高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质练习，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021秋•惠阳区校级期中）集合{x|x＜0或x≥1}用区间表示为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，0）∩[1，+∞）D．（0，1]
2．（2021秋•长安区校级期末）函数f（x）＝﹣x3，若，b＝f（lg32），，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
3．（2022•北京学业考试）已知函数f（x）＝2x，x∈[0，+∞），则f（x）（ ）
A．有最大值，有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
4．（2022秋•武功县校级月考）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．和（4，+∞）D．
5．（2022•吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（ ）
A．y＝2x﹣2﹣xB．y＝x﹣3C．y＝tanxD．
6．（2022秋•兴庆区校级月考）已知函数f（x）和g（x）分别由表给出，则满足f（g（x））＞g（f（x））的x的取值范围是（ ）
A．{1，2，3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1}
7．（2022秋•如皋市校级月考）函数y＝|x+1|﹣|2﹣x|的最大值是（ ）
A．3B．﹣3C．5D．﹣2
8．（2022•衡山县校级开学）已知点A（m﹣3，2﹣m）在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2022•徐汇区校级开学）设a、b、c是两个两两不相等的正整数．若{a+b，b+c，c+a}＝{n2，（n+1）2，（n+2）2}（n∈N+），则a2+b2+c2的最小值是（ ）
A．2007B．1949C．1297D．1000
10．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝|x2+（3m+5）|x|+1|的定义域为R，且该函数在定义域上有且仅有8个单调区间，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）
二、填空题。
11．（2021秋•儋州月考）用区间表示数集：{x|x＞﹣1且x≠2}＝ ．
12．（2022秋•思明区校级月考）已知函数f（x）＝﹣x|x|+2x，则f（x）的单调增区间为 ．
13．（2022秋•武功县校级月考）已知函数f（x）＝|﹣3x+a|的增区间是[2，+∞），则实数a的值为 ．
14．（2022秋•杨浦区校级月考）若函数y＝f（x）在区间Ⅰ上是严格增函数，而函数y＝在区间I上是严格减函数，那么称函数y＝f（x）是区间I上的“缓增函数”，区间Ⅰ叫做“缓增区间”．已知函数f（x）＝x2﹣x+是区间I上的“缓增函数”，若定义b﹣a为[a，b]的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”Ⅰ的区间长度最大值为 ．
15．（2022秋•贵州月考）设min{p，q}表示p，q两者中较小的一个，max{p，q}表示p，q两者中较大的一个．若函数f（x）＝max{min{﹣x+6，﹣x2+8}，2x}在（﹣2，m）上有最大值，则m的取值范围为 ．
16．（2022秋•武功县校级月考）已知a∈R，函数，若f（x）存在最小值，则a的取值范围 ．
三、解答题。
17．（2022春•济宁期末）已知函数．
（1）如果函数f（x）为幂函数，试求实数a、b、c的值；
（2）如果a＞0、b＞0，且函数f（x）在区间上单调递减，试求ab的最大值．
18．（2021秋•呼和浩特期末）已知函数．
（Ⅰ）用函数单调性的定义证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）解不等式f（2x+1）＞f（4x）．
19．（2022•锦江区校级开学）请在答题卡所给的坐标纸上画出以下函数的图像，并写出对应函数的单调递增区间和单调递减区间．
（1）f（x）＝x2﹣3|x|+6
单调递增区间：_____
单调递减区间：_____
（2）f（x）＝x2﹣3x+
单调递增区间：_____
单调递减区间：_____
