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人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念精品同步测试题
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这是一份人教A版 (2019)5.2 三角函数的概念精品同步测试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022秋•密云区校级月考）角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则tanα的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋•市南区校级月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A是单位圆上一点，以x轴正半轴为始边，OA为终边的角为，若将OA绕点O按逆时针方向旋转至OB，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣csθ，sinθ）B．（csθ，﹣sinθ）
C．（﹣sinθ，csθ）D．（sinθ，﹣csθ）
3．（2022秋•成都月考）设x∈R，则“csx＝0”是“sinx＝1”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
4．（2022秋•南京月考）已知α∈（0，π），且3tanα＝10cs2α，则csα＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
5．（2022秋•张店区期中）已知θ为第三象限角，sinθ﹣csθ＝﹣，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
6．（2022秋•兴庆区校级月考）已知角α的终边经过点（﹣1，2），则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•双流区校级月考）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b）且cs2θ＝﹣，则|OB|＝（ ）
A．B．C．4D．
8．（2022秋•宾县校级月考）已知（1，2）为角α终边上一点，关于x的函数f（x）＝cs2xcsα﹣sin2xsinα有对称轴x＝m，则tan2m＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
9．（2022秋•衡水月考）已知某质点从平面直角坐标系xOy中的初始位置点A（4，0），沿以O为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B点，设B在x轴上的射影为C，则C点的坐标为（ ）
A．（4sin∠AOB，0）B．（4|sin∠AOB|，0）
C．（4cs∠AOB，0）D．（4|cs∠AOB|，0）
10．（2021秋•普宁市期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点P的坐标为（ ）
A．（2﹣cs2，1﹣sin2）B．（1﹣sin2，2﹣cs2）
C．（1﹣cs2，2﹣sin2）D．（2﹣sin2，1﹣cs2）
二、填空题。
11．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，α的终边过点，若α的终边绕原点按逆时针方向旋转90°得到角β，则sinβ的值为 ．
12．（2022秋•玄武区校级月考）若角α的终边经过点（sin70°，cs70°），且tanα+tan2α+mtanα•tan2α＝，则实数m＝ ．
13．（2022春•湘阴县期末）在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值叫做α的正余混弦，记作schα．若，则tanα＝ ．
14．（2022秋•宁德期中）已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A（1，﹣2）．将角α的终边绕O点顺时针旋转后得到角β的终边，则tanβ＝ ．
15．（2022秋•西固区校级月考）已知θ为三角形的内角，且sin2θ＝sin2θ，则＝ ．
16．（2022秋•徐汇区校级月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则＝ ．
17．（2022春•宝山区校级月考）如图，∠POQ＝，轻质木杆AB（视作线段）长度为1，其端点A在射线OP上，另一端点B在射线OQ上，∠OAB＝，当点A向点O移动Δx时（0＜Δx＜OA），点B向上移动Δy，则Δy关于Δx的函数为
．
18．（2021秋•碑林区校级月考）已知关于x的方程的两根为sinθ和csθ（θ∈（0，π）），则＝ ；此时θ的值为 ．
三、解答题。
19．（2022春•青浦区校级月考）已知，求的值．
20．（2022春•会宁县校级月考）已知＝．
（1）求tanx的值；
（2）若x是第三象限角，求sinx，csx的值．
21．（2021秋•深圳校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边与单位圆交第二象限于点P．
（1）若点P的横坐标为﹣，求cs2θ﹣sinθ•csθ的值．
（2）将OP绕点O逆时针旋转，得到角α（即α＝θ+），若tanα＝，求tanθ的值．
