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数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词优秀习题
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这是一份数学必修 第一册1.5 全称量词与存在量词优秀习题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2021秋•麻阳县校级期中）p：∀x∈R，x2≥0的否定是（ ）
A．￢p：∀x∈R，x2＜0B．￢p：∃x∈R，x2≤0
C．￢p：∃x∈R，x2＜0D．￢p：∀x∈R，x2≤0
2．（2022春•西山区校级期中）命题“∃x∈R，x2+2x+2＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+2x+2≥0B．∀x∈R，x2+2x+2≥0
C．∃x∈R，x2+2x+2＞0D．∀x∉R，x2+2x+2≥0
3．（2022春•让胡路区校级期中）若命题p：∃x∈R，sinx+cs≤0，则命题p的否定为（ ）
A．∃x∉R，sinx+csx＞0B．∃x∈R，sinx+csx＜0
C．∀x∉R，sinx+csx＞0D．∀x∈R，sinx+csx＞0
4．（2022春•利通区校级期中）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则命题p的否定为（ ）
A．∃x0≤0，使得
B．∃x0＞0，使得
C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1
D．∃x≤0，总有（x+1）ex≤1
5．（2022春•峨山县校级期中）设命题p：∀x＞0，x2＞0，则￢p为（ ）
A．B．∀x≤0，x2＞0
C．D．∀x＞0，x2≤0
6．（2022春•秦淮区校级期中）若命题“∃a∈[﹣1，3]，ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．[﹣1，4]B．
C．D．
7．（2021秋•杭州期中）命题“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2﹣x+1≥0B．∀x∈R，x2﹣x+1＞0
C．∃x∈R，x2﹣x+1≥0D．∃x∈R，x2﹣x+1＞0
8．（2020春•凉州区校级期中）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣2，+∞）
9．（多选）（2022秋•香坊区校级月考）若“∀x∈M，x＜0或x＞1”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．（﹣∞，﹣5）B．（﹣3，﹣1]C．（3，+∞）D．[2，3]
10．（多选）（2022秋•恒山区校级月考）给出下列命题：其中是存在量词命题的为（ ）
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2﹣ax+1＝0的根为负数
11．（多选）（2022秋•河南月考）已知a＜b，c＜d，若∀x∈R，（x﹣a）（x﹣b）+1＝（x﹣c）（x﹣d），则（ ）
A．c＜b＜dB．c＜a＜dC．a＜c＜bD．a＜d＜b
12．（多选）（2021秋•江北区校级期中）命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．a＞9B．a≤9C．a≥10D．a≤10
二、填空题。
13．（2022秋•定边县校级月考）命题“∀x∈R，x2＞t+1”为真命题，则实数t的取值范围是 ．
14．（2022秋•东莞市校级月考）命题“∀x∈R，x2+2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为 ．
15．（2022秋•栖霞市校级月考）已知命题p：∀x∈（0，+∞），ax2﹣（2a+1）x﹣≠0，则p的否定形式¬p是 ， ；若¬p是真命题，则a的取值范围是 ．
16．（2021•湖南开学）已知函数，g（x）＝2ax﹣1（a＞0）．若∀x1∈[0，lg32]，∃x2∈[1，2]，f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是 ．
三、解答题。
17．（2022秋•西城区校级月考）若命题“p：∀x∈R，mx2﹣2mx+3≥0”是真命题，求实数m的取值范围．
18．（2021秋•钟山县校级月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
（2）线段的长度都能用正有理数表示；
（3）∃x＞1，x2﹣2＞0．
19．（2021秋•泉山区校级月考）在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：若x＞1，则2x+1≥5；（假命题）．这个命题是省略了量词的全称量词命题．
（1）有人认为命题“若x＞1，则2x+1≥5”的否定是“若x＞1，则2x+1＜5”，你认为对吗？如果不对，请你用含量词的符号语言表示这个命题，并正确写出这个命题的否定；
（2）求a的取值范围，使“若x＞1，则x2﹣ax+a+3≥0”是真命题．