20．（2022•句容市校级开学）函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21．（2022•海安市校级开学）对于问题“求函数y＝的最小值”，甲、乙两位同学分别提出了自己的思路．甲同学将此函数变形为yx2﹣（y+2）x+y＝0，接下来只需考虑变形后的这个关于x的方程有解；乙同学将此函数变形为y＝，然后考虑x+的取值范围．请你选择并完善其中一种思路，写出过程解决问题．
22．（2022•鼓楼区校级开学）（1）已知（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，求x+y的范围：
（2）已知+＝1，求x+y的范围；
（3）已知x2﹣3x+y2＝0，求y2﹣x的范围．
23．（2021秋•天宁区校级期末）已知函数f（x）＝（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（2）已知函数f（x）的图像存在对称中心（a，b）的充要条件是g（x）＝f（x+a）﹣b的图像关于原点中心对称，判断函数f（x）的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由．
24．（2021秋•徐汇区校级期末）已知函数（常数a∈R）．
（1）当a＝2时，用定义证明y＝h（x）在区间[1，2]上是严格增函数；
（2）根据a的不同取值，判断函数y＝h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）令，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
25．（2022•黄浦区模拟）已知函数f（x）＝．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求证：函数f（x）的图象关于直线y＝x对称；
（3）某同学经研究发现，函数f（x）的图象为双曲线，x＝0和y＝为其两条渐近线，试求出其顶点，焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证．
专题3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（能力提升）
一、选择题。
1．（2021秋•惠阳区校级期中）集合{x|x＜0或x≥1}用区间表示为（ ）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪[1，+∞）
C．（﹣∞，0）∩[1，+∞）D．（0，1]
【答案】B。
【解答】将不等式转化为区间，原不等式中带“＝”的数字，转化后就是“[”，没有带“＝”的，转化后就是“（”．
故选：B．
2．（2021秋•长安区校级期末）函数f（x）＝﹣x3，若，b＝f（lg32），，则（ ）
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．a＜c＜bD．c＜b＜a
【答案】A。
【解答】解：因为函数f（x）＝﹣x3在R上单调递减，
又因为2＞20＝1，lg31＜lg32＜lg33，即lg32∈（0，1），lg2＜lg21＝0，
所以可得c＞b＞a，
故选：A．
3．（2022•北京学业考试）已知函数f（x）＝2x，x∈[0，+∞），则f（x）（ ）
A．有最大值，有最小值B．有最大值，无最小值
C．无最大值，有最小值D．无最大值，无最小值
【答案】C。
【解答】解：由指数函数的性质可知f（x）＝2x在x∈[0，+∞）上是增函数，
所以最小值为f（0）＝20＝1，没有最大值．
故选：C．
4．（2022秋•武功县校级月考）函数的单调增区间为（ ）
A．B．
C．和（4，+∞）D．
【答案】C。
【解答】解：设t＝﹣x2+3x+4，则有x≠﹣1且x≠4；t∈（﹣∞，0）∪（0，]，
所以函数的定义域为：{x|x≠﹣1且x≠4}，
由二次函数的性质可知t的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，]；单调递减区间为：[，4），（4，+∞）；
又因为y＝在t∈（﹣∞，0）和（0，]上单调递减，
由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：[，4）和（4，+∞）．
故选：C．
5．（2022•吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（ ）
A．y＝2x﹣2﹣xB．y＝x﹣3C．y＝tanxD．
【答案】A。
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2x﹣2﹣x，其定义域为R，导数y′＝（2x+2﹣x）ln2，则有y′＝（2x+2﹣x）ln2＞0，则该函数在其定义域为增函数，符合题意，
对于B，y＝x﹣3，为幂函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意，
