阶段性测试卷（测试范围：第1-4章）-高一数学（人教A版必修第一册）

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阶段性测试卷（测试范围：第1-4章）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）。1．（5分）设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，则∁U（A∪B）等于（　　）A．{1，2，3，4} B．{5} C．{0，5} D．{2，4}【答案】【解答】解：∵全集U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，4}，∴A∪B＝{1，2，3，4}，∴∁U（A∪B）＝{0，5}．故选：C．2．（5分）设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的（　　）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解答】解：若a＝1，则N＝{1}，所以N⊆M，若N⊆M，则a2＝1或a2＝2，即a＝±1或±，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）命题“∃x∈Q，|x|+x≥0”的否定是（　　）A．∃x∈Q，|x|+x＜0 B．∀x∈（∁RQ），|x|+x＜0 C．∀x∈Q，|x|+x＜0 D．∀x∈Q，|x|+x≥0【答案】C【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x∈Q，|x|+x≥0”的否定是：∀x∈Q，|x|+x＜0．故选：C．4．（5分）不等式的解集是（　　）A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥}【答案】B【解答】解：不等式 ，移项得：，即 ≤0，可化为：或 解得：≤x＜2，则原不等式的解集为：≤x＜2故选：B．5．（5分）函数y＝x+a与，其中a＞0，且a≠1，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（　　）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由函数y＝x+a，可得到函数为增函数，故排除AC，若a＞1，则0＜＜1，函数y＝（）x是R上的减函数，且过点（1，0），函数y＝x+a的图象与y轴的交点（1，0）的上方，故B符合若0＜a＜1，则＞1，函数y＝（）x是R上的增函数，函数y＝x+a的图象与y轴的交点（1，0）的下方，故D符合，故选：B．6．（5分）函数的值域为（　　）A． B． C．（0，] D．（0，2]【答案】A【解答】解：令t（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1≤1∵单调递减∴即y≥故选：A．7．（5分）若，则＝（　　）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：因为，所以＝cos[﹣（﹣α）]＝sin（﹣α）＝﹣．故选：A．8．（5分）函数f（x）＝ex+x﹣3的零点所在的区间为（　　）A．（﹣1，0） B．（0，） C．（，1） D．（1，）【答案】C【解答】解：函数f（x）＝ex+x﹣3单调递增，∵f（）＝+﹣3＜0，f（1）＝e+1﹣3＝e﹣2＞0，∴f（）f（1）＜0，即函数f（x）在（，1）内存在唯一的零点，函数f（x）＝ex+x﹣3的零点在区间（，1）上，故选：C．9．（5分）已知函数f（x2）＝x10+1，则函数f（x）的解析式为（　　）A．f（x）＝x5+1 B．f（x）＝x5+1（x≥0） C．f（x）＝x5+1（x≥1） D．f（x）＝x+1（x≥1）【答案】B【解答】解：令t＝x2，则t≥0，x10＝（x2）5＝t5，将t＝x2代入f（x2）＝x10+1，得f（t）＝t5+1（t≥0），所以f（x）＝x5+1（x≥0）．故选：B．10．（5分）若f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2是区间（4，+∞）上的增函数，那么实数a的取值范围是（　　）A．[3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D．（﹣∞，5]【答案】B【解答】解：f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴为x＝1﹣a，因为f（x）是区间（4，+∞）上的增函数，所以1﹣a≤4，解得a≥﹣3，所以实数a的取值范围为[﹣3，+∞）．故选：B．11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）是奇函数，f（x﹣2）是偶函数，则（　　）A．f（﹣5）＝0 B．f（﹣3）＝0 C．f（3）＝0 D．f（5）＝0【答案】A【解答】解：由题意可知，f（1﹣x）＝﹣f（x+1），f（﹣x﹣2）＝f（x﹣2），则f（1）＝﹣f（1），可得f（1）＝0，所以f（x）＝﹣f[1﹣（x﹣1）]＝﹣f（2﹣x），f（4﹣x﹣2）＝f[﹣（4﹣x）﹣2]＝f（x﹣6），所以f（x）＝﹣f（x﹣6），故f（﹣5）＝﹣f（1）＝0，故A正确，而f（﹣1），f（3）的值未知，无法判断其它选项的正误．故选：A．12.（5分）已知x∈（0，π]，关于x的方程2sin（x+）＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：x∈（0，π]，可得，关于x的方程有两个不同的实数解，，所以a∈（，2）故选：D．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数，则f[f（﹣2）]＝　　．【答案】1【解答】解：∵函数，∴f[f（﹣2）]＝f（8）＝1故答案为：114．（5分）已知函数y＝f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数，且f（2x﹣3）＞f（5x+6），求实数x的取值范围为 　 　．【答案】（﹣∞，﹣3）【解答】解：∵f（x）是R上的增函数，且f（2x﹣3）＞f（5x+6），∴2x﹣3＞5x+6，即x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）．