20．（2022秋•定边县校级月考）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）任意实数都存在倒数；
（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；
（3）∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°．
21．（2022秋•沈北新区校级月考）集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|p﹣2≤x≤3p+1}．
（1）若U＝R，求∁UA；
（2）若命题“∃x∈B，x∈A”为假命题，求实数p的取值范围．
22．（2020秋•渝中区校级月考）已知函数f（x）＝，x∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知对任意m≥2n＞0，x∈（0，2），都有不等式（m2﹣2amn+4n2﹣2an2）（x+1）＞n2（2x﹣1）成立，求实数a的取值范围．
23．（2022秋•宛城区校级月考）知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B≠∅．
（1）若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
（2）“命题q：∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
专题1.5 全称量词与存在量词（能力提升）
一、选择题。
1．（2021秋•麻阳县校级期中）p：∀x∈R，x2≥0的否定是（ ）
A．￢p：∀x∈R，x2＜0B．￢p：∃x∈R，x2≤0
C．￢p：∃x∈R，x2＜0D．￢p：∀x∈R，x2≤0
【答案】C。
【解答】解：根据题意，p：∀x∈R，x2≥0，是全称命题，
其否定为：∃x∈R，x2＜0，
故选：C．
2．（2022春•西山区校级期中）命题“∃x∈R，x2+2x+2＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+2x+2≥0B．∀x∈R，x2+2x+2≥0
C．∃x∈R，x2+2x+2＞0D．∀x∉R，x2+2x+2≥0
【答案】B。
【解答】解：“∃x∈R，x2+2x+2＜0”的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0．
故选：B．
3．（2022春•让胡路区校级期中）若命题p：∃x∈R，sinx+cs≤0，则命题p的否定为（ ）
A．∃x∉R，sinx+csx＞0B．∃x∈R，sinx+csx＜0
C．∀x∉R，sinx+csx＞0D．∀x∈R，sinx+csx＞0
【答案】D。
【解答】解：根据题意，命题p：∃x∈R，sinx+cs≤0是特称命题，
其否定为：∀x∈R，sinx+csx＞0，
故选：D．
4．（2022春•利通区校级期中）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则命题p的否定为（ ）
A．∃x0≤0，使得
B．∃x0＞0，使得
C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1
D．∃x≤0，总有（x+1）ex≤1
【答案】B。
【解答】解：命题为全称命题，则命题p：∀x＞0，总有（x+1）2x＞1，
则命题p的否定为，∃x0＞0，使得．
故选：B．
5．（2022春•峨山县校级期中）设命题p：∀x＞0，x2＞0，则￢p为（ ）
A．B．∀x≤0，x2＞0
C．D．∀x＞0，x2≤0
【答案】C。
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0＞0，x02≤0，
故选：C．
6．（2022春•秦淮区校级期中）若命题“∃a∈[﹣1，3]，ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．[﹣1，4]B．
C．D．
【答案】C。
【解答】解：由题意得“∀a∈[﹣1，3]，ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a≥0”为真命题，
令g（a）＝ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a＝（x2﹣2x﹣1）a+x+3，a∈[﹣1，3]，
则，
解得或﹣1≤x≤0．
故选：C．
7．（2021秋•杭州期中）命题“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2﹣x+1≥0B．∀x∈R，x2﹣x+1＞0
C．∃x∈R，x2﹣x+1≥0D．∃x∈R，x2﹣x+1＞0
【答案】A。
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“∃x∈R，x2﹣x+l＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．
故选：A．
8．（2020春•凉州区校级期中）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣2，+∞）
