人教A版 (2019)2.1 等式性质与不等式性质课时训练

这是一份人教A版 (2019)2.1 等式性质与不等式性质课时训练，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•上海自主招生）a＞b＞0，则最小值为（ ）
A．B．C．D．4
2．（2021秋•银川校级期末）已知a，b∈R，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+3＜b+3B．a﹣5＞b﹣5C．2a＞2bD．
3．（2021秋•巫山县校级期末）已知，，2，则a，b，c三个数的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
4．（2022秋•枣阳市校级月考）若a＞b＞0，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．a+c＜b+cB．C．a2＜abD．
5．（2022秋•高邮市月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果ac＞bc，那么a＞b
B．如果ac2＞bc2，那么a＞b
C．如果，那么a＞b
D．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
6．（2022秋•南昌月考）若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2B．C．+＞2D．＞
7．（2022•南京模拟）若a＞b，c∈R，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．a2＞b2B．2a＞2b
C．lg2a＞lg2bD．ac2＞bc2
8．（2022秋•河南月考）已知P＝a2+b2+，Q＝2a+2b，则（ ）
A．P≤Q B．P＝Q C．P≥Q D．P，Q的大小无法确定
9．（2022秋•金水区校级月考）已知x＞0，，，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不确定
10．（2022春•海珠区校级期中）已知m，n为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．mn≥nmB．mn＜nmC．D．
二、填空题。
11．（2022•沧州开学）若a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2+1＞a；②（a+）（b+）≥4；③（a+b）（）≥4；④a2+9＞6a．其中恒成立的是 （填序号）．
12．（2022春•潞州区校级期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是 ．
13．（2022秋•西安区校级月考）已知a、b为不相等的实数，记M＝a2﹣ab，N＝ab﹣b2，则M与N的大小关系为 ．
14．（2022•山西一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中a＞b，且a，b，m∈R+．据此可以判断两个分数的大小关系，比如 （填“＞”“＜”）．
15．（2021秋•罗平县校级期中）若实数a≠b，则a2﹣ab ba﹣b2.（填“＞”或“＜”）
16．（2022秋•湖北月考）设a＝，b＝2ln（sin+cs），c＝ln，则a，b，c的大小关系是 ．
三、解答题。
17．（2021秋•盘龙区月考）若实数a≠1，比较a+2与的大小．
18．（2021秋•武昌区校级月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．
19．（2022秋•青浦区校级月考）已知a＞0，b＞0，比较（a+b）（a2+b2）与2（a3+b3）的大小．
20．（2021秋•金水区校级期中）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明．
21．（2021秋•宾县校级月考）（1）比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小．
（2）求函数的最小值．
22．（2022•南京模拟）函数过（x1，y1），（x2，y2）两点，且0＜x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．
23．（2021秋•太和县校级月考）（1）设xy＜0，试比较（x2+y2）（x﹣y）与（x2﹣y2）（x+y）的大小；