对于C，y＝tanx，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意，
对于D，y＝x，是对数函数，在其定义域上为减函数，不符合题意，
故选：A．
6．（2022秋•兴庆区校级月考）已知函数f（x）和g（x）分别由表给出，则满足f（g（x））＞g（f（x））的x的取值范围是（ ）
A．{1，2，3}B．{1，2}C．{1，3}D．{1}
【答案】C。
【解答】解：根据题意，函数的定义域为{1，2，3}，
当x＝1时，f（g（1））＝f（2）＝3，g（f（1））＝g（1）＝2，f（g（x））＞g（f（x））成立；
当x＝2时，f（g（2））＝f（1）＝1，g（f（2））＝g（3）＝3，f（g（x））＞g（f（x））不成立；
当x＝3时，f（g（3））＝f（3）＝2，g（f（3））＝g（2）＝1，f（g（x））＞g（f（x））成立；
故满足f（g（x））＞g（f（x））的x的取值范围是{1，3}；
故选：C．
7．（2022秋•如皋市校级月考）函数y＝|x+1|﹣|2﹣x|的最大值是（ ）
A．3B．﹣3C．5D．﹣2
【答案】A。
【解答】解：由题意可知y＝|x+1|﹣|2﹣x|＝，
当﹣1≤x≤2时，f（x）递增，可得f（x）∈[﹣3，3]，
则f（x）的值域为[﹣3，3]．
则f（x）的最大值3．
故选：A．
8．（2022•衡山县校级开学）已知点A（m﹣3，2﹣m）在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B。
【解答】解：∵点A（m﹣3，2﹣m）在第三象限，∴m﹣3＜0，2﹣m＜0，
求得2＜m＜3，即m的取值范围为（2，3），
故选：B．
9．（2022•徐汇区校级开学）设a、b、c是两个两两不相等的正整数．若{a+b，b+c，c+a}＝{n2，（n+1）2，（n+2）2}（n∈N+），则a2+b2+c2的最小值是（ ）
A．2007B．1949C．1297D．1000
【答案】C。
【解答】解：不妨设a＞b＞c，则a+b＞a+c＞b+c．
因为（a+b）+（b+c）+（a+c）＝2（a+b+c）为偶数，
所以n2，（n+1）2，（n+2）2必为两奇一偶，从而可得n为奇数．
又因为b+c＞1，所以n为不小于3的奇数．
若n＝3．则{a+b，b+c，c+a}＝{32，42，52}．
故a+b+c＝（32+42+52）＝52，且a+b＝52．
所以c＝0，不符合要求．
若n＝5，则{a+b，b+c，c+a}＝{52，62，72}．
故，解得，
此时，a2+b2+c2＝302+192+62＝1297．
故选：C．
10．（2022秋•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝|x2+（3m+5）|x|+1|的定义域为R，且该函数在定义域上有且仅有8个单调区间，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）∪（﹣1，+∞）
【答案】C。
【解答】解：因为函数f（x）＝|x2+（3m+5）|x|+1|，
令g（x）＝x2+（3m+5）|x|+1，
g（﹣x）＝（﹣x）2+（3m+5）|﹣x|+1＝x2+（3m+5）|x|+1＝g（x），
所以g（x）为偶函数，
因为f（x）＝|x2+（3m+5）|x|+1|有八个单调区间，
所以g（x）的图象在y轴右侧与x轴有两个不同的交点，
所以即，
解得m＜﹣．
故选：C．
二、填空题。
11．（2021秋•儋州月考）用区间表示数集：{x|x＞﹣1且x≠2}＝ （﹣1，2）∪（2，+∞） ．
【答案】（﹣1，2）∪（2，+∞）。
【解答】解：{x|x＞﹣1且x≠2}＝（﹣1，2）∪（2，+∞）．
故答案为：（﹣1，2）∪（2，+∞）．
12．（2022秋•思明区校级月考）已知函数f（x）＝﹣x|x|+2x，则f（x）的单调增区间为 （﹣1，1） ．
【答案】（﹣1，1）。
【解答】解：因为函数，
作出函数f（x）的图象，如图所示：
由图可知，递增区间是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣1，1）．
13．（2022秋•武功县校级月考）已知函数f（x）＝|﹣3x+a|的增区间是[2，+∞），则实数a的值为 6 ．
【答案】6。
【解答】解：因为函数f（x）＝|﹣3x+a|＝，
故当x≤时，f（x）单调递减，当x＞时，f（x）单调递增．
因为函数f（x）＝|﹣3x+a|的增区间是[2，+∞），
所以＝2，所以a＝6．
故答案为：6．