【答案】D。
【解答】解：命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题 等价于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，
令f（x）＝x2﹣3x，x∈[﹣1，1]，则等价于a＞f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴a＞﹣2，
故选：D．
9．（多选）（2022秋•香坊区校级月考）若“∀x∈M，x＜0或x＞1”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．（﹣∞，﹣5）B．（﹣3，﹣1]C．（3，+∞）D．[2，3]
【答案】AB。
【解答】解：对于A，集合M为（﹣∞，﹣5）满足“∀x∈M，x＜0或x＞1”，不满足“∃x∈M，x＞3”，故A正确，
对于B，集合M为（﹣3，﹣1]满足“∀x∈M，x＜0或x＞1”，不满足“∃x∈M，x＞3”，故B正确，
对于C，集合M为（3，+∞）满足“∀x∈M，x＜0或x＞1”，满足“∃x∈M，x＞3”，故C错误，
对于D，集合M为[2，3]满足“∀x∈M，x＜0或x＞1”，满足“∃x∈M，x＞3”，故D错误．
故选：AB．
10．（多选）（2022秋•恒山区校级月考）给出下列命题：其中是存在量词命题的为（ ）
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2﹣ax+1＝0的根为负数
【答案】ACD。
【解答】解：A：含有存在量词：存在，符合题意；
B：省略了全称量词所有，不符合题意；
C：含有存在量词：有些，符合题意；
D：含有存在量词：至少，符合题意．
故选：ACD．
11．（多选）（2022秋•河南月考）已知a＜b，c＜d，若∀x∈R，（x﹣a）（x﹣b）+1＝（x﹣c）（x﹣d），则（ ）
A．c＜b＜dB．c＜a＜dC．a＜c＜bD．a＜d＜b
【答案】CD。
【解答】解：因为a＜b，c＜d，
若∀x∈R，（x﹣a）（x﹣b）+1＝（x﹣c）（x﹣d），
则x＝c时，（c﹣a）（c﹣b）+1＝0，即（c﹣a）（c﹣b）＝﹣1＜0，
所以a与b一个大于c，一个小于c，
因为a＜b，
所以a＜c＜b，
同理a＜d＜b．
故选：CD．
12．（多选）（2021秋•江北区校级期中）命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．a＞9B．a≤9C．a≥10D．a≤10
【答案】AC。
【解答】解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a
a＞9，a≥10命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．
故选：AC．
二、填空题。
13．（2022秋•定边县校级月考）命题“∀x∈R，x2＞t+1”为真命题，则实数t的取值范围是 {t|t＜﹣1} ．
【答案】{t|t＜﹣1}。
【解答】解：因为“∀x∈R，x2＞t+1”为真命题，
则0＞t+1，
故t＜﹣1，
故答案为：{t|t＜﹣1}．
14．（2022秋•东莞市校级月考）命题“∀x∈R，x2+2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1。
【解答】解：因为命题“∀x∈R，x2+2x﹣m≥0“为真命题，
所以Δ＝4+4m≤0，
解得m≤﹣1，
则实数m的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2022秋•栖霞市校级月考）已知命题p：∀x∈（0，+∞），ax2﹣（2a+1）x﹣≠0，则p的否定形式¬p是 ∃x∈（0，+∞）， ；若¬p是真命题，则a的取值范围是 （﹣∞，﹣2]∪（0，+∞） ．
【答案】；（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）。
【解答】解：命题，
所以；
若¬p是真命题，则方程在（0，+∞）内有实根，
即在（0，+∞）内有实根，
即直线y＝ax﹣（2a+1）与曲线有公共点，
显然直线恒过点A（2，﹣1），当直线与曲线相切时，设切点为，
则切线斜率，解得x0＝1，a＝﹣2，
由图可知，当直线与曲线有公共点时，a≤﹣2或a＞0，
所以，a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．
故答案为：；（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．
16．（2021•湖南开学）已知函数，g（x）＝2ax﹣1（a＞0）．若∀x1∈[0，lg32]，∃x2∈[1，2]，f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是 {a|} ．
【答案】{a|}。
【解答】解：令t＝3x，
因为x∈[0，lg32]，则t∈[1，2]，
函数y＝＝，t∈[1，2]，
令h（t）＝，t∈[1，2]，则h（t）在[1，2]上单调递增，
所以，
故f（x）的值域为[]，
因为a＞0时，g（x）＝2ax﹣1在[1，2]上单调递增，
所以2a﹣1≤g（x）≤4a﹣1，