（2）已知1＜a+b＜3，﹣2＜a﹣b＜2，求2a+3b的取值范围．
24．（2021秋•海淀区校级期中）（1）比较1与的大小；
（2）求方程组的解集；
（3）已知数轴上，A（x），B（﹣1），且线段AB的中点到原点的距离大于5，求x的取值范围．
25．（2021秋•蚌埠期末）已知函数f（x）＝xα﹣α（x﹣1），其中α为常数，且0＜α＜1．
（1）求证：x＞0时，f（x）≤1；
（2）已知a，b，p，q为正实数，满足p+q＝1，比较pa+qb与apbq的大小关系．
专题2.1 不等式和不等式的性质（能力提升）
一、选择题。
1．（2022•上海自主招生）a＞b＞0，则最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C。
【解答】解：∵a＞b＞0，则a＝≥2＝3，
当且仅当，即a＝，b＝时取等号．
故选：C．
2．（2021秋•银川校级期末）已知a，b∈R，且a＜b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a+3＜b+3B．a﹣5＞b﹣5C．2a＞2bD．
【答案】A。
【解答】解：∵a，b∈R，且a＜b，
∴a+3＜b+3，a﹣5＜b﹣5，2a＜2b，，
故选项A正确，选项B、C、D错误，
故选：A．
3．（2021秋•巫山县校级期末）已知，，2，则a，b，c三个数的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【答案】A。
【解答】解：∵函数y＝在R上是减函数，
∴＜，
即0＜a＜b，
又∵2＜0，
∴c＜a＜b，
故选：A．
4．（2022秋•枣阳市校级月考）若a＞b＞0，c＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．a+c＜b+cB．C．a2＜abD．
【答案】B。
【解答】解：因为a＞b＞0，c＜0，
故a+c＞b+c，故A错误，
又，且c＜0，可得，故B正确，D错误，
因为a＞b，又a＞0，则a2＞ab，故C错误，
故选：B．
5．（2022秋•高邮市月考）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果ac＞bc，那么a＞b
B．如果ac2＞bc2，那么a＞b
C．如果，那么a＞b
D．如果a＞b，c＞d，那么a﹣c＞b﹣d
【答案】B。
【解答】解：对于A，如果ac＞bc，c＜0，则a＜b，故A错误，
对于B，如果ac2＞bc2，又c2＞0，所以a＞b，故B正确，
对于C，如果，c＜0，则a＜b，故C错误，
对于D，举例a＝1，b＝2，c＝3，d＝﹣5，满足a＞b，c＞d，但是a﹣c＝﹣2，b﹣d＝7，所以a﹣c＜b﹣d，故D错误，
故选：B．
6．（2022秋•南昌月考）若ab＞0，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2B．C．+＞2D．＞
【答案】C。
【解答】解：对于A，若a＝﹣1，b＝﹣2，则a2＜b2，故A错误，
对于B，若a＝﹣1，b＝﹣2，则，故B错误，
对于C，∵ab＞0，∴，＞0，又a＞b，
∴＝2，故C正确，
对于D，若a＝﹣1，b＝﹣2，则，故D错误，
故选：C．
7．（2022•南京模拟）若a＞b，c∈R，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A．a2＞b2B．2a＞2b
C．lg2a＞lg2bD．ac2＞bc2
【答案】B。
【解答】解：对于A，当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，但a2＝1＜b2＝4，故A错误；
对于B，因为f（x）＝2x在R是单调递增函数，所以当a＞b，则2a＞2b，故B正确；
对于C，因为f（x）＝lg2x的定义域为（0，+∞），所以当0＞a＞b时，不存在lg2a与lg2b，故C错误；
对于D，当c＝0时，ac2＝bc2，故D错误．
故选：B．
8．（2022秋•河南月考）已知P＝a2+b2+，Q＝2a+2b，则（ ）
A．P≤QB．P＝Q
C．P≥QD．P，Q的大小无法确定
【答案】C。
【解答】解：∵P＝a2+b2+，Q＝2a+2b，
∴P﹣Q＝（）﹣（2a+2b）＝（a﹣1）2+（b﹣1）2+（），
∵≥2＝2，当且仅当＝c2，即c2＝1时，等号成立，
∴≥0，又∵（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0，
∴P﹣Q≥0，即P≥Q，
故选：C．
9．（2022秋•金水区校级月考）已知x＞0，，，则P与Q的大小关系为（ ）