22．（2022秋•杨浦区校级月考）已知α是三角形的一个内角，且sinα和csα是方程5x2﹣x+c＝0的两根，
（1）求实数c的值；
（2）求sin3α﹣cs3α的值．
23．（2022•成都开学）在平面直角坐标系xOy中，角α、β的顶点和始边分别与坐标原点O和x轴的非负半轴重合，角α（如图所示）的终边与单位圆的交点A的纵坐标为．
（1）求csα与sinα的值；
（2）若角β的终边位于第三象限，且与角α的终边相互垂直，求tanβ的值．
24．（2022春•上高县校级月考）已知关于x的方程的两根为sinθ和．
（1）求实数b的值；
（2）求的值．
25．（2021秋•虹口区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（，）在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α后交该圆于点B，设点B的横坐标为f（α），纵坐标g（α）．
（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；
（2）如果，求f（α）•g（α）的值．
26．（2021春•延庆区期中）如图，AB为半圆的直径，AB＝2，O为圆心，P是半圆上的一点，∠BOP＝θ，0°＜θ＜90°，将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，过P，Q分别作PM⊥AB于M，QN⊥AB于N．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
（Ⅱ）求四边形PQNM的面积的最大值．
专题5.2 三角函数的概念（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•密云区校级月考）角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则tanα的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，
则点P的纵坐标为﹣＝﹣，
则tanα＝＝﹣．
故选：A．
2．（2022秋•市南区校级月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A是单位圆上一点，以x轴正半轴为始边，OA为终边的角为，若将OA绕点O按逆时针方向旋转至OB，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣csθ，sinθ）B．（csθ，﹣sinθ）
C．（﹣sinθ，csθ）D．（sinθ，﹣csθ）
【答案】D。
【解答】解：A为单位圆上一点，以x轴为始边，OA为终边的角为θ（θ≠kπ+，k∈Z），
若将OA绕O点逆时针旋转至OB，
则点B的横坐标为cs（+θ）＝sinθ，
点B的纵坐标为sin（+θ）＝﹣csθ，
故点B的坐标为（sinθ，﹣csθ）．
故选：D．
3．（2022秋•成都月考）设x∈R，则“csx＝0”是“sinx＝1”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B。
【解答】解：∵sin2x+cs2x＝1，
①当csx＝0时，则sinx＝±1，∴充分性不成立，
②当sinx＝1时，则csx＝0，∴必要性成立，
∴“csx＝0”是“sinx＝1”的必要不充分条件．
故选：B．
4．（2022秋•南京月考）已知α∈（0，π），且3tanα＝10cs2α，则csα＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【答案】B。
【解答】解：根据题意，α∈（0，π），且3tanα＝10cs2α，则有3tanα＝10×，
变形可得：3tan3α+10tan2α+3tanα﹣10＝0，
则有（tanα+2）（3tan2α+4tanα﹣5）＝0，
解可得tanα＝﹣2或tanα＝，
若tanα＝﹣2，即＝﹣2，
又由α∈（0，π），且sin2α+cs2α＝1，
变形可得caα＝﹣，
若tanα＝，没有选项与之对应，
故选：B．
5．（2022秋•张店区期中）已知θ为第三象限角，sinθ﹣csθ＝﹣，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为sinθ﹣csθ＝﹣，
所以sin2θ+cs2θ＝（csθ﹣）2+cs2θ＝1，
整理可得（5csθ﹣4）（5csθ+3）＝0，
所以csθ＝，或﹣，
又因为θ为第三象限角，
所以csθ＝﹣，sinθ＝﹣，
则＝＝csθ（csθ﹣sinθ）＝﹣×＝﹣．
故选：B．
6．（2022秋•兴庆区校级月考）已知角α的终边经过点（﹣1，2），则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣1，2），
∴sinα＝，csα＝﹣，tanα＝﹣2，
∴＝﹣2sinαcsα+
＝＝．
故选：B．
7．（2022秋•双流区校级月考）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b）且cs2θ＝﹣，则|OB|＝（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D。
【解答】解：由任意角的三角函数定义，得，即a＝tanθ，b＝2a，
可得B（2，2a），|OB|＝，
由，得，
即，解得tan2θ＝4，
∴．
故选：D．
