3
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为65，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为65时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．
【题型9 直角三角形中的分类讨论思想】
【例9】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高为12，求BC的长．
【变式9-1】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，点E为射线BC上一点，若△ABE是直角三角形，则△ABE的面积是___________.
【变式9-2】（2023春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）在△ABC中，AB=20，AC=13，AD为BC边上的高，且AD=12，△ABC的周长为______．
【变式9-3】（2023·黑龙江哈尔滨·八年级期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=1，S△ABC=34，则BC的长是___________．
【题型10 利用勾股定理解决动点问题】
【例10】（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题：
(1)BC边的长为________；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程；
(3)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值．
【变式10-1】（2023春·河南信阳·八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB上一个动点，F是AD上一个动点（点F不与点D重合）．连接EF把△AEF沿EF折叠，使点A的对应点A'总落在边DC上．若△A'EC是以A'E为腰的等腰三角形，则A'D的长为_____________________．
【变式10-2】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是______．
【变式10-3】（2023·河南驻马店·八年级驻马店市第二初级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点．
（1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ．
（2）当 0＜m＜8 时，求△ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示）
（3）当点 C 在运动时，是否存在点 C 使△ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在， 请说明理由．
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20255" 【题型1 利用勾股定理求线段长】 PAGEREF _Tc20255 \h 1
\l "_Tc27933" 【题型2 利用勾股定理求面积】 PAGEREF _Tc27933 \h 2
\l "_Tc18288" 【题型3 利用勾股定理解决折叠问题】 PAGEREF _Tc18288 \h 3
\l "_Tc18691" 【题型4 利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】 PAGEREF _Tc18691 \h 5
\l "_Tc19035" 【题型5 利用勾股定理证明线段的平方关系】 PAGEREF _Tc19035 \h 6
\l "_Tc19725" 【题型6 勾股定理验证方法的应用】 PAGEREF _Tc19725 \h 7
\l "_Tc9716" 【题型7 勾股树问题】 PAGEREF _Tc9716 \h 9
\l "_Tc22711" 【题型8 勾股定理在格点中的应用】 PAGEREF _Tc22711 \h 11
\l "_Tc9912" 【题型9 直角三角形中的分类讨论思想】 PAGEREF _Tc9912 \h 12
\l "_Tc28106" 【题型10 利用勾股定理解决动点问题】 PAGEREF _Tc28106 \h 13
【知识点 勾股定理】
在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角
边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
【题型1 利用勾股定理求线段长】
【例1】（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，小聪用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（ ）
A．26B．213C．10D．16
【变式1-1】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC的长．
【变式1-2】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB长比AC长大1，BC=15，D是AB上一点，BD=9，CD=12．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求AC长．
【变式1-3】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习）如图OP=1，过P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2，再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，连接OP2，得OP2=3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OP102=__．
【题型2 利用勾股定理求面积】
【例2】（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以Rt△ABC∠ACB=90°的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作S1，左下不重叠部分的面积记作S2，若S1=3，则S2的值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【变式2-1】（2023春·北京昌平·八年级校考阶段练习）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，灰色部分面积记为S1，黑色部分面积记为S2，白色部分面积记为S3，则（ ）
A．S1=S2B．S2=S3C．S1=S3D．S1=S2−S3
【变式2-2】（2023春·广东深圳·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2B．4C．6D．9
【变式2-3】（2023春·八年级单元测试）在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别 为 a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次为 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝( )
A．a＋bB．b＋cC．a＋cD．a＋b＋c
【题型3 利用勾股定理解决折叠问题】
【例3】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则BD的长为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D为斜边AB上的中点，E是直角边AC上的一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠至△A'DE，A'E交BD于点F，若△DEF的面积是△ADE面积的一半，则DE为（ ）
A．2B．25C．22D．4
【变式3-2】（2023春·福建厦门·八年级校考阶段练习）如图的实线部分是由 Rt△ABC 经过两次折叠得到的，首先将 Rt△ABC 沿 BD 折叠，使点 C 落在斜边上的点 C' 处，再沿 DE 折叠，使点 A 落在 DC' 的延长线上的点 A' 处．若图中 ∠C=90∘，DE=3cm，BD=4cm，则 DC' 的长为______．
【变式3-3】（2023春·全国·八年级阶段练习）有一块直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm．
①如图1，现将纸片沿直线AD折叠，使直角边AC落在斜边AB上，则CD =_________cm．
②如图2，若将直角∠C沿MN折叠，点C与AB中点H重合，点M、N分别在AC、BC上，则AM2、BN2与MN2之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【题型4 利用勾股定理求平面坐标系中两点之间的距离】
【例4】（2023春·全国·八年级专题练习）先阅读一段文字，再回答下列问题，已知在平面内两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其两点间距离公式为P1P2=(x2−x1)2+(y2−y1)2，同时，当两点所在直线在坐标轴上或平行于x轴或垂直于x轴时，两点间距离公式可化简为|x2−x1|或|y2−y1|．
(1)已知A(3,5)，B(−2,−1)，则A、B两点间的距离为 ；
(2)已知A，B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为−1，则A，B两点间的距离为 ；
(3)已知A，B在平行于x轴的直线上，点A的横坐标为5.且A，B两点间的距离为3，则点B的横坐标为 ；
(4)已知一个三角形各顶点坐标为A(0,6)，B(−3,2)，C(3,2)，请判定此三角形的形状，并说明理由．
【变式4-1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，Rt△AOB的顶点A2，1，B−2，n分别在第一，二象限内，∠AOB=90°，则n的值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【变式4-2】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）平面直角坐标系xOy中，已知点P(m,2n2−4)，且实数m，n满足m−n2+4=0，则点P到原点O的距离的最小值为______．
【变式4-3】（2023春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）阅读理解：说明代数式x2+1+(x−3)2+4的几何意义，并求它的最小值．