A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不确定
【答案】A。
【解答】解：∵，，
∴P﹣Q＝﹣（﹣）＝﹣＝，
∵x＞0，
∴＞，P＞0，Q＞0，
∴（）﹣（）＞0，
∴P﹣Q＞0，即P＞Q，
故选：A．
10．（2022春•海珠区校级期中）已知m，n为正实数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．mn≥nmB．mn＜nmC．D．
【答案】D。
【解答】解：∵m，n为正实数，且，
∴0＜m＜1，0＜n＜1，
∴y＝mx，y＝nx在R上均为减函数，
y＝xm，y＝xn在（0，+∞）上均为增函数，
当m＜n时，mn＜mm＜nm，
故选项A错误；
当m＞n时，mn＞mm＞nm，
故选项B错误；
取m＝n＝，mm+nn＝＞，
故选项C错误；
∵m+n≥2，
∴2（m+n）≥（+）2，
故m+n≥，
∵mm＞m，nn＞n，
∴mm+nn＞，
故选项D正确；
故选：D．
二、填空题。
11．（2022•沧州开学）若a＞0，b＞0，给出下列不等式：①a2+1＞a；②（a+）（b+）≥4；③（a+b）（）≥4；④a2+9＞6a．其中恒成立的是 ①②③ （填序号）．
【答案】①②③。
【解答】解：∵，
∴a2+1＞a，故①恒成立，
∵，，
∴（a+）（b+）≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立，
∵，，
∴（a+b）（）≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故③恒成立，
a2+9﹣6a＝（a﹣3）2，当a﹣3时，（a﹣3）2＝0，即a2+9＝6a，故④不恒成立，
综上所述，恒成立的为①②③．
故答案为：①②③．
12．（2022春•潞州区校级期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是 b＞a＞c ．
【答案】b＞a＞c。
【解答】解：根据题意，a＝＝，b＝，c＝，
故b＞a＞c；
故答案为：b＞a＞c．
13．（2022秋•西安区校级月考）已知a、b为不相等的实数，记M＝a2﹣ab，N＝ab﹣b2，则M与N的大小关系为 M＞N ．
【答案】M＞N。
【解答】解：∵M＝a2﹣ab，N＝ab﹣b2，a≠b，
∴M﹣N＝a2﹣ab﹣（ab﹣b2）＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2＞0，
∴M＞N．
故答案为：M＞N．
14．（2022•山西一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学符号可表示为：，其中a＞b，且a，b，m∈R+．据此可以判断两个分数的大小关系，比如 ＞ （填“＞”“＜”）．
【答案】＞。
【解答】解：由于，其中a＞b，且a，b，m∈R+，
所以，整理得，
故b＜a，
故．
故答案为：＞．
15．（2021秋•罗平县校级期中）若实数a≠b，则a2﹣ab ＞ ba﹣b2.（填“＞”或“＜”）
【答案】＞。
【解答】解：根据题意，（a2﹣ab）﹣（ba﹣b2）＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，
又a≠b，
则（a﹣b）2＞0，
故a2﹣ab＞ba﹣b2，
故答案为：＞．
16．（2022秋•湖北月考）设a＝，b＝2ln（sin+cs），c＝ln，则a，b，c的大小关系是 c＞a＞b ．
【答案】c＞a＞b。
【解答】解：b＝2ln（sin+cs）＝ln（1+sin），
设f（x）＝x﹣sinx，∴f′（x）＝1﹣csx≥0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增且f（0）＝0，
∴f（）＝﹣sin＞0，∴＞sin，
令h（x）＝ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），
∴h′（x）＝﹣1＝﹣＜0，
∴h（x）在（0，1）上单调递减且h（0）＝0，
∴h（）＝ln（1+）﹣＜0，
即＞ln（1+）＞ln（1+sin），即a＞b，
令g（x）＝ln（x+1）﹣x，x∈（0，1），
∴g′（x）＝﹣＝，
当x∈（0，）时，g′（x）＞0，x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，）上单调递增，且g（0）＝0，
∴g（）＝ln（1+）﹣＞0，
∴ln（1+）＞×，∴ln＞，即c＞a，
∴c＞a＞b．
故答案为：c＞a＞b．
三、解答题。