8．（2022秋•宾县校级月考）已知（1，2）为角α终边上一点，关于x的函数f（x）＝cs2xcsα﹣sin2xsinα有对称轴x＝m，则tan2m＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【答案】A。
【解答】解：由已知（1，2）为角α终边上一点，
故sinα＝，cs，tanα＝2，
故f（x）＝cs（2x+α），令f（m）＝±1，
得2m+α＝kπ，所以2m＝kπ﹣α
所以tan2m＝tan（kπ﹣α）＝﹣tanα＝﹣2．
故选：A．
9．（2022秋•衡水月考）已知某质点从平面直角坐标系xOy中的初始位置点A（4，0），沿以O为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B点，设B在x轴上的射影为C，则C点的坐标为（ ）
A．（4sin∠AOB，0）B．（4|sin∠AOB|，0）
C．（4cs∠AOB，0）D．（4|cs∠AOB|，0）
【答案】C。
【解答】解：由三角函数的定义可得，点B的坐标为（4cs∠AOB，4sin∠AOB），
∵B在x轴上的射影为C，
∴C点的坐标为（4cs∠AOB，0）．
故选：C．
10．（2021秋•普宁市期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点P的坐标为（ ）
A．（2﹣cs2，1﹣sin2）B．（1﹣sin2，2﹣cs2）
C．（1﹣cs2，2﹣sin2）D．（2﹣sin2，1﹣cs2）
【答案】D。
【解答】解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，
过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P＝θ，
如图所示：
∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，
∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+csθ，1+sinθ），
∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1），
∴∠AO'P＝2，可得θ＝﹣2，
可得csθ＝cs（﹣2）＝﹣sin2，sinθ＝sin（﹣2）＝﹣cs2，
代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cs2），
∴P点的坐标为（2﹣sin2，1﹣cs2），
故选：D．
二、填空题。
11．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，α的终边过点，若α的终边绕原点按逆时针方向旋转90°得到角β，则sinβ的值为 ﹣ ．
【答案】﹣。
【解答】解：由题意csα＝＝﹣，
可得sinβ＝sin（α+90°）＝csα＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（2022秋•玄武区校级月考）若角α的终边经过点（sin70°，cs70°），且tanα+tan2α+mtanα•tan2α＝，则实数m＝ ．
【答案】。
【解答】解：∵角α的终边经过点（sin70°，cs70°），
∴tanα＝＝＝tan20°，
即α＝20°，
则tanα+tan2α+mtanα•tan2α＝，等价为tan20°+tan40°+mtan20°•tan40°＝，
∵tan（20°+40°）＝＝，
∴tan20°+tan40°＝﹣tan20°tan40°，
则﹣tan20°tan40°+mtan20°tan40°＝，
即（m﹣）tan20°tan40°＝0，则m＝，
故答案为：．
13．（2022春•湘阴县期末）在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值叫做α的正余混弦，记作schα．若，则tanα＝ ．
【答案】。
【解答】解：∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，
由正余混弦的定义可得，schα＝，
故，解得，
故．
故答案为：．
14．（2022秋•宁德期中）已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A（1，﹣2）．将角α的终边绕O点顺时针旋转后得到角β的终边，则tanβ＝ 3 ．
【答案】3。
【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A（1，﹣2），
∴tanα＝＝﹣2．
∵将角α的终边绕O点顺时针旋转后得到角β的终边，
∴β＝α﹣，∴tanβ＝tan（α﹣）＝＝＝3，
故答案为：3．
15．（2022秋•西固区校级月考）已知θ为三角形的内角，且sin2θ＝sin2θ，则＝ ．
【答案】。
【解答】解：因为θ为三角形的内角，sinθ≠0，且sin2θ＝2sinθcsθ＝sin2θ，
所以2csθ＝sinθ，
可得sin2θ+cs2θ＝4cs2θ+cs2θ＝5cs2θ＝1，可得cs2θ＝，可得tanθ＝2，
则＝×＝×＝×＝．
故答案为：．
16．（2022秋•徐汇区校级月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则＝ ．
【答案】。
【解答】解：由于终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，
所以．
所以．
故答案为：．