14．（2022秋•杨浦区校级月考）若函数y＝f（x）在区间Ⅰ上是严格增函数，而函数y＝在区间I上是严格减函数，那么称函数y＝f（x）是区间I上的“缓增函数”，区间Ⅰ叫做“缓增区间”．已知函数f（x）＝x2﹣x+是区间I上的“缓增函数”，若定义b﹣a为[a，b]的区间长度，那么满足条件的“缓增区间”Ⅰ的区间长度最大值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1。
【解答】解：f（x）＝x2﹣x+是开口向上，对称轴为x＝1的二次函数，
所以f（x）在区间[1，+∞）上是严格增函数，设集合A＝[1，+∞），
又函数f（x）＝x2﹣x+是区间I上的“缓增函数”，
所以y＝＝x﹣1+＝x+﹣1在区间I上是严格减函数，
由对勾函数的性质知，y＝在[﹣，0）和（0，]上是严格减函数，设集合B＝[﹣，0）∪（0，]，
所以区间I＝A∩B＝[1，]，
所以“缓增区间”Ⅰ的区间长度最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
15．（2022秋•贵州月考）设min{p，q}表示p，q两者中较小的一个，max{p，q}表示p，q两者中较大的一个．若函数f（x）＝max{min{﹣x+6，﹣x2+8}，2x}在（﹣2，m）上有最大值，则m的取值范围为 （﹣1，lg27] ．
【答案】（﹣1，lg27]。
【解答】解：min{﹣x+6，﹣x2+8}＝，
作出y＝min{﹣x+6，﹣x2+8}的图象（粉红实线）和y＝2x的图象，
则y＝f（x）的图象为B点右边y＝2x的一部分和A、B上方的粉红实线、A点上方y＝2x的一部分组成．
若f（x）在（﹣2，m）上有最大值，即为7，
令2x＝7，解得x＝lg27，
所以要使得f（x）在（﹣2，m）上有最大值，则m的取值范围是（﹣1，lg27]．
故答案为：（﹣1，lg27]．
16．（2022秋•武功县校级月考）已知a∈R，函数，若f（x）存在最小值，则a的取值范围 [1，] ．
【答案】[1，]。
【解答】解：当1﹣a＞0，即a＜1时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递增，故f（x）无最小值，不符合题意；
当1≤a≤2时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，所以f（a）＝（1﹣a）a+1，又f（x）在[a，+∞）上的最小值为f（2）＝0，要使f（x）存在最小值，还需（1﹣a）a+1≥0，
解得≤a≤，
故，解得1≤a≤；
当a＞2时，要使f（x）存在最小值，
还需：（1﹣a）a+1≥a+﹣4，因为：（1﹣a）a+1＜0，a+﹣4＞0，所以无解
综上a的取值范围为[1，]．
故答案为：[1，]．
三、解答题。
17．（2022春•济宁期末）已知函数．
（1）如果函数f（x）为幂函数，试求实数a、b、c的值；
（2）如果a＞0、b＞0，且函数f（x）在区间上单调递减，试求ab的最大值．
【解答】解：（1）由f（x）为幂函数知：
或．
解得：a＝5，b＝8，c＝1，或a＝2，b＝9，c＝1．
（2）①当a＝2时，f（x）＝（b﹣8）x+c﹣1（x∈R）
由题意知，0＜b＜8，所以ab＜16．
②当a＞2时，函数f（x）图象的对称轴为，
以题意得：，即2a+b≤12
所以，ab≤18．
当且仅当a＝3，b＝6时取等号．
③当0＜a＜2时，
以题意得：，即a+3b≤26，即
又因为0＜a＜2，
所以
综上可得，ab的最大值为18．
18．（2021秋•呼和浩特期末）已知函数．
（Ⅰ）用函数单调性的定义证明f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）解不等式f（2x+1）＞f（4x）．
【解答】解：（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则＝，
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）根据题意，对于f（2x+1）＞f（4x），
有2x+1＞0，4x＞0，而函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则有2x+1＞4x，即2x﹣1＜1，
解可得x＜1．
不等式的解集为（﹣∞，1）．
19．（2022•锦江区校级开学）请在答题卡所给的坐标纸上画出以下函数的图像，并写出对应函数的单调递增区间和单调递减区间．
（1）f（x）＝x2﹣3|x|+6
单调递增区间：_____
单调递减区间：_____
（2）f（x）＝x2﹣3x+
单调递增区间：_____
单调递减区间：_____
【解答】解：（1）f（x）＝x2﹣3|x|+6的图象如右图：
单调递增区间：（﹣，0），（，+∞）；
单调递减区间：（﹣∞，﹣），（0，）；
（2）f（x）＝x2﹣3x+的图象如图：
令t＝x2﹣3x，则y＝t+，
又||≥2，当且仅当取得等号，
又x∈（0，3）时，t＝x2﹣3x∈（，0）⫋（﹣，0），