解：x2+1+(x−3)2+4=(x−0)2+1+(x−3)2+22．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点P(x,0)是x轴上一点，则(x−0)2+12可以看成点P与点A(0,1)的距离，(x−3)2+22可以看成点P与点B(3,2)的距离，所原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：设点A关于x轴对称点A′，则PA=PA′．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′，B间的直线段距离最短，所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C=3,CB=3，所以由勾股定理得A′B=32，即原式的最小值为32．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)代数式(x−1)2+1+(x−2)2+9的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)，点B__________的距离之和．（填写点B的坐标）
(2)代数式x2+49+x2−12x+37的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)．与点A__________、点B__________的距离之和．（填写点A，B的坐标）
(3)求出代数式x2+49+x2−12x+37的最小值．
【题型5 利用勾股定理证明线段的平方关系】
【例5】（2023春·河北石家庄·八年级石家庄外国语学校校考阶段练习）已知对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．
（1）若AB=5，OA=3，OC=4，则BC=______；
（2）若AD=2，BC=5，则AB2+CD2=______；
（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，则m，n，c，d之间的数量关系是______．
【变式5-1】（2023春·广东云浮·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若∠A=90°，则（ ）
A．a2+b2=c2B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2D．a+c=b
【变式5-2】（2023春·八年级课时练习）素有“千古第一定理”之称的勾股定理，它是人类第一次将数与形结合在一起的伟大发现，也是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理，它导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机，它使数学由测量计算转变为推理论证．在中国，也被称为“商高定理”，西方则称其为“毕达哥拉斯定理”，几千年来，太多的溢美之词给了这一定理，由于它迷人的魅力，人们冥思苦索给出了数百种证明方法，成为了证明方法最多的定理，其中，利用等面积法证明勾股定理最为常见，现有四名网友为证明勾股定理而提供的图形，其中提供的图形（可以作辅助线）能证明勾股定理的网友是________（填写数字序号即可）．
【变式5-3】（2023春·湖北·八年级校考期中）已知如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上．
求证：（1）AD2−AB2=BD⋅CD；
（2）若D在CB上，结论如何，试证明你的结论．
【题型6 勾股定理验证方法的应用】
【例6】（2023春·山西太原·八年级统考期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，则长方形的面积为______.
【变式6-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级统考期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为S1,S2,S3,S4，若S1+S4=135,S3=49，则S2=（ ）
A．184B．86C．119D．81
【变式6-2】（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则图2中EF的长为（ ）
A．3B．4C．22D．32
【变式6-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成． 将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1,S2，S3． 若S1+S2+S3=18， 则正方形EFGH的面积为_______．
【题型7 勾股树问题】
【例7】（2023春·全国·八年级阶段练习）正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，⋯按此规律继续下去，则S2022的值为（ ）
A．122022B．122021C．222022D．222021
【变式7-1】（2023春·八年级统考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中 OA1=A1A2=A2A3=⋅⋅⋅=A8A9=1 ，现把图2中的直角三角形继续作下去如图3所示，若 OA3⋅OAn 的值是整数，且1≤n≤30，则符合条件的n有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式7-2】（2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为______．
【变式7-3】（2023春·江西南昌·八年级南昌市第三中学校考期中）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．
(1)①如图2，3，4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，面积分别为S1，S2，S3，利用勾股定理，判断这3个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有________个．
②如图5，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，也满足S1+S2=S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3的数量关系．
(2)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，则a2+b2+c2+d2=__________．
【题型8 勾股定理在格点中的应用】
【例8】（2023春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
(1)请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2、13、17，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．并求出它的面积．
探索创新：
(3)若△ABC三边的长分别为5a、22a、17a（a＞0），请利用图③的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
(4)若△ABC三边的长分别为m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这个三角形的面积．
【变式8-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）
A．B．2C．4D．3
【变式8-2】（2023春·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为65，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为65时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．
【题型9 直角三角形中的分类讨论思想】
【例9】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高为12，求BC的长．
【变式9-1】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，点E为射线BC上一点，若△ABE是直角三角形，则△ABE的面积是___________.
【变式9-2】（2023春·四川成都·八年级四川省蒲江县蒲江中学校考期中）在△ABC中，AB=20，AC=13，AD为BC边上的高，且AD=12，△ABC的周长为______．
【变式9-3】（2023·黑龙江哈尔滨·八年级期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=1，S△ABC=34，则BC的长是___________．
【题型10 利用勾股定理解决动点问题】
【例10】（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，动点P从点B出发，以每秒2个单位长的速度，沿射线BC运动，设运动时间为t秒，请解答以下问题：
(1)BC边的长为________；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值，写出求解过程；
(3)当△ABP为等腰三角形时，直接写出t的值．
【变式10-1】（2023春·河南信阳·八年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB上一个动点，F是AD上一个动点（点F不与点D重合）．连接EF把△AEF沿EF折叠，使点A的对应点A'总落在边DC上．若△A'EC是以A'E为腰的等腰三角形，则A'D的长为_____________________．
【变式10-2】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中点，M是边BC上的一个动点，N是边CD上的一个动点，则AM＋MN＋EN的最小值是______．
【变式10-3】（2023·河南驻马店·八年级驻马店市第二初级中学校考期中）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别为 A（0，2），B（8，8），点 C（m，0）为 x 正半轴 上一个动点．
（1）当 m＝4 时，写出线段 AC＝ ，BC＝ ．
（2）当 0＜m＜8 时，求△ABC 的面积．（用含 m 的代数式表示）
（3）当点 C 在运动时，是否存在点 C 使△ABC 为直角三角形，如果存在，请求出这个三角形的面积；如果不存在， 请说明理由．
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