17．（2022春•宝山区校级月考）如图，∠POQ＝，轻质木杆AB（视作线段）长度为1，其端点A在射线OP上，另一端点B在射线OQ上，∠OAB＝，当点A向点O移动Δx时（0＜Δx＜OA），点B向上移动Δy，则Δy关于Δx的函数为 △y＝﹣（0＜Δx＜OA） ．
【答案】△y＝﹣（0＜Δx＜OA）。
【解答】解：由题意，AB＝1，则OA＝，OB＝．
由于移动前后，AB的长度不变，
故有1＝，化简可得，△y+＝，
即△y＝﹣，（0＜Δx＜OA），
故答案为：△y＝﹣（0＜Δx＜OA）．
18．（2021秋•碑林区校级月考）已知关于x的方程的两根为sinθ和csθ（θ∈（0，π）），则＝ ；此时θ的值为 或 ．
【答案】；θ＝或。
【解答】解：由根与系数的关系可知，
sinθ+csθ＝，①
sinθ•csθ＝m．②
将①式平方得1+2sinθ•csθ＝，
所以sinθ•csθ＝，
代入②得m＝，
＝+＝＝sinθ+csθ＝；
因为已求得m＝，
所以原方程化为2x2﹣（+1）x+＝0，
解得x1＝，x2＝．
所以或，
又因为θ∈（0，π），所以θ＝或．
故答案为：；θ＝或．
三、解答题。
19．（2022春•青浦区校级月考）已知，求的值．
【解答】解：因为，
所以＝＝＝0．
20．（2022春•会宁县校级月考）已知＝．
（1）求tanx的值；
（2）若x是第三象限角，求sinx，csx的值．
【解答】解：（1）因为＝＝＝，
所以解得tanx＝2；
（2）因为x是第三象限角，
所以sinx＜0，csx＜0，
又tanx＝＝2，可得sinx＝2csx，
所以cs2x+（2csx）2＝1，
解得csx＝﹣，sinx＝﹣．
21．（2021秋•深圳校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边与单位圆交第二象限于点P．
（1）若点P的横坐标为﹣，求cs2θ﹣sinθ•csθ的值．
（2）将OP绕点O逆时针旋转，得到角α（即α＝θ+），若tanα＝，求tanθ的值．
【解答】解：（1）∵点P的横坐标为﹣，角θ的终边与单位圆交第二象限于点P，
∴，，
cs2θ﹣sinθ•csθ＝2cs2θ﹣1﹣sinθ•csθ＝．
（2）∵α＝θ+，
∴，
∴＝＝．
22．（2022秋•杨浦区校级月考）已知α是三角形的一个内角，且sinα和csα是方程5x2﹣x+c＝0的两根，
（1）求实数c的值；
（2）求sin3α﹣cs3α的值．
【解答】解：（1）∵sinα和csα是方程5x2﹣x+c＝0的两根，
∴，
∵（sinα+csα）2＝sin2α+2sinαcsα+cs2α＝1+2sinαcsα，
∴，解得：．
（2）由（1）知：，
∵α为三角形的一个内角，∴sinα＞0，∴csα＜0，
∴，
∴，
∴．
23．（2022•成都开学）在平面直角坐标系xOy中，角α、β的顶点和始边分别与坐标原点O和x轴的非负半轴重合，角α（如图所示）的终边与单位圆的交点A的纵坐标为．
（1）求csα与sinα的值；
（2）若角β的终边位于第三象限，且与角α的终边相互垂直，求tanβ的值．
【解答】解：（1）由题意可知，sinα＝，可得csα＝﹣＝﹣；
（2）由（1）可得tanα＝＝﹣，
所以由题意可得tanβ＝tan（α+）＝﹣＝2．
24．（2022春•上高县校级月考）已知关于x的方程的两根为sinθ和．
（1）求实数b的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵方程2x2﹣bx+＝0的两根为sinθ、csθ，
∴sinθ+csθ＝，sinθcsθ＝＞0，
∴＝1+，解得b＝±，此时Δ＝b2﹣2＝5﹣2＞0，
∵θ∈（，π），sinθcsθ＝＞0，∴θ∈（，），
则∈（），
则sinθ+csθ＝sin（θ+）＞0，即b＞0，
∴b＝；
（2）由（1）可得sinθ+csθ＝，θ∈（，π），则sinθ＞csθ，
∴sinθ﹣csθ＝＝，
∴sinθ＝，csθ＝，
则＝＝＝．
25．（2021秋•虹口区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（，）在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α后交该圆于点B，设点B的横坐标为f（α），纵坐标g（α）．
（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；
（2）如果，求f（α）•g（α）的值．
【解答】解：（1）由题意得，f（α）＝cs（），g（α）＝sin（），
若sinα＝m，0＜m＜1，则f（α）+g（α）＝（csα﹣sinα）+（csα+sinα）＝csα＝；
（2）由得cs（）＝2sin（），
整理得，csα＝﹣3sinα，
则f（α）•g（α）＝cs（）•sin（）＝sin（2）＝cs2α＝＝×＝．
26．（2021春•延庆区期中）如图，AB为半圆的直径，AB＝2，O为圆心，P是半圆上的一点，∠BOP＝θ，0°＜θ＜90°，将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，过P，Q分别作PM⊥AB于M，QN⊥AB于N．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
（Ⅱ）求四边形PQNM的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系xOy，
∵∠BOP＝θ，圆的半径为1，∴点P坐标为（csθ，sinθ）．
∵将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，点Q的坐标为，即Q坐标为（﹣sinθ，csθ）．
（Ⅱ）由题意，MN＝OM+ON＝csθ+sinθ，MP＝sinθ，QN＝csθ，