因为若∀x1∈[0，lg32]，∃x2∈[1，2]，f（x1）＝g（x2），
所以f（x）的值域是g（x）的值域的一个子集，
故，
解得，
故a的取值范围为{a|}．
故答案为：{a|}．
三、解答题。
17．（2022秋•西城区校级月考）若命题“p：∀x∈R，mx2﹣2mx+3≥0”是真命题，求实数m的取值范围．
【解答】解：∵∀x∈R，mx2﹣2mx+3≥0是真命题，
∴不等式mx2﹣2mx+3≥0对x∈R恒成立，
当m＝0时，不等式转化为3＞0，恒成立，∴m＝0满足题意；
当m≠0时，需满足 ，解得0＜m≤3，
综上所述，实数m的取值范围是[0，3]．
18．（2021秋•钟山县校级月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
（2）线段的长度都能用正有理数表示；
（3）∃x＞1，x2﹣2＞0．
【解答】解：（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除为存在量词命题，真命题；
（2）线段的长度都能用正有理数表示为全称量词命题，假命题；
（3）∃x＞1，x2﹣2＞0为存在量词命题，真命题．
19．（2021秋•泉山区校级月考）在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：若x＞1，则2x+1≥5；（假命题）．这个命题是省略了量词的全称量词命题．
（1）有人认为命题“若x＞1，则2x+1≥5”的否定是“若x＞1，则2x+1＜5”，你认为对吗？如果不对，请你用含量词的符号语言表示这个命题，并正确写出这个命题的否定；
（2）求a的取值范围，使“若x＞1，则x2﹣ax+a+3≥0”是真命题．
【解答】解：（1）不对，命题的符号语言表示为：∀x＞1，2x+1≥5；
命题的否定符号语言表示为：∃x＞1，2x＜5，
（2）若x＞1，则x2﹣ax+a+3≥0，即a（x﹣1）≤x2+3，a≤，
令g（x）＝＝x﹣1+≥2+2＝6，
当且仅当x﹣1＝即x＝3时，等号成立，
∴g（x）min＝6，a≤6，
∴a的取值范围（﹣∞，6]．
20．（2022秋•定边县校级月考）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）任意实数都存在倒数；
（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；
（3）∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°．
【解答】解：（1）因为全称命题的否定是特称命题，所以：任意实数都存在倒数的否定是：存在一个实数不存在倒数，是真命题；
（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；它的否定是：任意平行四边形，它的对角线相等；是假命题；
（3）∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°．它的否定是：∃x∈{x|x是三角形}，x的内角和不是180°．是假命题．
21．（2022秋•沈北新区校级月考）集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|p﹣2≤x≤3p+1}．
（1）若U＝R，求∁UA；
（2）若命题“∃x∈B，x∈A”为假命题，求实数p的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，所以∁UA＝{x|x≤﹣1或x＞2}．
（2）命题“∃x∈B，x∈A”为假命题，则命题“∀x∈B，x∉A”为真命题，
所以或，
整理得：p＞4或．
实数p的取值范围为（4，+∞）．
22．（2020秋•渝中区校级月考）已知函数f（x）＝，x∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知对任意m≥2n＞0，x∈（0，2），都有不等式（m2﹣2amn+4n2﹣2an2）（x+1）＞n2（2x﹣1）成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝＝＝2﹣，
当x∈（0，2）时，x+1∈（1，3），
∴∈（，1），
∴﹣∈（﹣3，﹣1），
∴2﹣∈（﹣1，1）；
即函数f（x）的值域是（﹣1，1）；
（2）对任意m≥2n＞0，x∈（0，2），不等式（m2﹣2amn+4n2﹣2an2）（x+1）＞n2（2x﹣1）恒成立，
则＞，又f（x）＝＜1，
∴≥1，即﹣2a•+4﹣2a≥1；
又m≥2n＞0，∴≥2，t＝，t≥2，
则g（t）＝t2﹣2at+4﹣2a≥1，t∈[2，+∞）；
当t≥a，即a≤2时，g（t）在[2，+∞）是增函数，∴4﹣4a+4﹣2a≥1，解得a≤；
当t＜a，即a＞2时，g（t）在[2，+∞）上先减后增，则a2﹣2a2+4﹣2a≥1，解得﹣3≤a≤1，此时不满足题意；
综上知，实数a的取值范围是a≤．
23．（2022秋•宛城区校级月考）知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B≠∅．
（1）若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