x∈（﹣∞，0）∪（3，+∞）时，t＝x2﹣3x＞0，
∴令，解得x＝，
结合一元二次函数与对钩函数图像，
根据复合函数的单调性原理可得：f（x）的单调性如下：
单调增区间：（，0），（0，），（，+∞），
单调递减区间：（﹣∞，），（，3），（3，）．
20．（2022•句容市校级开学）函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
【解答】解：（1）∵函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，则，解可得b＝0．
又由f（1）＝，则有，解可得a＝2，故．
（2）由（1）的结论，，设﹣3＜x1＜x2＜3，
则 ＝，
再根据﹣3＜x1＜x2＜3，可得9+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，，，
故有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
可得函数f（x）在（﹣3，3）上为增函数．
（3）由（1）（2）知f（x）为奇函数且在（﹣3，3）上为增函数，
关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即式f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），
可得，解可得：，
即不等式的解集为．
21．（2022•海安市校级开学）对于问题“求函数y＝的最小值”，甲、乙两位同学分别提出了自己的思路．甲同学将此函数变形为yx2﹣（y+2）x+y＝0，接下来只需考虑变形后的这个关于x的方程有解；乙同学将此函数变形为y＝，然后考虑x+的取值范围．请你选择并完善其中一种思路，写出过程解决问题．
【解答】解法一、y＝转化为yx2﹣（y+2）x+y＝0（*）．
若y＝0，则x＝0；
若y≠0，则方程（*）有实数解⇔Δ≥0，
即有（y+2）2﹣4y2≥0，解得﹣≤y≤2，且y≠0．
综上可得，函数的值域为[﹣，2]，则函数的最小值为﹣．
解法二、当x＝0时，y＝0；
当x≠0时，y＝，
当x＞0时，x+≥2，当且仅当x＝1时，取得等号，则y∈（0，2]；
当x＜0时，，x+≤﹣2，当且仅当x＝﹣1时，取得等号，则y∈[﹣，0）．
综上可得，函数的值域为[﹣，2]，则函数的最小值为﹣．
22．（2022•鼓楼区校级开学）（1）已知（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，求x+y的范围：
（2）已知+＝1，求x+y的范围；
（3）已知x2﹣3x+y2＝0，求y2﹣x的范围．
【解答】解：（1）可设x+y＝b，化简为x+y﹣b＝0，由已知直线x+y﹣b＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4有交点，
圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（1，2），
圆心（1，2）到直线x+y﹣b＝0的距离d＝＝，
所以≤2，解得3﹣2≤b≤3+2，
所以x+y的范围为[3﹣2，3+2]；
（2）因为+＝1，所以可设x＝4csθ，y＝3sinθ，
则x+y＝4csθ+3sinθ＝5sin（θ+α），sinα＝，csα＝，
又由﹣1≤5sin（θ+α）≤1，
则有﹣5≤x+y≤5，当且仅当θ＝2kπ+﹣α，k∈Z时取等号，
则x+y的范围为：[﹣5，5]；
（3）因为x2﹣3x+y2＝0，所以y2﹣x＝﹣x2+3x﹣x＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
由x2﹣3x+y2＝0，可得y2＝﹣x2+3x≥0，所以x∈[0，3]，
所以﹣（x﹣1）2+1∈[﹣3，1]，即y2﹣x的范围为[﹣3，1]．
23．（2021秋•天宁区校级期末）已知函数f（x）＝（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（2）已知函数f（x）的图像存在对称中心（a，b）的充要条件是g（x）＝f（x+a）﹣b的图像关于原点中心对称，判断函数f（x）的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，
由x1＜x2，可得0＜2x1＜2x2，则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）是R上的减函数；
（2）若函数f（x）的图像存在对称中心（a，b），可得f（a﹣x）+f（a+x）＝2b，
所以+＝2b，
化简可得b（1+22a）﹣2+（b﹣1）（2a﹣x+2a+x）＝0，
则b（1+22a）﹣2＝b﹣1＝0，