四边形PQNM的面积S＝×MN×（PM+QN）＝（csθ+sinθ）×（csθ+sinθ）＝（1+sin2θ），
∵0°＜θ＜90°，∴0°＜2θ＜180°，
∴当2θ＝90°时，即θ＝45°时，Smax＝1，
∴四边形PQNM的面积的最大值为1．
1．（2022秋•密云区校级月考）角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则tanα的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋•市南区校级月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A是单位圆上一点，以x轴正半轴为始边，OA为终边的角为，若将OA绕点O按逆时针方向旋转至OB，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣csθ，sinθ）B．（csθ，﹣sinθ）
C．（﹣sinθ，csθ）D．（sinθ，﹣csθ）
3．（2022秋•成都月考）设x∈R，则“csx＝0”是“sinx＝1”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
4．（2022秋•南京月考）已知α∈（0，π），且3tanα＝10cs2α，则csα＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
5．（2022秋•张店区期中）已知θ为第三象限角，sinθ﹣csθ＝﹣，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
6．（2022秋•兴庆区校级月考）已知角α的终边经过点（﹣1，2），则＝（ ）
A．B．C．D．
7．（2022秋•双流区校级月考）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b）且cs2θ＝﹣，则|OB|＝（ ）
A．B．C．4D．
8．（2022秋•宾县校级月考）已知（1，2）为角α终边上一点，关于x的函数f（x）＝cs2xcsα﹣sin2xsinα有对称轴x＝m，则tan2m＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
9．（2022秋•衡水月考）已知某质点从平面直角坐标系xOy中的初始位置点A（4，0），沿以O为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B点，设B在x轴上的射影为C，则C点的坐标为（ ）
A．（4sin∠AOB，0）B．（4|sin∠AOB|，0）
C．（4cs∠AOB，0）D．（4|cs∠AOB|，0）
10．（2021秋•普宁市期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点P的坐标为（ ）
A．（2﹣cs2，1﹣sin2）B．（1﹣sin2，2﹣cs2）
C．（1﹣cs2，2﹣sin2）D．（2﹣sin2，1﹣cs2）
二、填空题。
11．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，α的终边过点，若α的终边绕原点按逆时针方向旋转90°得到角β，则sinβ的值为 ．
12．（2022秋•玄武区校级月考）若角α的终边经过点（sin70°，cs70°），且tanα+tan2α+mtanα•tan2α＝，则实数m＝ ．
13．（2022春•湘阴县期末）在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值叫做α的正余混弦，记作schα．若，则tanα＝ ．
14．（2022秋•宁德期中）已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A（1，﹣2）．将角α的终边绕O点顺时针旋转后得到角β的终边，则tanβ＝ ．
15．（2022秋•西固区校级月考）已知θ为三角形的内角，且sin2θ＝sin2θ，则＝ ．
16．（2022秋•徐汇区校级月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则＝ ．
17．（2022春•宝山区校级月考）如图，∠POQ＝，轻质木杆AB（视作线段）长度为1，其端点A在射线OP上，另一端点B在射线OQ上，∠OAB＝，当点A向点O移动Δx时（0＜Δx＜OA），点B向上移动Δy，则Δy关于Δx的函数为
．
18．（2021秋•碑林区校级月考）已知关于x的方程的两根为sinθ和csθ（θ∈（0，π）），则＝ ；此时θ的值为 ．
三、解答题。
19．（2022春•青浦区校级月考）已知，求的值．
20．（2022春•会宁县校级月考）已知＝．
（1）求tanx的值；
（2）若x是第三象限角，求sinx，csx的值．
21．（2021秋•深圳校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边与单位圆交第二象限于点P．
（1）若点P的横坐标为﹣，求cs2θ﹣sinθ•csθ的值．
（2）将OP绕点O逆时针旋转，得到角α（即α＝θ+），若tanα＝，求tanθ的值．
22．（2022秋•杨浦区校级月考）已知α是三角形的一个内角，且sinα和csα是方程5x2﹣x+c＝0的两根，
（1）求实数c的值；
（2）求sin3α﹣cs3α的值．
23．（2022•成都开学）在平面直角坐标系xOy中，角α、β的顶点和始边分别与坐标原点O和x轴的非负半轴重合，角α（如图所示）的终边与单位圆的交点A的纵坐标为．