（2）“命题q：∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，B≠∅
∵“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题
∴B⊆A，B≠∅
∴，解得2≤m≤3
（2）q为真，则A∩B≠∅，
∵B≠∅，∴m≥2
∴
∴2≤m≤4
1．（2021秋•麻阳县校级期中）p：∀x∈R，x2≥0的否定是（ ）
A．￢p：∀x∈R，x2＜0B．￢p：∃x∈R，x2≤0
C．￢p：∃x∈R，x2＜0D．￢p：∀x∈R，x2≤0
2．（2022春•西山区校级期中）命题“∃x∈R，x2+2x+2＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+2x+2≥0B．∀x∈R，x2+2x+2≥0
C．∃x∈R，x2+2x+2＞0D．∀x∉R，x2+2x+2≥0
3．（2022春•让胡路区校级期中）若命题p：∃x∈R，sinx+cs≤0，则命题p的否定为（ ）
A．∃x∉R，sinx+csx＞0B．∃x∈R，sinx+csx＜0
C．∀x∉R，sinx+csx＞0D．∀x∈R，sinx+csx＞0
4．（2022春•利通区校级期中）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则命题p的否定为（ ）
A．∃x0≤0，使得
B．∃x0＞0，使得
C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1
D．∃x≤0，总有（x+1）ex≤1
5．（2022春•峨山县校级期中）设命题p：∀x＞0，x2＞0，则￢p为（ ）
A．B．∀x≤0，x2＞0
C．D．∀x＞0，x2≤0
6．（2022春•秦淮区校级期中）若命题“∃a∈[﹣1，3]，ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．[﹣1，4]B．
C．D．
7．（2021秋•杭州期中）命题“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2﹣x+1≥0B．∀x∈R，x2﹣x+1＞0
C．∃x∈R，x2﹣x+1≥0D．∃x∈R，x2﹣x+1＞0
8．（2020春•凉州区校级期中）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣2，+∞）
9．（多选）（2022秋•香坊区校级月考）若“∀x∈M，x＜0或x＞1”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．（﹣∞，﹣5）B．（﹣3，﹣1]C．（3，+∞）D．[2，3]
10．（多选）（2022秋•恒山区校级月考）给出下列命题：其中是存在量词命题的为（ ）
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2﹣ax+1＝0的根为负数
11．（多选）（2022秋•河南月考）已知a＜b，c＜d，若∀x∈R，（x﹣a）（x﹣b）+1＝（x﹣c）（x﹣d），则（ ）
A．c＜b＜dB．c＜a＜dC．a＜c＜bD．a＜d＜b
12．（多选）（2021秋•江北区校级期中）命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．a＞9B．a≤9C．a≥10D．a≤10
二、填空题。
13．（2022秋•定边县校级月考）命题“∀x∈R，x2＞t+1”为真命题，则实数t的取值范围是 ．
14．（2022秋•东莞市校级月考）命题“∀x∈R，x2+2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为 ．
15．（2022秋•栖霞市校级月考）已知命题p：∀x∈（0，+∞），ax2﹣（2a+1）x﹣≠0，则p的否定形式¬p是 ， ；若¬p是真命题，则a的取值范围是 ．
16．（2021•湖南开学）已知函数，g（x）＝2ax﹣1（a＞0）．若∀x1∈[0，lg32]，∃x2∈[1，2]，f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是 ．
三、解答题。
17．（2022秋•西城区校级月考）若命题“p：∀x∈R，mx2﹣2mx+3≥0”是真命题，求实数m的取值范围．
18．（2021秋•钟山县校级月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
（2）线段的长度都能用正有理数表示；
（3）∃x＞1，x2﹣2＞0．
19．（2021秋•泉山区校级月考）在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：若x＞1，则2x+1≥5；（假命题）．这个命题是省略了量词的全称量词命题．
（1）有人认为命题“若x＞1，则2x+1≥5”的否定是“若x＞1，则2x+1＜5”，你认为对吗？如果不对，请你用含量词的符号语言表示这个命题，并正确写出这个命题的否定；
（2）求a的取值范围，使“若x＞1，则x2﹣ax+a+3≥0”是真命题．
20．（2022秋•定边县校级月考）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）任意实数都存在倒数；