15．（5分）已知函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数f（log2x）的定义域为　 　．【答案】【解答】解：由题意可得，，解不等式可得，，∴∴函数的定义域为[]．故答案为：[]16．（5分）把函数y＝sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y＝f（x）图象，对于函数y＝f（x）有以下四个判断：①该函数的解析式为y＝2sin（2x+）；②该函数图象关于点（）对称；③该函数在[]上是增函数；④函数y＝f（x）+a在[]上的最小值为，则．其中，正确判断的序号是　 　．【答案】②④【解答】解：把函数y＝sin2x的图象沿 x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后，得到函数y＝f（x）＝2sin2（x+）＝2sin（2x+）的图象，由于f（x）＝2sin（2x+），故①不正确．令2x+＝kπ，k∈z，求得 x＝﹣，k∈z，故函数的图象关于点（ ﹣，0）对称，故函数的图象关于点（，0）对称，故②正确．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故函数在[]上不是增函数，故 ③不正确．当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+＝时，f（x）取得最小值为﹣，函数y＝f（x）+a取得最小值为﹣+a＝，故a＝﹣2，故④正确．故答案为：②④．三、解答题（17题10分，其余每题各12分）17．（10分）计算下列各式：（1）（）6+﹣4×﹣×80.25；（2）﹣．【解答】解：（1）原式＝+﹣4×﹣×＝4×27+2﹣7﹣2＝101．（2）原式＝（5lg2﹣2lg7）﹣×lg2+（lg5+2lg7）＝lg2+lg5＝．18．（12分）已知函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），且不等式f（x）＜0的解集为（1，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2x+1，x∈[﹣1，3]，求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）由题意可知，1，2为方程x2+bx+c＝0的两根，∴1+2＝﹣b，1×2＝c，∴b＝﹣3，c＝2，所以f（x）＝x2﹣3x+2；（2）由（1）知g（x）＝x2﹣5x+3，∵x∈[﹣1，3]，∴g（x）min＝g（）＝﹣，g（x）max＝g（﹣1）＝9，故g（x）的值域为[﹣，9]．19.（12分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[0，]，求函数f（x）的最值及其对应x的值．【解答】解：（1）根据函数的图象，A＝2；，整理得T＝π，所以ω＝2；由于函数的图象经过点（），所以φ＝2kπ+（k∈Z）；整理得φ＝2kπ+（k∈Z）；由于|φ|＜；所以φ＝．故函数f（x）＝2sin（2x+）．（2）由于，所以，故，当x＝时，函数的最大值为2；当x＝时，函数的最小值为﹣1．20．（12分）当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电柱的历年总利润y（单位：万元）与营运年数x（x是正整数）成二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元．（1）求出y关于x的函数关系式；（2）求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润＝历年总利润/营运年数）．【解答】解：（1）∵投入运营六年时总利润最大，为110万元，∴二次函数开口向下，且顶点坐标为（6，110），可设函数为y＝a（x﹣6）2+110（a＜0），又运营三年时总利润为20万元，即20＝a（3﹣6）2+110，解得a＝﹣10，则y＝﹣10（x﹣6）2+110＝﹣10x2+120x﹣250（x∈N*）．（2）由（1）得年平均总利润为，当且仅当，即x＝5时，等号成立，故营运的年平均总利润的最大值为20万元．21.（12分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式：f（3x+2）+f（x）＞0．【解答】解：（1）定义域为（﹣1，1），∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．∴f（﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）﹣sinx＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，（2）∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），y＝sinx在（﹣1，1）上均为单调递增的函数，∴f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx在（﹣1，1）上单调递增，∵f（3x+2）+f（x）＞0，∴f（3x+2）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴1＞3x+2＞﹣x＞﹣1，解可得﹣x＜，即不等式的解集为（﹣）22．（12分）已知函数f（x）＝2x2﹣10x．（1）若x∈[﹣1，3]，求f（x）的单调区间和值域；（2）设函数f（x）在[t，t+1]的最小值为g（t），求g（t）的表达式．【解答】解：已知函数f（x）＝2x2﹣10x＝2（x﹣）2﹣．（1）根据二次函数图象，f（x）在区间[﹣1，]上单调递减，在区间（，3]单调递增；结合图象，f（x）在区间[﹣1，3]上的最小值为f（）＝；最大值为f（﹣1）＝12．故x∈[﹣1，3]，f（x）的值域为[，12]；（2）由（1）知，f（x）＝2x2﹣10x的对称轴是x＝，当t≥时，f（x）在[t，t+1]递增，故f（x）min＝f（t）＝2t2﹣10t，t＜＜t+1即＜t＜时，f（x）min＝f（）＝，t+1≤即t≤时，f（x）min＝f（t+1）＝2t2﹣6t﹣8，综上，g（t）＝．