（1）求csα与sinα的值；
（2）若角β的终边位于第三象限，且与角α的终边相互垂直，求tanβ的值．
24．（2022春•上高县校级月考）已知关于x的方程的两根为sinθ和．
（1）求实数b的值；
（2）求的值．
25．（2021秋•虹口区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（，）在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α后交该圆于点B，设点B的横坐标为f（α），纵坐标g（α）．
（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；
（2）如果，求f（α）•g（α）的值．
26．（2021春•延庆区期中）如图，AB为半圆的直径，AB＝2，O为圆心，P是半圆上的一点，∠BOP＝θ，0°＜θ＜90°，将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，过P，Q分别作PM⊥AB于M，QN⊥AB于N．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
（Ⅱ）求四边形PQNM的面积的最大值．
专题5.2 三角函数的概念（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•密云区校级月考）角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则tanα的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A。
【解答】解：角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，
则点P的纵坐标为﹣＝﹣，
则tanα＝＝﹣．
故选：A．
2．（2022秋•市南区校级月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A是单位圆上一点，以x轴正半轴为始边，OA为终边的角为，若将OA绕点O按逆时针方向旋转至OB，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣csθ，sinθ）B．（csθ，﹣sinθ）
C．（﹣sinθ，csθ）D．（sinθ，﹣csθ）
【答案】D。
【解答】解：A为单位圆上一点，以x轴为始边，OA为终边的角为θ（θ≠kπ+，k∈Z），
若将OA绕O点逆时针旋转至OB，
则点B的横坐标为cs（+θ）＝sinθ，
点B的纵坐标为sin（+θ）＝﹣csθ，
故点B的坐标为（sinθ，﹣csθ）．
故选：D．
3．（2022秋•成都月考）设x∈R，则“csx＝0”是“sinx＝1”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】B。
【解答】解：∵sin2x+cs2x＝1，
①当csx＝0时，则sinx＝±1，∴充分性不成立，
②当sinx＝1时，则csx＝0，∴必要性成立，
∴“csx＝0”是“sinx＝1”的必要不充分条件．
故选：B．
4．（2022秋•南京月考）已知α∈（0，π），且3tanα＝10cs2α，则csα＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【答案】B。
【解答】解：根据题意，α∈（0，π），且3tanα＝10cs2α，则有3tanα＝10×，
变形可得：3tan3α+10tan2α+3tanα﹣10＝0，
则有（tanα+2）（3tan2α+4tanα﹣5）＝0，
解可得tanα＝﹣2或tanα＝，
若tanα＝﹣2，即＝﹣2，
又由α∈（0，π），且sin2α+cs2α＝1，
变形可得caα＝﹣，
若tanα＝，没有选项与之对应，
故选：B．
5．（2022秋•张店区期中）已知θ为第三象限角，sinθ﹣csθ＝﹣，则＝（ ）
A．﹣B．﹣C．D．
【答案】B。
【解答】解：因为sinθ﹣csθ＝﹣，
所以sin2θ+cs2θ＝（csθ﹣）2+cs2θ＝1，
整理可得（5csθ﹣4）（5csθ+3）＝0，
所以csθ＝，或﹣，
又因为θ为第三象限角，
所以csθ＝﹣，sinθ＝﹣，
则＝＝csθ（csθ﹣sinθ）＝﹣×＝﹣．
故选：B．
6．（2022秋•兴庆区校级月考）已知角α的终边经过点（﹣1，2），则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】B。
【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣1，2），
∴sinα＝，csα＝﹣，tanα＝﹣2，
∴＝﹣2sinαcsα+
＝＝．
故选：B．
7．（2022秋•双流区校级月考）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b）且cs2θ＝﹣，则|OB|＝（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D。
【解答】解：由任意角的三角函数定义，得，即a＝tanθ，b＝2a，
可得B（2，2a），|OB|＝，
由，得，
即，解得tan2θ＝4，
∴．
故选：D．
8．（2022秋•宾县校级月考）已知（1，2）为角α终边上一点，关于x的函数f（x）＝cs2xcsα﹣sin2xsinα有对称轴x＝m，则tan2m＝（ ）
A．﹣2B．2C．D．