（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；
（3）∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°．
21．（2022秋•沈北新区校级月考）集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|p﹣2≤x≤3p+1}．
（1）若U＝R，求∁UA；
（2）若命题“∃x∈B，x∈A”为假命题，求实数p的取值范围．
22．（2020秋•渝中区校级月考）已知函数f（x）＝，x∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知对任意m≥2n＞0，x∈（0，2），都有不等式（m2﹣2amn+4n2﹣2an2）（x+1）＞n2（2x﹣1）成立，求实数a的取值范围．
23．（2022秋•宛城区校级月考）知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B≠∅．
（1）若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
（2）“命题q：∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
专题1.5 全称量词与存在量词（能力提升）
一、选择题。
1．（2021秋•麻阳县校级期中）p：∀x∈R，x2≥0的否定是（ ）
A．￢p：∀x∈R，x2＜0B．￢p：∃x∈R，x2≤0
C．￢p：∃x∈R，x2＜0D．￢p：∀x∈R，x2≤0
【答案】C。
【解答】解：根据题意，p：∀x∈R，x2≥0，是全称命题，
其否定为：∃x∈R，x2＜0，
故选：C．
2．（2022春•西山区校级期中）命题“∃x∈R，x2+2x+2＜0”的否定是（ ）
A．∃x∈R，x2+2x+2≥0B．∀x∈R，x2+2x+2≥0
C．∃x∈R，x2+2x+2＞0D．∀x∉R，x2+2x+2≥0
【答案】B。
【解答】解：“∃x∈R，x2+2x+2＜0”的否定是∀x∈R，x2+2x+2≥0．
故选：B．
3．（2022春•让胡路区校级期中）若命题p：∃x∈R，sinx+cs≤0，则命题p的否定为（ ）
A．∃x∉R，sinx+csx＞0B．∃x∈R，sinx+csx＜0
C．∀x∉R，sinx+csx＞0D．∀x∈R，sinx+csx＞0
【答案】D。
【解答】解：根据题意，命题p：∃x∈R，sinx+cs≤0是特称命题，
其否定为：∀x∈R，sinx+csx＞0，
故选：D．
4．（2022春•利通区校级期中）已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则命题p的否定为（ ）
A．∃x0≤0，使得
B．∃x0＞0，使得
C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1
D．∃x≤0，总有（x+1）ex≤1
【答案】B。
【解答】解：命题为全称命题，则命题p：∀x＞0，总有（x+1）2x＞1，
则命题p的否定为，∃x0＞0，使得．
故选：B．
5．（2022春•峨山县校级期中）设命题p：∀x＞0，x2＞0，则￢p为（ ）
A．B．∀x≤0，x2＞0
C．D．∀x＞0，x2≤0
【答案】C。
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0＞0，x02≤0，
故选：C．
6．（2022春•秦淮区校级期中）若命题“∃a∈[﹣1，3]，ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a＜0”为假命题，则实数x的取值范围为（ ）
A．[﹣1，4]B．
C．D．
【答案】C。
【解答】解：由题意得“∀a∈[﹣1，3]，ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a≥0”为真命题，
令g（a）＝ax2﹣（2a﹣1）x+3﹣a＝（x2﹣2x﹣1）a+x+3，a∈[﹣1，3]，
则，
解得或﹣1≤x≤0．
故选：C．
7．（2021秋•杭州期中）命题“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2﹣x+1≥0B．∀x∈R，x2﹣x+1＞0
C．∃x∈R，x2﹣x+1≥0D．∃x∈R，x2﹣x+1＞0
【答案】A。
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“∃x∈R，x2﹣x+l＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．
故选：A．
8．（2020春•凉州区校级期中）已知命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣2，4）D．（﹣2，+∞）
【答案】D。
【解答】解：命题“∃x0∈[﹣1，1]，﹣x02+3x0+a＞0”为真命题 等价于a＞x2﹣3x在x∈[﹣1，1]上有解，
令f（x）＝x2﹣3x，x∈[﹣1，1]，则等价于a＞f（x）min＝f（1）＝﹣2，∴a＞﹣2，
故选：D．
