专题18.14 平行四边形章末九大题型总结（拔尖篇）-八年级数学下册举一反三系列（人教版）

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专题18.14 平行四边形章末九大题型总结（拔尖篇）【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc15069" 【题型1 四边形中的多解问题】  PAGEREF _Toc15069 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7081" 【题型2 四边形中的动点问题】  PAGEREF _Toc7081 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc16304" 【题型3 四边形中的最值问题】  PAGEREF _Toc16304 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc2316" 【题型4 四边形中的折叠问题】  PAGEREF _Toc2316 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc12949" 【题型5 矩形与等腰三角形】  PAGEREF _Toc12949 \h 41 HYPERLINK \l "_Toc29521" 【题型6 菱形中的全等三角形的构造】  PAGEREF _Toc29521 \h 52 HYPERLINK \l "_Toc20104" 【题型7 正方形中线段的和差倍分关系】  PAGEREF _Toc20104 \h 62 HYPERLINK \l "_Toc9293" 【题型8 坐标系中的四边形】  PAGEREF _Toc9293 \h 71 HYPERLINK \l "_Toc28076" 【题型9 四边形中存在性问题】  PAGEREF _Toc28076 \h 79【题型1 四边形中的多解问题】【例1】（2023春·辽宁鞍山·八年级校联考期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADB的平分线交AB于点E，交AC于点G．过点E作EF⊥BD于点F，∠EDM交AC于点M．下列结论：①AD=2+1AE；②四边形AEFG是菱形；③BE=2OG；④若∠EDM=45°，则GF=CM．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】设AE=x，则BE=2x，可算出AD=(2+1)x=(2+1)AE，故①正确；先证明△AEG≌△FEG，再由AG∥EF得∠AGE=∠AEG，即AE=AG，四边形AEFG是菱形，故②正确；由AG=x，AB=(2+1)x得AO=AB2=(22+1)x，可求出OG=22x=12BE，故③正确；由四边形AEFG是菱形证明△GDF≌△MDC，即可得GF=CM，故④正确．【详解】解：∵DE平分∠ADB，EF⊥BD，AE⊥AD，∴AE=EF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD=45°，∴EF=BF，设AE=x，则BE=2x，∴AD=AB=AE+BE=(2+1)x=(2+1)AE，故①正确；在△AEG和△FEG中，AE=FE∠AEG=∠FEGEG=EG，∴△AEG≌△FEG(SAS)，∴AG=FG，∠AEG=∠FEG，∵四边形ABCD是正方形，∴OA⊥OB，又∵EF⊥OB∴AG∥EF，∴∠FEG=∠AGE，∴∠AGE=∠AEG，∴AE=AG，∴AE=AG=EF=FG，∴四边形AEFG是菱形，故②正确；由①②知，AG=x，AB=(2+1)x，∴AO=AB2=(22+1)x，∴OG=AO−AG=22x=12BE，故③正确；∵BD=AC=2OA=(2+2)x，EF=BF=AE=x，∴DF=(2+1)x=CD，∵四边形AEFG是菱形，∴∠EFG=∠BAC=45°，∴∠DFG=45°=∠DCM，∵∠EDM=45°=∠ODC，∴∠GDF=∠MDC，∴△GDF≌△MDC(ASA)，∴GF=CM，故④正确．故选：D．【点睛】此题考查了正方形的性质、角平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大．设出未知数、利用好正方形的性质是解决此题的关键．【变式1-1】（2023春·福建福州·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD中，AB=23，∠ABC=60°，点E为对角线BD上一动点（不与点B重合），且BE