【答案】A。
【解答】解：由已知（1，2）为角α终边上一点，
故sinα＝，cs，tanα＝2，
故f（x）＝cs（2x+α），令f（m）＝±1，
得2m+α＝kπ，所以2m＝kπ﹣α
所以tan2m＝tan（kπ﹣α）＝﹣tanα＝﹣2．
故选：A．
9．（2022秋•衡水月考）已知某质点从平面直角坐标系xOy中的初始位置点A（4，0），沿以O为圆心，4为半径的圆周按逆时针方向匀速运动到B点，设B在x轴上的射影为C，则C点的坐标为（ ）
A．（4sin∠AOB，0）B．（4|sin∠AOB|，0）
C．（4cs∠AOB，0）D．（4|cs∠AOB|，0）
【答案】C。
【解答】解：由三角函数的定义可得，点B的坐标为（4cs∠AOB，4sin∠AOB），
∵B在x轴上的射影为C，
∴C点的坐标为（4cs∠AOB，0）．
故选：C．
10．（2021秋•普宁市期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点P的坐标为（ ）
A．（2﹣cs2，1﹣sin2）B．（1﹣sin2，2﹣cs2）
C．（1﹣cs2，2﹣sin2）D．（2﹣sin2，1﹣cs2）
【答案】D。
【解答】解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为A（2，0），连接O'P，
过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（3，1），设∠BO'P＝θ，
如图所示：
∵⊙O'的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，
∴根据圆的参数方程，得P的坐标为（2+csθ，1+sinθ），
∵单位圆的圆心的初始位置在（0，1），圆滚动到圆心位于（2，1），
∴∠AO'P＝2，可得θ＝﹣2，
可得csθ＝cs（﹣2）＝﹣sin2，sinθ＝sin（﹣2）＝﹣cs2，
代入上面所得的式子，得到P的坐标为（2﹣sin2，1﹣cs2），
∴P点的坐标为（2﹣sin2，1﹣cs2），
故选：D．
二、填空题。
11．（2022秋•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，α的终边过点，若α的终边绕原点按逆时针方向旋转90°得到角β，则sinβ的值为 ﹣ ．
【答案】﹣。
【解答】解：由题意csα＝＝﹣，
可得sinβ＝sin（α+90°）＝csα＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（2022秋•玄武区校级月考）若角α的终边经过点（sin70°，cs70°），且tanα+tan2α+mtanα•tan2α＝，则实数m＝ ．
【答案】。
【解答】解：∵角α的终边经过点（sin70°，cs70°），
∴tanα＝＝＝tan20°，
即α＝20°，
则tanα+tan2α+mtanα•tan2α＝，等价为tan20°+tan40°+mtan20°•tan40°＝，
∵tan（20°+40°）＝＝，
∴tan20°+tan40°＝﹣tan20°tan40°，
则﹣tan20°tan40°+mtan20°tan40°＝，
即（m﹣）tan20°tan40°＝0，则m＝，
故答案为：．
13．（2022春•湘阴县期末）在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值叫做α的正余混弦，记作schα．若，则tanα＝ ．
【答案】。
【解答】解：∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，
由正余混弦的定义可得，schα＝，
故，解得，
故．
故答案为：．
14．（2022秋•宁德期中）已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A（1，﹣2）．将角α的终边绕O点顺时针旋转后得到角β的终边，则tanβ＝ 3 ．
【答案】3。
【解答】解：∵角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点A（1，﹣2），
∴tanα＝＝﹣2．
∵将角α的终边绕O点顺时针旋转后得到角β的终边，
∴β＝α﹣，∴tanβ＝tan（α﹣）＝＝＝3，
故答案为：3．
15．（2022秋•西固区校级月考）已知θ为三角形的内角，且sin2θ＝sin2θ，则＝ ．
【答案】。
【解答】解：因为θ为三角形的内角，sinθ≠0，且sin2θ＝2sinθcsθ＝sin2θ，
所以2csθ＝sinθ，
可得sin2θ+cs2θ＝4cs2θ+cs2θ＝5cs2θ＝1，可得cs2θ＝，可得tanθ＝2，
则＝×＝×＝×＝．
故答案为：．
16．（2022秋•徐汇区校级月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则＝ ．
【答案】。
【解答】解：由于终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，
所以．
所以．
故答案为：．
17．（2022春•宝山区校级月考）如图，∠POQ＝，轻质木杆AB（视作线段）长度为1，其端点A在射线OP上，另一端点B在射线OQ上，∠OAB＝，当点A向点O移动Δx时（0＜Δx＜OA），点B向上移动Δy，则Δy关于Δx的函数为 △y＝﹣（0＜Δx＜OA） ．
【答案】△y＝﹣（0＜Δx＜OA）。
【解答】解：由题意，AB＝1，则OA＝，OB＝．
由于移动前后，AB的长度不变，
故有1＝，化简可得，△y+＝，