9．（多选）（2022秋•香坊区校级月考）若“∀x∈M，x＜0或x＞1”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．（﹣∞，﹣5）B．（﹣3，﹣1]C．（3，+∞）D．[2，3]
【答案】AB。
【解答】解：对于A，集合M为（﹣∞，﹣5）满足“∀x∈M，x＜0或x＞1”，不满足“∃x∈M，x＞3”，故A正确，
对于B，集合M为（﹣3，﹣1]满足“∀x∈M，x＜0或x＞1”，不满足“∃x∈M，x＞3”，故B正确，
对于C，集合M为（3，+∞）满足“∀x∈M，x＜0或x＞1”，满足“∃x∈M，x＞3”，故C错误，
对于D，集合M为[2，3]满足“∀x∈M，x＜0或x＞1”，满足“∃x∈M，x＞3”，故D错误．
故选：AB．
10．（多选）（2022秋•恒山区校级月考）给出下列命题：其中是存在量词命题的为（ ）
A．存在实数x＞1，使x2＞1
B．全等的三角形必相似
C．有些相似三角形全等
D．至少有一个实数a，使ax2﹣ax+1＝0的根为负数
【答案】ACD。
【解答】解：A：含有存在量词：存在，符合题意；
B：省略了全称量词所有，不符合题意；
C：含有存在量词：有些，符合题意；
D：含有存在量词：至少，符合题意．
故选：ACD．
11．（多选）（2022秋•河南月考）已知a＜b，c＜d，若∀x∈R，（x﹣a）（x﹣b）+1＝（x﹣c）（x﹣d），则（ ）
A．c＜b＜dB．c＜a＜dC．a＜c＜bD．a＜d＜b
【答案】CD。
【解答】解：因为a＜b，c＜d，
若∀x∈R，（x﹣a）（x﹣b）+1＝（x﹣c）（x﹣d），
则x＝c时，（c﹣a）（c﹣b）+1＝0，即（c﹣a）（c﹣b）＝﹣1＜0，
所以a与b一个大于c，一个小于c，
因为a＜b，
所以a＜c＜b，
同理a＜d＜b．
故选：CD．
12．（多选）（2021秋•江北区校级期中）命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．a＞9B．a≤9C．a≥10D．a≤10
【答案】AC。
【解答】解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a
a＞9，a≥10命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．
故选：AC．
二、填空题。
13．（2022秋•定边县校级月考）命题“∀x∈R，x2＞t+1”为真命题，则实数t的取值范围是 {t|t＜﹣1} ．
【答案】{t|t＜﹣1}。
【解答】解：因为“∀x∈R，x2＞t+1”为真命题，
则0＞t+1，
故t＜﹣1，
故答案为：{t|t＜﹣1}．
14．（2022秋•东莞市校级月考）命题“∀x∈R，x2+2x﹣m≥0“为真命题，则实数m的最大值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1。
【解答】解：因为命题“∀x∈R，x2+2x﹣m≥0“为真命题，
所以Δ＝4+4m≤0，
解得m≤﹣1，
则实数m的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2022秋•栖霞市校级月考）已知命题p：∀x∈（0，+∞），ax2﹣（2a+1）x﹣≠0，则p的否定形式¬p是 ∃x∈（0，+∞）， ；若¬p是真命题，则a的取值范围是 （﹣∞，﹣2]∪（0，+∞） ．
【答案】；（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）。
【解答】解：命题，
所以；
若¬p是真命题，则方程在（0，+∞）内有实根，
即在（0，+∞）内有实根，
即直线y＝ax﹣（2a+1）与曲线有公共点，
显然直线恒过点A（2，﹣1），当直线与曲线相切时，设切点为，
则切线斜率，解得x0＝1，a＝﹣2，
由图可知，当直线与曲线有公共点时，a≤﹣2或a＞0，
所以，a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．
故答案为：；（﹣∞，﹣2]∪（0，+∞）．
16．（2021•湖南开学）已知函数，g（x）＝2ax﹣1（a＞0）．若∀x1∈[0，lg32]，∃x2∈[1，2]，f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是 {a|} ．
【答案】{a|}。
【解答】解：令t＝3x，
因为x∈[0，lg32]，则t∈[1，2]，
函数y＝＝，t∈[1，2]，
令h（t）＝，t∈[1，2]，则h（t）在[1，2]上单调递增，
所以，
故f（x）的值域为[]，
因为a＞0时，g（x）＝2ax﹣1在[1，2]上单调递增，
所以2a﹣1≤g（x）≤4a﹣1，
因为若∀x1∈[0，lg32]，∃x2∈[1，2]，f（x1）＝g（x2），
所以f（x）的值域是g（x）的值域的一个子集，
故，
解得，
故a的取值范围为{a|}．
故答案为：{a|}．
三、解答题。
17．（2022秋•西城区校级月考）若命题“p：∀x∈R，mx2﹣2mx+3≥0”是真命题，求实数m的取值范围．
【解答】解：∵∀x∈R，mx2﹣2mx+3≥0是真命题，
∴不等式mx2﹣2mx+3≥0对x∈R恒成立，
当m＝0时，不等式转化为3＞0，恒成立，∴m＝0满足题意；
当m≠0时，需满足 ，解得0＜m≤3，
综上所述，实数m的取值范围是[0，3]．