解得a＝0，b＝1，
所以函数f（x）的图像存在对称中心（0，1）．
24．（2021秋•徐汇区校级期末）已知函数（常数a∈R）．
（1）当a＝2时，用定义证明y＝h（x）在区间[1，2]上是严格增函数；
（2）根据a的不同取值，判断函数y＝h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）令，设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
【解答】解：（1）当a＝2时，h（x）＝2x2+，x∈[1，2]，
证明：任取x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，则h（x1）﹣h（x2）＝2x12+﹣（2x22+）＝（x1﹣x2）[2（x1+x2）﹣]，
∵x1，x2∈[1，2]，且x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，2（x1+x2）＞4，＜1，2（x1+x2）﹣＞0，
∴h（x1）﹣h（x2）＜0，即h（x1）＜h（x2），
∴y＝h（x）在区间[1，2]上是严格增函数；
（2），定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
当a＝0时，h（x）＝，则h（﹣x）＝﹣＝﹣h（x），
∴当a＝0时，h（x）是奇函数；
当a≠0时，h（﹣x）＝a（﹣x）2﹣，
∴当a≠0时，h（x）为非奇非偶函数；
（3）∵函数，，x∈[1，2]，
∴f（x）＝ax2﹣x+2a，x∈[1，2]，
1°当a＝0时，f（x）＝﹣x，f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）min＝f（2）＝g（a）＝﹣2；
2°当a＞0时，二次函数f（x）图象开口向上，且对称轴为直线x＝＞0，
①当≥2，即0＜a≤，f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）min＝f（2）＝g（a）＝6a﹣2；
②当1＜＜2，即＜a＜，∴f（x）min＝f（）＝g（a）＝a（）2﹣+2a＝﹣+2a；
③当0＜≤1，即a≥，f（x）在[1，2]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝g（a）＝3a﹣1；
3°当a＜0，二次函数f（x）图象开口向下，且对称轴为直线x＝＜0，
∴f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）min＝f（2）＝g（a）＝6a﹣2；
综上所述，g（a）＝．
25．（2022•黄浦区模拟）已知函数f（x）＝．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求证：函数f（x）的图象关于直线y＝x对称；
（3）某同学经研究发现，函数f（x）的图象为双曲线，x＝0和y＝为其两条渐近线，试求出其顶点，焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证．
【解答】（1）解：由题意，函数，
可得，
令f′（x）＞0，即，
解得或，
所以函数f（x）的单调递增区间为．
（2）证明：设P（x0，y0）为函数f（x）的图像上一点，点P关于直线对称的点Q的坐标为（x1，y1），
由直线垂直且平分线段PQ，可得，
因为，所以，
将代入，可得，
即点Q也在函数f（x）的图像上，所以函数f（x）的图像关于直线对称．
（3）解：由（2）得直线为函数f（x）图像的一条对称轴，
于是，解得，
因为的图像是双曲线（以下记作Γ），
那么双曲线的两个顶点一定只能是，
于是半实轴a的值一定只能是，
双曲线Γ的实轴所在直线与它的一条渐近线的夹角为，
以双曲线Γ的一个顶点为直角的顶点，以为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角边的直角三角形的另一条直角边的长应当等于Γ的半虚轴b之长，其斜边则等于Γ的半焦距c之长．因此b＝2，c＝4．
因为双曲线的两个焦点在双曲线的实轴所在的一条对称轴上，
所以Γ的两个焦点F1（x1，y1），F2（x2，y2），应在直线上，
由|OF2|＝4，得，利用对称性另一个焦点应为，
以下验证图像上的任意一点到F1，F2两点的距离之差的绝对值为定值，
设P（x，y）为函数图像上的任意一点，
则＝
＝，
由，得，
故有
＝2x2+2y2+32﹣2|x2+y2﹣8|，
因为，
故得，
即为定值，且恰等于前面所得的2a的值，由此验证函数的图像为双曲线．
x
1
2
3
f（x）
1
3
2
x
1
2
3
g（x）
2
1
3
x
1
2
3
f（x）
1
3
2
x
1
2
3
g（x）
2
1
3