即△y＝﹣，（0＜Δx＜OA），
故答案为：△y＝﹣（0＜Δx＜OA）．
18．（2021秋•碑林区校级月考）已知关于x的方程的两根为sinθ和csθ（θ∈（0，π）），则＝ ；此时θ的值为 或 ．
【答案】；θ＝或。
【解答】解：由根与系数的关系可知，
sinθ+csθ＝，①
sinθ•csθ＝m．②
将①式平方得1+2sinθ•csθ＝，
所以sinθ•csθ＝，
代入②得m＝，
＝+＝＝sinθ+csθ＝；
因为已求得m＝，
所以原方程化为2x2﹣（+1）x+＝0，
解得x1＝，x2＝．
所以或，
又因为θ∈（0，π），所以θ＝或．
故答案为：；θ＝或．
三、解答题。
19．（2022春•青浦区校级月考）已知，求的值．
【解答】解：因为，
所以＝＝＝0．
20．（2022春•会宁县校级月考）已知＝．
（1）求tanx的值；
（2）若x是第三象限角，求sinx，csx的值．
【解答】解：（1）因为＝＝＝，
所以解得tanx＝2；
（2）因为x是第三象限角，
所以sinx＜0，csx＜0，
又tanx＝＝2，可得sinx＝2csx，
所以cs2x+（2csx）2＝1，
解得csx＝﹣，sinx＝﹣．
21．（2021秋•深圳校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边与单位圆交第二象限于点P．
（1）若点P的横坐标为﹣，求cs2θ﹣sinθ•csθ的值．
（2）将OP绕点O逆时针旋转，得到角α（即α＝θ+），若tanα＝，求tanθ的值．
【解答】解：（1）∵点P的横坐标为﹣，角θ的终边与单位圆交第二象限于点P，
∴，，
cs2θ﹣sinθ•csθ＝2cs2θ﹣1﹣sinθ•csθ＝．
（2）∵α＝θ+，
∴，
∴＝＝．
22．（2022秋•杨浦区校级月考）已知α是三角形的一个内角，且sinα和csα是方程5x2﹣x+c＝0的两根，
（1）求实数c的值；
（2）求sin3α﹣cs3α的值．
【解答】解：（1）∵sinα和csα是方程5x2﹣x+c＝0的两根，
∴，
∵（sinα+csα）2＝sin2α+2sinαcsα+cs2α＝1+2sinαcsα，
∴，解得：．
（2）由（1）知：，
∵α为三角形的一个内角，∴sinα＞0，∴csα＜0，
∴，
∴，
∴．
23．（2022•成都开学）在平面直角坐标系xOy中，角α、β的顶点和始边分别与坐标原点O和x轴的非负半轴重合，角α（如图所示）的终边与单位圆的交点A的纵坐标为．
（1）求csα与sinα的值；
（2）若角β的终边位于第三象限，且与角α的终边相互垂直，求tanβ的值．
【解答】解：（1）由题意可知，sinα＝，可得csα＝﹣＝﹣；
（2）由（1）可得tanα＝＝﹣，
所以由题意可得tanβ＝tan（α+）＝﹣＝2．
24．（2022春•上高县校级月考）已知关于x的方程的两根为sinθ和．
（1）求实数b的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵方程2x2﹣bx+＝0的两根为sinθ、csθ，
∴sinθ+csθ＝，sinθcsθ＝＞0，
∴＝1+，解得b＝±，此时Δ＝b2﹣2＝5﹣2＞0，
∵θ∈（，π），sinθcsθ＝＞0，∴θ∈（，），
则∈（），
则sinθ+csθ＝sin（θ+）＞0，即b＞0，
∴b＝；
（2）由（1）可得sinθ+csθ＝，θ∈（，π），则sinθ＞csθ，
∴sinθ﹣csθ＝＝，
∴sinθ＝，csθ＝，
则＝＝＝．
25．（2021秋•虹口区期末）在平面直角坐标系xOy中，A（，）在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α后交该圆于点B，设点B的横坐标为f（α），纵坐标g（α）．
（1）如果sinα＝m，0＜m＜1，求f（α）+g（α）的值（用m表示）；
（2）如果，求f（α）•g（α）的值．
【解答】解：（1）由题意得，f（α）＝cs（），g（α）＝sin（），
若sinα＝m，0＜m＜1，则f（α）+g（α）＝（csα﹣sinα）+（csα+sinα）＝csα＝；
（2）由得cs（）＝2sin（），
整理得，csα＝﹣3sinα，
则f（α）•g（α）＝cs（）•sin（）＝sin（2）＝cs2α＝＝×＝．
26．（2021春•延庆区期中）如图，AB为半圆的直径，AB＝2，O为圆心，P是半圆上的一点，∠BOP＝θ，0°＜θ＜90°，将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，过P，Q分别作PM⊥AB于M，QN⊥AB于N．
（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，用θ的三角函数表示P，Q两点的坐标；
（Ⅱ）求四边形PQNM的面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）以AB所在直线为x轴，O为原点建立直角坐标系xOy，
∵∠BOP＝θ，圆的半径为1，∴点P坐标为（csθ，sinθ）．
∵将射线OP绕O逆时针旋转90°到OQ，点Q的坐标为，即Q坐标为（﹣sinθ，csθ）．
（Ⅱ）由题意，MN＝OM+ON＝csθ+sinθ，MP＝sinθ，QN＝csθ，
四边形PQNM的面积S＝×MN×（PM+QN）＝（csθ+sinθ）×（csθ+sinθ）＝（1+sin2θ），
∵0°＜θ＜90°，∴0°＜2θ＜180°，
∴当2θ＝90°时，即θ＝45°时，Smax＝1，
∴四边形PQNM的面积的最大值为1．
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