18．（2021秋•钟山县校级月考）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．
（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
（2）线段的长度都能用正有理数表示；
（3）∃x＞1，x2﹣2＞0．
【解答】解：（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除为存在量词命题，真命题；
（2）线段的长度都能用正有理数表示为全称量词命题，假命题；
（3）∃x＞1，x2﹣2＞0为存在量词命题，真命题．
19．（2021秋•泉山区校级月考）在数学中，有很多“若p，则q”形式的命题，有的是真命题，有的是假命题．例如：若x＞1，则2x+1≥5；（假命题）．这个命题是省略了量词的全称量词命题．
（1）有人认为命题“若x＞1，则2x+1≥5”的否定是“若x＞1，则2x+1＜5”，你认为对吗？如果不对，请你用含量词的符号语言表示这个命题，并正确写出这个命题的否定；
（2）求a的取值范围，使“若x＞1，则x2﹣ax+a+3≥0”是真命题．
【解答】解：（1）不对，命题的符号语言表示为：∀x＞1，2x+1≥5；
命题的否定符号语言表示为：∃x＞1，2x＜5，
（2）若x＞1，则x2﹣ax+a+3≥0，即a（x﹣1）≤x2+3，a≤，
令g（x）＝＝x﹣1+≥2+2＝6，
当且仅当x﹣1＝即x＝3时，等号成立，
∴g（x）min＝6，a≤6，
∴a的取值范围（﹣∞，6]．
20．（2022秋•定边县校级月考）写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1）任意实数都存在倒数；
（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；
（3）∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°．
【解答】解：（1）因为全称命题的否定是特称命题，所以：任意实数都存在倒数的否定是：存在一个实数不存在倒数，是真命题；
（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；它的否定是：任意平行四边形，它的对角线相等；是假命题；
（3）∀x∈{x|x是三角形}，x的内角和是180°．它的否定是：∃x∈{x|x是三角形}，x的内角和不是180°．是假命题．
21．（2022秋•沈北新区校级月考）集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，B＝{x|p﹣2≤x≤3p+1}．
（1）若U＝R，求∁UA；
（2）若命题“∃x∈B，x∈A”为假命题，求实数p的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣1＜x≤2}，所以∁UA＝{x|x≤﹣1或x＞2}．
（2）命题“∃x∈B，x∈A”为假命题，则命题“∀x∈B，x∉A”为真命题，
所以或，
整理得：p＞4或．
实数p的取值范围为（4，+∞）．
22．（2020秋•渝中区校级月考）已知函数f（x）＝，x∈（0，2）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）已知对任意m≥2n＞0，x∈（0，2），都有不等式（m2﹣2amn+4n2﹣2an2）（x+1）＞n2（2x﹣1）成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝＝＝2﹣，
当x∈（0，2）时，x+1∈（1，3），
∴∈（，1），
∴﹣∈（﹣3，﹣1），
∴2﹣∈（﹣1，1）；
即函数f（x）的值域是（﹣1，1）；
（2）对任意m≥2n＞0，x∈（0，2），不等式（m2﹣2amn+4n2﹣2an2）（x+1）＞n2（2x﹣1）恒成立，
则＞，又f（x）＝＜1，
∴≥1，即﹣2a•+4﹣2a≥1；
又m≥2n＞0，∴≥2，t＝，t≥2，
则g（t）＝t2﹣2at+4﹣2a≥1，t∈[2，+∞）；
当t≥a，即a≤2时，g（t）在[2，+∞）是增函数，∴4﹣4a+4﹣2a≥1，解得a≤；
当t＜a，即a＞2时，g（t）在[2，+∞）上先减后增，则a2﹣2a2+4﹣2a≥1，解得﹣3≤a≤1，此时不满足题意；
综上知，实数a的取值范围是a≤．
23．（2022秋•宛城区校级月考）知集合A＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，且B≠∅．
（1）若“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．
（2）“命题q：∃x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
【解答】解：（1）A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，B≠∅
∵“命题p：∀x∈B，x∈A”是真命题
∴B⊆A，B≠∅
∴，解得2≤m≤3
（2）q为真，则A∩B≠∅，
∵B≠∅，∴m≥2
∴
∴2≤m≤4
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