17．（2021秋•盘龙区月考）若实数a≠1，比较a+2与的大小．
【解答】解：＝，
由于，
故当a＜1时，，即；
当a＞1时，，即．
18．（2021秋•武昌区校级月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范围．
【解答】解：令4a﹣2b＝x（a+b）+y（a﹣b），
所以4a﹣2b＝（x+y）a+（x﹣y）b．
所以
解得
因为1≤a+b≤4，﹣3≤3（a﹣b）≤6，两式相加，
所以﹣2≤4a﹣2b≤10．
19．（2022秋•青浦区校级月考）已知a＞0，b＞0，比较（a+b）（a2+b2）与2（a3+b3）的大小．
【解答】解：2（a3+b3）﹣（a+b）（a2+b2）＝a3+b3﹣ab2﹣ba2＝a（a2﹣b2）﹣b（a2﹣b2）＝（a﹣b）2（a+b）≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，
故（a+b）（a2+b2）≤2（a3+b3）．
20．（2021秋•金水区校级期中）已知对于正数a、b，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明．
【解答】解：≥≥，证明如下：
因为a、b均为正数，由基本不等式可得a2+b2≥2ab，
则2（a2+b2）≥a2+b2+2ab＝（a+b）2，则，所以，
由上可知，则，即，
所以，≥，
综上所述，：≥≥，当且仅当a＝b时，两个等号都成立．
21．（2021秋•宾县校级月考）（1）比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小．
（2）求函数的最小值．
【解答】解：（1）∵（2x2+5x+3）﹣（x2+4x+2）＝x2+x+1＝+＞0，
∴2x2+5x+3＞x2+4x+2．
（2）∵x＞3，∴x﹣3＞0，
∴y＝+x＝+x﹣3+3≥2+3＝5，
当且仅当＝x﹣3，即x＝4时取等号，
∴y＝+x的最小值为5．
22．（2022•南京模拟）函数过（x1，y1），（x2，y2）两点，且0＜x1＜x2＜1，试比较y1与y2的大小．
【解答】解：
＝，
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＜0，又，同理，
∴y1﹣y2＜0，即y1＜y2．
23．（2021秋•太和县校级月考）（1）设xy＜0，试比较（x2+y2）（x﹣y）与（x2﹣y2）（x+y）的大小；
（2）已知1＜a+b＜3，﹣2＜a﹣b＜2，求2a+3b的取值范围．
【解答】解：（1）（x2+y2）（x﹣y）﹣（x2﹣y2）（x+y）＝（x﹣y）[x2+y2﹣（x+y）2]＝﹣2xy（x﹣y），
∵xy＜0，
∴当x＞y时，x﹣y＞0，﹣2xy（x﹣y）＞0，得（x2+y2）（x﹣y）＞（x2﹣y2）（x+y），
当x＜y时，x﹣y＜0，﹣2xy（x﹣y）＜0，得（x2+y2）（x﹣y）＜（x2﹣y2）（x+y）．
（2）设2a+3b＝m（a+b）+n（a﹣b），
则
解得，，
则，
∵1＜a+b＜3，﹣2＜a﹣b＜2，
∴，，
∴，
即．
24．（2021秋•海淀区校级期中）（1）比较1与的大小；
（2）求方程组的解集；
（3）已知数轴上，A（x），B（﹣1），且线段AB的中点到原点的距离大于5，求x的取值范围．
【解答】解：（1）∵1﹣
＝＝≥0，
∴1≥；
（2）∵4x2﹣9y2＝（2x+3y）（2x﹣3y）＝15，
又∵2x﹣3y＝5，∴2x+3y＝3，
∴方程组可化为，
解得x＝2，y＝﹣，
故方程组的解集为{（2，﹣）}；
（3）∵A（x），B（﹣1），
∴线段AB的中点为（），
∵线段AB的中点到原点的距离大于5，
∴||＞5，
解得x＞11或x＜﹣9，
故x的取值范围为（﹣∞，﹣9）∪（11，+∞）．
25．（2021秋•蚌埠期末）已知函数f（x）＝xα﹣α（x﹣1），其中α为常数，且0＜α＜1．
（1）求证：x＞0时，f（x）≤1；
（2）已知a，b，p，q为正实数，满足p+q＝1，比较pa+qb与apbq的大小关系．
【解答】解：（1）f'（x）＝αxα﹣1﹣α，
f''（x）＝α（α﹣1）xα﹣2＜0，
∴f'（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为f'（1）＝0，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以f（x）≤f（1）＝1．
（2）由（1）取x＝，α＝q可得：，
两边同乘以a得：a1﹣qbq﹣qb+qa≤a，
∴a1﹣qbq≤（1﹣q）a+qb，
即apbq≤pa+qb．